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(文数)汕头市金山中学2013届高二上学期期末考试


汕头市金山中学 2013 届高二上学期期末考试 文科数学
一、选择题(以下题目从 4 项答案中选出一项,每小题 5 分,共 50 分) 1.如图所示正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 ,则点 B1 的坐标是( )

A. (1,0,0) B. (1,0,1)

C. (1,1,1)

D.

(1,1,0)

2. “ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的( A.充分而不必要 C.充要

)条件

B.必要而不充分 D.既不充分也不必要
x0

3.命题“存在 x0 ? R, 2
x

? 0”的否定是(

)
x0

A.不存在 x0 ? R, 2 0 >0 C.对任意的 x?R, 2 ? 0
x

B.存在 x0 ? R, 2

?0
x

D.对任意的 x ? R, 2 >0 )

4.如果直线 ax ? 3 y ? 1 ? 0 与直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于( A. 3 B. ?

1 3

C. ? 3

D.

1 3


5.直线 5 x ? 12 y ? 20 ? 0 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 的位置关系是( A.相离
3

B.相切

C.相交 )

D.不能确定

6.曲线 y ? 4x ? x 在点 (?1,?3) 处的切线方程是( A. y ? 7 x ? 4 B. y ? 7 x ? 2

C. y ? x ? 4

D. y ? x ? 2 )

7. 设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ?

B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

8.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,该锥体的俯视图不可能是( ...
1 1 1
1



1

1

1

1

1

1

1

1

1
左视图

A.

B.

C.
1

D.

主视图

9.若椭圆的短轴为 AB ,一个焦点为 F1 ,且 △ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率是( A.

)

1 4

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

10.若函数 y ? f ? x ?

?lg x ? 函数 g ? x ? ? ? 1 ?? x ?
个数为( A. 5 )

? x ? R? 满足 f ? x ? 2? ? f ? x? 且 x???1,1? 时, f ? x? ? 1? x2 , ? x ? 0? ,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,5? 内的零点的 ? x ? 0?
C. 7 D. 8

B. 6

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.若一个球的半径为 3 ,则它的体积为 12.若函数 f ( x) ? . .

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点在 a 2 b2 抛物线 y 2 ? 8x 的准线上,则双曲线的方程为 . A 14.一个半径为 2 的球放在桌面上,桌面上的一点 A1
13.已知双曲线 的正上方有一个光源 A ,AA1 与球相切,AA1 =8, 球在桌面上的投影是一个椭圆,则这个椭圆的离 心率等于 .
B1 A1 B2 A2

三、解答题(共 80 分)
2 15. (本小题满分 12 分)已知 A ? x| ? a ? 4 , B ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , p 是 A 中 x 满 x

?

?

?

?

足的条件, q 是 B 中 x 满足的条件. (1)求 ? p (2)若 ? p 是 q 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

2

16 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 椭 圆 C : (

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 a 2 b2

F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且经过定点 P (1,
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 y ?

2 ) 2

2 ( x ? 1) 交椭圆 C 于 A, B 两点,求线段 AB 的长. 2

17. (本小题满分 14 分)如图,已知矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 ,将矩形沿对角 线 BD 把△ ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. (1)求证: BC ? A1D ; (2)求证:平面 A BC ? 平面 A BD ; 1 1 (3)求三棱锥 A ? BCD 的体积. 1

18. (本小题满分 14 分)已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a). (1)若 f '( ?1) ? 0 ,求 f (x) 在 ??2, 2? 上最大值和最小值; (2)若 f (x) 在 ? ??, 2? 和 ? 2, ? ? 上都是递增的,求 a 的取值范围。 ? ?

3

19. (本小题满分 14 分) 已 知 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 S n ? 2n ? 2 ? 4

?n ? N ?
*

, 函 数 f ( x ) 对 ?x ? R 有

n ?1 1 2 ) ? f (1) . f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( n n n
(1)分别求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn , Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,若存在正实数 k ,使不 等式 k (n 2 ? 9n ? 26)Tn ? 4ncn 对于一切的 n ? N * 恒成立,求 k 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分)已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) ,
2

焦点为 F ,一直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,且

AF ? BF ? 8 ,
(1)求 AB 的中点的横坐标 (2) AB 的垂直平分线恒过定点 S (6,0) 求抛物线的方程; 若 (3)求在条件(2)下 ?ABS 面积的最大值.

