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2014届高三数学辅导精讲精练81


2014 届高三数学辅导精讲精练 81
1.(2010· 新课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数 学期望为 A.100 C.300 答案 解析 B 记“不发芽的种子数为 ξ”, ξ~B(1 000,0.1), 则 所以 E(ξ)=1 000×0.1 B.20

0 D.400 ( )

=100,而 X=2ξ,故 E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200,故选 B. 2.(2013· 岳阳联考)一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的 概率为 b,不得分的概率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望 为 2(不计其他得分情况),则 ab 的最大值为 1 A.48 1 C.12 答案 解析 D 设投篮得分为随机变量 X,则 X 的分布列为 X P 3 a 2 b 0 c 1 B.24 1 D.6 ( )

1 E(X)=3a+2b=2≥2 3a×2b,所以 ab≤6, 当且仅当 3a=2b 时,等号成立. 3.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P -1 a 0 b 1 c ( )

1 其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)=3,则 D(ξ)的值是 1 A.3 5 C.9 2 B.3 7 D.9

答案 解析

C ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c.又 a+b+c=1,且 E(ξ)=-1×a

1 1 1 1 1 1 +1×c=c-a=3.联立三式得 a=6,b=3,c=2,∴D(ξ)=(-1-3)2×6+(0- 12 1 12 1 5 3) ×3+(1-3) ×2=9. 4.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p=______ 时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为______. 答案 解析 1 2,25 p+1-p 2 D(ξ)=100p(1-p)≤100· 2 ( ) =25,

1 当且仅当 p=1-p.即 p=2时,D(ξ)最大为 25. 5.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要 赔偿 a 元,设一年内事件 E 发生的概率为 p,为使公司收益的期望值等于 a 的 10%,公司应要求投保人交的保险金为________元. 答案 解析 (0.1+p)a 设要求投保人交 x 元, 公司的收益额 ξ 作为随机变量, p(ξ=x)= 1 则

-p,p(ξ=x-a)=p. 故 E(ξ)=x(1-p)+(x-a)p=x-ap. ∴x-ap=0.1a,∴x=(0.1+p)a. 6. (2012· 沈阳模拟)设 l 为平面上过点(0,1)的直线,的斜率等可能地取-2 2, l 5 5 - 3,- 2 ,0, 2 , 3,2 2.用 X 表示坐标原点到 l 的距离,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 答案 解析 4 7 1 当 l 的斜率为± 2时,直线方程为± 2x-y+1=0,此时 d1=3;k= 2

1 5 2 ± 3时,d2=2;k=± 2 时,d3=3;k=0 时,d4=1.由等可能性事件的概率可得 分布列如下:

X P

1 3 2 7

1 2 2 7

2 3 2 7

1 1 7

1 2 1 2 2 2 1 4 ∴E(X)=3×7+2×7+3×7+1×7=7. 7.某制药厂新研制出一种抗感冒药,经临床试验疗效显著,但由于每位患 者的身体素质不同,可能有少数患者服用后会出现轻微不良反应,甲、乙、丙三 1 1 1 位患者均服用了此抗感冒药,若他们出现轻微不良反应的概率分别是5,3,4. (1)求恰好有一人出现轻微不良反应的概率; (2)求至多有两人出现轻微不良反应的概率; (3)设出现轻微不良反应的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 解析 (1)患者甲出现轻微不良反应,患者乙、丙没有出现轻微不良反应的

1 2 3 1 概率为5×3×4=10;患者乙出现轻微不良反应,患者甲、丙没有出现轻微不良 4 1 3 1 反应的概率为5×3×4=5;患者丙出现轻微不良反应,患者甲、乙没有出现轻微 4 2 1 2 不良反应的概率为5×3×4=15,所以,恰好有一人出现轻微不良反应的概率为 1 1 2 13 P1=10+5+15=30. 1 1 3 4 1 1 1 2 1 1 (2)有两人出现轻微不良反应的概率 P2=5×3×4+5×3×4+5×3×4=20 1 1 3 +15+30=20. 4 2 3 2 三人均没有出现轻微不良反应的概率 P0=5×3×4=5,所以,至多有两人 2 13 3 59 出现轻微不良反应的概率为5+30+20=60. (3)依题意知,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,由(1)(2)得, 2 13 3 2 13 3 1 P(ξ=0)=5,P(ξ=1)=30,P(ξ=2)=20,P(ξ=3)=1-5-30-20=60. 于是 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3

P

2 5

13 30

3 20

1 60

2 13 3 1 47 ξ 的数学期望 E(ξ)=0×5+1×30+2×20+3×60=60. 8.某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛,比赛分为 2 初赛、复赛、决赛三个阶段,已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为3、 1 1 3、4,且各阶段通过与否相互独立. (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (2)设该选手比赛的次数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 解析 (1)记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B,

2 1 1 “该选手通过决赛”为事件 C,则 P(A)=3,P(B)=3,P(C)=4. 2 1 4 所以所求的概率 P=P(A B )=P(A)P( B )=3×(1-3)=9. (2)依题意知 ξ 的可能取值为 1,2,3. 2 1 P(ξ=1)=P( A )=1-3=3, 2 1 4 P(ξ=2)=P(A B )=P(A)P( B )=3×(1-3)=9, 2 1 2 P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=3×3=9. ξ 的分布列为 ξ P 1 1 3 2 4 9 3 2 9

1 4 2 17 ξ 的数学期望 E(ξ)=1×3+2×9+3×9= 9 . 9. (2013· 吉林实验中学一模)某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽 取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组 [85,90),第 4 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示.

