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苏北四市2013-2014学年度高三期中考试上学期数学试题(扫描版)及参考答案与评分标准


苏北四市 2013-2014 学年度高三期中考试上学期数学试题 (扫描版) 及参考答案与评分标准

2013~2014 学年度第一学期期中考试 高三数学参考答案与评分标准
一、填空题

1. ?x | x ? 1? 7. y ? ex

2.—1 8.

3.充分不必要 9.

/>
4.

100? cm2 3

5.4

6.49

? 7? , 3 3

12.{2, 2 3 , 2 9 , 2 27 , 2 81 } 二、解答题

3? 3 10. (0,1) 4 1 1 13. 14. 3 32

11. ? 2 ? m ? 3

15. 解: (1)设等差数列 {a n } 的首项为 a1 ,公差为 d , 由 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 ,解得 a1 ? 3, d ? 2 . 由于 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ?

……1 分 ……5 分

n(a1 ? an ) ,所以 a n ? 2n ? 1, S n ? n 2 ? 2n . ……7 分 2 1 1 1 1 2 (2)因为 a n ? 2n ? 1 ,所以 an ? 1 ? 4n(n ? 1) ,因此 bn ? ? ( ? ) .…9 4n(n ? 1) 4 n n ? 1 分 1 1 1 1 1 1 1 1 n 故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? , … 13 ) ? (1 ? )? 4 2 2 3 n n ?1 4 n ? 1 4(n ? 1) 分 n 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? . ……14 分 4( n ? 1)
16. 解: (1)因为 a· =2 + sinθcosθ = b 所以(sinθ +cosθ)2 = 1+2sinθcosθ = (2)因为 a∥b,所以 tanθ = 2, 所以 sin2θ = 2sinθcosθ = cos2θ = cos2θ-sin2θ = 所以 sin(2θ+ 2sinθcosθ 2tanθ 4 = = , sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5 13 1 , 所以 sinθcosθ = , 6 6 ……2 分

3 2 3 .又因为 θ 为锐角,所以 sinθ + cosθ = …6 分 4 3 ……8 分 ……10 分 ……12 分 ……14 分 ……2 分 ……4 分
2

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 = = — . 2 2 sin θ+cos θ tan2θ+1 5

π 1 3 1 4 3 3 4-3 3 ) = sin2θ + cos2θ = × + × ) = (. 3 2 2 2 5 2 5 10

? x( x ? 2), x ? 2 17. 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x | x ? 2 |? ? , ? x(2 ? x), x ? 2
由图象可知, y ? f (x) 的单调递增区间为 (??,1],[2,??) .

a a (2)因为 a ? 2, x ? [1,2] ,所以 f ( x) ? x(a ? x) ? ? x 2 ? ax ? ?( x ? ) 2 ? .……6 分 2 4 a 3 当 1 ? ? ,即 2 ? a ? 3 时, f ( x) min ? f (2) ? 2a ? 4 ; ……7 分 2 2 a 3 当 ? ,即 a ? 3 时, f ( x) min ? f (1) ? a ? 1 . ……8 分 2 2
?2a ? 4,2 ? a ? 3 ? f ( x) min ? ? . ? a ? 1, a ? 3
……9 分

? x( x ? a), x ? a (3) f ( x) ? ? , ? x(a ? x), x ? a
①当 a ? 0 时,图象如图 1 所示.
2 ? ( 2 ? 1)a a ? y?a 由? 得x? .? 0 ? m ? , a ? n ? 4 2 2 ? y ? x( x ? a) ?

……10 分

2 ?1 a. 2

……12 分

图1 ②当 a ? 0 时,图象如图 2 所示.

图2

2 ? 1? 2 2 ?1 a ?y ? ? a , 由? 得x? a. ? a ? m ? a, ? n ? 0 . 4 2 2 2 ? y ? x(a ? x), ?

……14 分

18. 解: (1)延长 BD、CE 交于点 A,则 AD ? 3, AE ? 2 ,则 S ?A E ? S ?B E ? S ?B E ? D D C

3 . 2

1 ? S ?APQ ? 3,? ( x ? 3 )( y ? 2) ? 3,? ( x ? 3 )( y ? 2) ? 4 3 . 4
(2) PQ 2 ? AP 2 ? AQ 2 ? 2 AP ? AQ cos 30 0

……4 分
A

? (x ? 3) 2 ? (

4 3 x? 3

)2 ? 2 ? 4 3 ?

3 2

……6 分
D

? 2 ? 4 3 ? 12 ? 8 3 ? 12
当 (x ? 3) 2 ? (

4 3 x? 3

) 2 ,即 x ? 24 3 ? 3 时,
P

E Q

PQmin ? 8 3 ? 12 ? 2 2 3 ? 3 .
2

……8 分
B C

3 16 (3)令 t ? ( x ? 3 ) ,? x ?[ , 3 ],? t ?[ ,12] , ……10 分 3 3 48 则 PQ 2 ? f (t ) ? t ? ? 12 , t 48 48 ? f ' (t ) ? 1 ? 2 ,令 f ' (t ) ? 1 ? 2 ? 0 得, t ? 4 3 , t t

……12 分

? f (t ) 在 (0,4 3 ) 上是减函数,在 (4 3 ,??) 上是增函数,

16 ? f (t ) max ? max{ f ( ), f (12)} ? f (12) ? 4 ,PQmax = 2, 3
此时 t ? ( x ? 3 ) 2 ? 12, x ? 3 , y ? 0 ,P 点在 B 处,Q 点在 E 处。 19. 解: (1)由已知, S n ? 两式相减得, a n ?1 ? 又 a1 ?