4

参考答案
选择题答案栏(50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 C 6 D 7 C 8 C 9 B 10 D

二、填空题(20 分) 11. 36? 12. 3

y2 ?1 13. x ? 3
2

14.

1 3

三、解答题(共 80 分) 15. (本小题满分 12 分) 解: (1) A ? x x ? a ? 4 ? x | x ? a ? 4或x ? a ? ?4 ? x | x ? a ? 4或x ? a ? 4

?

? ?

? ?

?

?????????????????????????2 分

? p 中 x 满足的条件是 C ? ?x|a ? 4 ? x ? a ? 4??????????4 分

(2)若 ? p 是 q 的必要条件等价于 B ? C ????????????????6 分

B ? x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ?x | ?x ? 1??x ? 3? ? 0? ? ?x | 1 ? x ? 3? ??????8 分
由数轴可知满足 ?

?

?

?a ? 4 ? 1 ????????????????????11 分 ?a ? 4 ? 3

解得: ? 1 ? a ? 5 ???????????????????????12 分 16. (本小题满分 12 分) (1) (1)由椭圆定义得 PF ? PF2 ? 2a , 1 即 2a ? ∴a ?

(?1 ? 1) 2 ? (0 ?

2 2 2 2 ) ? (1 ? 1) 2 ? (0 ? ) ? 2 2 ,???? 2 分 2 2
??? 4 分

2 ,又 c ? 1 , ∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1.
x2 ? y2 ? 1 2

故椭圆 C 的方程为

????????5 分

? x2 2 ? ? y ?1 ?2 (2)联立方程组 ? , 2 ?y ? ( x ? 1) ? 2 ? 2 2 消去 y 得, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 且 Δ ? 2 ? 4 ? 2 ? (?1) ? 0

????8 分

5

设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ), x1 ? x2 ? ?1, x1 x 2 ? ? 所以 AB ? 1 ?

1 , 2

????10 分 ????12 分

1 3 2 . ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 2
A1

17. (本小题满分 14 分) 证明: (1)连接 A1O, ∵A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, ∴A1O⊥平面 BCD, …………………2 分 又 BC?平面 BCD ∴BC⊥A1O ………3 分 又 BC⊥CO,A1O∩CO=O, ∴BC⊥平面 A1CD ………5 分 又 A1D?平面 A1CD,∴BC⊥A1D ………6 分 (2)∵ABCD 为矩形,∴A1D⊥A1B ………7 分 由(1)知 A1D⊥BC,A1B∩BC=B ∴A1D⊥平 面 A1BC,………9 分 又 A1D?平面 A1BD ∴平面 A1BC⊥平面 A1BD (3)由(1)BC⊥平面 A1CD 知 BC 是三棱锥 B-A1CD 的高 ,BC=6 ………11 分 ∵A1D⊥平面 A1BC, ∴A1D⊥A1C. ∵A1D=6,CD=10,∴A1C=8,………12 分 ∴ VA1 ? BCD ? VB ? A1CD ?

D O

C

A

B

………10 分

1 ?1 ? ? ? ? 6 ? 8 ? ? 6 ? 48 ………14 分 3 ?2 ?

故所求三棱锥 A1-BCD 的体积为 48. 18. (本小题满分 14 分)
' 2 ' 解: (1) f ( x) ? 3x ? 2ax ? 4 ,由 f (?1) ? 0, 得 3 ? 2a ? 4 ? 0 ? a ?

1 , ??3 分 2

1 2 4 ' 令 f ( x) ? 0, 得 x ? ?1或 . 3
2

此时 f ( x) ? ( x ? 4)( x ? ), f ( x) ? 3 x ? x ? 4 ? ? 3 x ? 4 ?? x ? 1?
' 2

?? 4 分

??5 分

当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

'

x
f ' ( x)
f (x)

?2

(?2,?1)


?1
0 极大值

4 (?1, ) 3


4 3
0

4 ( ,2) 3


2

0



9 2



极小值 ?