(1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第 二轮面试. ①已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组, 求学生甲和学生乙同时进入第二 轮面试的概率; ②学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试,第 4 组 中有 ξ 名学生被考官 D 面试,求 ξ 的分布列和数学期望. 解析 (1)第三组的频率为 0.06×5=0.3;

第四组的频率为 0.04×5=0.2; 第五组的频率为 0.02×5=0.1. (2)①设 M:学生甲和学生乙同时进入第二轮面试,则 C1 1 28 P(M)=C3 =145. 30
i C2C2-i 4 ②P(ξ=i)= C2 (i=0,1,2),ξ 的分布列为 6

ξ P 8 2 2 E(ξ)=15+15=3.

0 2 5

1 8 15

2 1 15

10.(2012· 福建理)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿 车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌 轿车,保修期均为 2 年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆, 统计数据如下:

品牌 首次出现故障时 间 x(年) 轿车数量(辆) 每辆利润(万元) 0<x≤1 2 1

甲 1<x≤2 3 2 x>2 45 3

乙 0<x≤2 5 1.8 x>2 45 2.9

将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保 修期内的概率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产 一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中 一种品牌的轿车. 若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说 明理由. 解析 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A, 2+3 1 = . 50 10

则 P(A)=

(2)依题意得,X1 的分布列为 X1 P X2 的分布列为 X2 P 1.8 1 10 2.9 9 10 1 1 25 2 3 50 3 9 10

1 3 9 (3)由(2)得,E(X1)=1×25+2×50+3×10=2.86(万元), 1 9 E(X2)=1.8×10+2.9×10=2.79(万元). 因为 E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车. 11.(2012· 陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时 间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

办理业务所需的时间(分) 频率

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期 望. 解析 列如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对 应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业 务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个 顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间 均为 2 分钟. 所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+ 0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)方法一 X 所有可能的取值为 0,1,2.

X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务 所需的时间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟,所以 P(X =1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 方法二 X 的所有可能取值为 0,1,2.

X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2) =0.5; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以 P(X=2)=P(Y= 1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49; 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.

1.某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 ξ 描述 1 次试验的成功 次数,则 P(ξ=1)等于 A.0 1 C.3 答案 解析 D 设失败率为 p,则成功率为 2p,分布列为 ξ P 1 2 由 p+2p=1,得 p=3,∴2p=3. 2.(2012· 衡水调研卷)设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列为 ξ P 则 q 的值为 A.1 2 C.1+ 2 答案 D 2 B.1± 2 2 D.1- 2 -1 1 2 0 1-2q 1 q2 ( ) 0 p 1 2p 1 B.2 2 D.3 ( )

解析

由分布列的性质,有

?1-2q≥0, ?q2≥0, ? ?1+1-2q+q2=1, ?2

2 解得 q=1- 2 .

1 或由 1-2q≥0?q≤2,可排除 A、B、C. 3.(2012· 安徽)某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题,若调 用的是 A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道 A 类型试题和一道 B 类 型试题入库,此次调题工作结束,若调用的是 B 类型试题,则使用后该试题回 库,此次调题工作结束.试题库中现有 n+m 道试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题.以 X 表示两次调题工作完成后,试题库中 A 类型试题的数量. (1)求 X=n+2 的概率; (2)设 m=n,求 X 的分布列和均值(数学期望). 解析 以 Ai 表示第 i 次调题调用到 A 类型试题,i=1,2. n+1 n?n+1? n · = . m+n m+n+2 ?m+n??m+n+2?

(1)P(X=n+2)=P(A1A2)=

(2)X 的可能取值为 n,n+1,n+2. P(X=n)=P( A1 A2 )= n n 1 · =4. n+n n+n n+1 n n n 1 · + · =2, n+n n+n+2 n+n n+n

P(X=n+1)=P(A1 A2 )+P( A1 A2)= P(X=n+2)=P(A1A2)= 从而 X 的分布列是: X P n 1 4

n+1 n 1 · =4, n+n n+n+2

n+1 1 2

n+2 1 4

1 1 1 E(X)=n×4+(n+1)×2+(n+2)×4=n+1. 4. (2012· 四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B, 1 系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为10和 p.

49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为50,求 p 的值; (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ,求 ξ 的概率分布列及数学期望 E(ξ). 解析 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么

1 49 1 1-P( C )=1-10· 50,解得 p=5. p= 1 1 (2)由题意,P(ξ=0)=C0(10)3=1 000, 3 1 27 1 1 P(ξ=1)=C3(10)2· 10)=1 000, (1- 1 243 21 P(ξ=2)=C310· 10)2=1 000, (1- 1 729 3 P(ξ=3)=C3(1-10)3=1 000. 所以,随机变量 ξ 的概率分布列为 ξ P 0 1 1 000 1 27 1 000 2 243 1 000 3 729 1 000

故随机变量 ξ 的数学期望: 1 27 243 729 27 E(ξ)=0×1 000+1×1 000+2×1 000+3×1 000=10. 5.(2012· 陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时 间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期 望. 解析 列如下: Y 1 2 3 4 5 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布

P

0.1

0.4

0.3

0.1

0.1

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对 应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业 务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个 顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间 均为 2 分钟. 所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+ 0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)方法一 X 所有可能的取值为 0,1,2.

X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务 所需的时间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟,所以 P(X =1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 方法二 X 的所有可能取值为 0,1,2.

X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2) =0.5; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以 P(X=2)=P(Y= 1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49; 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.


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