……14 分 ……16 分

1 1 a n?1 ? 1(n ? N * ) ,所以 S n?1 ? a n ? 2 ? 1 , 2 2
……3 分 ……5 分 ……6 分

1 (qan?1 ? a n?1 ) ,解得 q ? 3 , 2

1 ? q ? a1 ? 1 ,解得 a1 ? 2 , 2

故 a n ? 2 ? 3 n?1. (2)由(1) ,知 an ? 2 ? 3n?1 , an?1 ? 2 ? 3n. ? a n?1 ? an ? nd n ,? d n ? ① Tn ?

4 ? 3n?1 . n

……7 分 ……8 分

1 1 1 1 1 2 3 n , ? ? ??? ? ? ? ??? 0 1 2 d1 d 2 d 3 dn 4 ? 3 4?3 4?3 4 ? 3n?1

1 1 2 3 n , Tn ? ? ? ??? 1 2 3 3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n

1 1? n 2 1 1 1 1 n 1 3 ? n ? Tn ? ? ? ??? ? ? ? 0 1 2 n ?1 n 1 3 4 4?3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1? 3 9 9 3n 1 故 Tn ? ?( ? ) n 16 16 8 3

……10 分

……11 分

②假设在数列 {d n } 中存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列,
2 则 d k ? d m ? d p ,即 (

4 ? 3 k ?1 2 4 ? 3 m ?1 4 ? 3 p ?1 ) ? ? . k m p

……13 分

因为 m, k , p 成等差数列,所以 m ? p ? 2k , (*)代入上式得: k 2 ? mp , (**) 由(*)(**) , ,得 m ? p ? k ,这与题设矛盾. ……15 分

所以,在数列 {d n } 中不存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列.…16 分 20. 解: (1) ? f ' ( x) ? 函数 y ? f (x) 在[

2 2 ? 2x 2 ? 2x ? , x x

……2 分

1 ,1]是增函数,在[1,2]是减函数, 2
……4 分

所以 f ( x) max ? f (1) ? 2 ln 1 ? 12 ? ?1 . (2)因为 g ( x) ? a ln x ? x 2 ? ax ,所以 g ?( x) ?

a ? 2x ? a , x

……5 分

因为 g (x) 在区间 (0,3) 上不单调,所以 g ?( x) ? 0 在(0,3)上有实数解,且无重根,

1 9 2x 2 = 2( x ? 1 ? ( ) ? 4 ? (0, ) , x ? (0,3) ) x ?1 x ?1 2 又当 a ? ?8 时, g ?( x) ? 0 有重根 x ? ?2 ,
由 g ?( x) ? 0 ,有 a ?

……6 分 ……7 分 ……8 分

9 综上 a ? (0, ) 2
(3)∵ h ' ( x) ?

2 ? 2 x ? m ,又 f ( x) ? mx ? 0 有两个实根 x1 , x 2 , x

? 2 ln x1 ? x12 ? mx1 ? 0 2 2 ∴? ,两式相减,得 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? m( x1 ? x2 ) , 2 ?2 ln x 2 ? x 2 ? mx2 ? 0
∴m?

2(ln x1 ? ln x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) , x1 ? x 2 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? 2(?x1 ? ?x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

……10 分

于是 h ' (?x1 ? ?x2 ) ?

?

2

?x1 ? ?x2

?

2(ln x1 ? ln x2 ) ? (2? ? 1)( x2 ? x1 ) . x1 ? x2

……11 分

? ? ? ? ,? 2? ? 1,?(2? ? 1)( x2 ? x1 ) ? 0 .
要证: h ' (?x1 ? ?x2 ) ? 0 ,只需证:

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ?0 ?x1 ? ?x2 x1 ? x2
……12 分

只需证:

x1 ? x 2 x ? ln 1 ? 0 .(*) ?x1 ? ?x 2 x2



x1 1? t 1? t ? ln t ? 0 ,只证 u (t ) ? ln t ? ? 0 即可.……13 分 ? t ? (0,1) ,∴(*)化为 ?t ? ? x2 ?t ? ?

1 ? (?t ? ? ) ? (1 ? t )? 1 1 (?t ? ? ) 2 ? t u ' (t ) ? ? ? ? ? ? t t (?t ? ? ) 2 (?t ? ? ) 2 t (?t ? ? ) 2
?

? 2 (t ? 1)(t ?

t (?t ? ? ) 2

?2 ) ?2

, …14 分

?2 ? 1,0 ? t ? 1,? t ? 1 ? 0,? u ' (t ) ? 0,? u (t ) 在 ( 0, 1) 上 单 调 递 增 , ?2

……15 分

u (t ) ? u (1) ? 0,? ln t ?

x ? x2 x 1? t ? 0 ,即 1 ? ln 1 ? 0 .∴ h ' (?x1 ? ?x2 ) ? 0 .……16 分 ?t ? ? ?t ? ? x2


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