50 27



0

9 4 50 , f ( x) min ? f ( ) ? ? . ?? 8 分 2 3 27 ' 2 ( ? 的抛物线。?? 9 分 (2) f ( x) ? 3x ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点 0, 4) ? f (x) 在 ?? ?, 2? 和 ?2, ?? 上都是递增的, ? ? ? f ( x) max ? f (?1) ?
6

? 当 x ? ?2 或 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 恒成立, ??11 分 ? f ' (?2) ? 0 ?4a ? 8 ? 0 则? ' ?? ? ?2 ? a ? 2. ?8 ? 4a ? 0 ? f (2) ? 0 故 a 的取值范围为 ?? 2,2?. ??14 分
19. (本小题满分 14 分) 解: (1) n ? 1,

n ? 2,

an ? Sn ? Sn ?1 ? ? 2n ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ?1 ? 4 ? ? 2n ?1
an ? 2n ?1
1 n

a1 ? S1 ? 21? 2 ? 4 ? 4

??????????? 1 分

n ? 1 时满足上式,故

?n ? N ?
*

???????????2 分 ???????????3 分 ① ② ??????????? 5 分 ????????????6 分 ①

n ?1 ) ?1 n n ?1 1 2 ) ? f (1) ∵ bn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( n n n n ?1 n?2 )? f( ) ?? ? f (1) ? f (0) ∴ bn ? f (1) ? f ( n n n ?1 ∴①+②,得 2bn ? n ? 1 ? bn ? 2 n (2)∵ cn ? an ? n ,∴ cn ? ? n ? 1?? b 2
∵ f ( x) ? f (1 ? x) =1∴ f ( ) ? f ( ∴ Tn ? 2? ? 3? ? 4? ? ? ? ? n ? 1?? , 2 2 2 2
1 2 3 n

2Tn ?
即 Tn ? n? n ?1 2

2?22 ? 3?23 ? 4?24 ? ? ? n?2 n ? ? n ? 1??2 n ?1 , ②
2 3 n n ?1

①-②得 ?Tn ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? n ? 1?? 2

??????????8 分 ?????????? 9 分

? ? ? n ? 9n ? 26 ? T
2

2 要使得不等式 k n ? 9n ? 26 Tn ? 4ncn 恒成立,

?

n

? 0 恒成立? k ?

2 ? n ? 1? ???????????? 11 分 n ? 9n ? 26 2 ? n ? 1? 令 g ?n? ? 2 ? n ? N * ? ,则 n ? 9n ? 26 2 ? n ? 1? 2 2 g ? n? ? ? ? ?2 2 ? n ? 1? ? 11? n ? 1? ? 36 ? n ? 1? ? 11 ? 36 2 ? n ? 1?? 36 ? 11 ? n ? 1? ? n ? 1?
即k ?
2

4ncn ? 对于一切的 n ? N 恒成立, ? n ? 9n ? 26? Tn
2

所以 k ? 2 为所求. ?????????? 14 分 20. (本小题满分 14 分) 解:(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , AB 中点 M ( x0 , y0 ) 由 AF ? BF ? 8 得 x1 ? x 2 ? p ? 8,? x0 ? 4 ?

当且仅当 n ? 5 时等号成立,故 g ? n ?max ? 2

???????????? 13 分

p 2

???? 2 分

7

(2)又 ?

? 2 p ? y1 ? 2 px1 2 2 得 y1 ? y 2 ? 2 p ( x1 ? x 2 ),? y 0 ? ???? 4 分 2 k ? y 2 ? 2 px2 ?

p p p k 所以 M ( 4 ? , ) 依题意 ? k ? ?1 , ? p ? 4 ????6 分 p 2 k 4? ?6 2 2 抛物线方程为 y ? 8x ----7 分
(2)由 M (2, y0 ) 及 k l ? 令 y ? 0 得 xK ? 2 ?

4 4 , l AB : y ? y 0 ? ( x ? 2) ???8 分 y0 y0

1 2 y0 4

又由 y 2 ? 8x 和 l AB : y ? y 0 ?

? S ΔABS

? S ΔABS

4 2 ( x ? 2) 得: y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 16 ? 0 ???9 分 y0 1 1 1 2 2 2 ? ? KS ? y 2 ? y1 ? (4 ? y 0 ) 4 y 0 ? 4(2 y 0 ? 16) ???11 分 2 2 4 1 2 64 3 64 2 2 ? (16 ? y0 ) 2 (32 ? 2 y0 ) ? ( ) ? 6 ???14 分 8 3 9 4 2

或用求导讨论单调性得最大值.

8


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