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数列复习


第二章

数列

一.等差数列

1.定义:an ? an?1 ? d (n ? 1, d为常数)

an?1 ? an ? 3

an?1 ? an ? 3

?an ?是等差数列,且公差 d ?3
这是证明 ? an ? 为等差数列的最重要的 方

法。

2.通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d

3.等差数列前n项求和公式: n(n ? 1)d n(a1 ? an ) S n ? na1 ? ? 2 2

4.等差中项: a, b, c成等差数列
5.重要结论:

b为等差中项

a?c b? 2
an ? kn ? b

(1){an }为等差数列 (2){an }为等差数列

d ? k , a1 ? k ? b

Sn ? pn ? qn
2

d ? 2 p, a1 ? S1 ? p ? q

二.等差数列的性质:

①若 ?an ?是等差数列,且 m ? n ? k ? l (m, n, k , l ? N 则 ②ap

*

),

? aq ? ( p ? q)d
a p ? aq p?q

am ? an ? ak ? al

d?

a p ? aq ? ( p ? q)d

③等差数列 a

? n ?的公差为d,前n项和为Sn,
*

那么数列S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k ,?(k ? N ) 也是等差数列 .

d? ? k d
2

三.重要题型:

?an ?的前n项和为Sn,求 已知某数列
a10 ? ?

an ? ?

an 1.定义: ? q(n ? 1, q为常数, q ? 0) an?1 注:等比数列中不可以含有“0”项. a n ?1 an?1 ? 2an ?2 an
2.通项公式:

四.等比数列:

an ? a1q
n

?an ?是等比数列,且公比 q?2
n ?1

3.等比数列前n项求和公式: a1 (1 ? q ) a1 ? an q (q ? 1) Sn ? ? 1? q 1? q
当q ? 1时,

Sn ? na1

4.等比中项: a, b, c成等比数列
5.重要结论:
(1){an }为等比数列
(2){an }为等比数列

b为等比中项
b ? ac
2

b ? ? ac
n

an ? cq (c, q ? 0)
Sn ? A ? Aqn ( A, q ? 0, q ? 1)

a1 A? 1? q

五.等比数列的性质:

①若 ?an ?是等比数列,且 m ? n ? k ? l (m, n, k , l ? N 则

*

),

am ? an ? ak ? al
m? n

② am

? an q am m?n ?q an

③ 等比数列 an

? ?的公比为q,前n项和为Sn,
*

那么数列S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k ,?(k ? N ) 也成等比数列。

q? ? q

k

五.一点补充

(1)若?an ?为等差数列,从中等距 离地取出一些数, 这些数也构成等差数列 。 (2)若?an ?为等比数列,从中等距 离地取出一些数, 这些数也构成等比数列 。
每隔K项取出一项,组成一个新数列 每隔K项取出一项,组成一个新数列

d ? ? (k ? 1)d

q? ? q

k ?1

(3)如果一个数列既为等 差数列,又为等比数列 , 则它必为常数列 .

精选练习题:

1.求和: (1)(a ? 1) ? (a ? 2) ? (a ? 3) ? ? ? (a ? n)
2 3 n

1 1 1 1 (2) ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 19? 21 (3)1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11? 97 ? 99
2.在等比数列{an }中, 若a1 ? a2 ? 30, a3 ? a4 ? 120, 求a1 ? a2 ? ? ? ? ? a22 .

?an ?是等差数列吗? ( 1 )

3.数列?an ? 的前项和S n ? 2n ? 3n ? 1, 则
2

?an ?的通项公式an . (2)求出数列
(3)求a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a10的值。
4.已知等差数列{an}中,前n项和为Sn,且a2=1, S11=33, (1)求数列{an}的通项公式;

5.求方程2 x ? 7 x ? 1 ? 0两根的等差中项和等比 中项。
2

1 an (2)设bn= ( ) ,求证{bn}是等比数列. 4


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