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广东省珠海市2017届高三9月摸底考试数学理试题


珠海市 2016-2017 学年度第一学期高三摸底考试 理科数学试题
一.选择题

i 是虚数单位,若 ?1-i ??1 ? ai ? ? 2 ,则 a = 1.已知 a ? R,
A. 1 2. B.

5

C.

3

D.

6

x ,B ? x ? 1 ? x ? 1 ,则 A ? B = 设集合 A ? y y ? 3 , x ? R?

?

?

?

A. ?- 1 , 1?

B. ?0, 1?

C.

?- 1, ? ??

D.

?0,???

3. 已知 ?an ?是公差为 4 的等差数列, Sn 是其前 n 项和.若 S5 ? 15 ,则 a10 的值是 A. 11 B. 20 C.

29

D.

31

4. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒, 绿灯的时间为 40 秒, 当你到达路口时, 不需要等待就可以过马路的概率为 A.

1 15

B.

2 5

C.

8 15

D.

4 5

5.

已知双曲线 E :

x2 y 2 7 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率是 ,则 E 的渐近线方程为 2 a b 2
B. y= ?

A. y ? ? x

2 x 2

C.

y??

3 x 2

D.

y= ? 2x

6.

如图,网格上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

?x ? 2 ? 0 ? 7. 若平面区域 ? x ? y ? 0 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条 ?x ? 3 y ? 4 ? 0 ?
平行直线间的距离的最小值是 A. 2 3
5 x

B. 3 2

C. 4

D. 10

8. 函数 y ? x ? xe 在区间 ?? 3,3? 上的图像大致是

A

B

C

D

9. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多 项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利 用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入 n , x 的值分别为 4, 3 ,则输出 v 的 值为 A. 20 B. 61 C.

183

D.

548

10. 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 准线为 l , 过抛物线上一点 A 作 l 的 垂线,垂足为 B ,设 C ?

?7 ? p, 0 ? , AF 与 BC 相交于点 E ,若 CF ? 2 AF ,且 ?2 ?

?ACE 的面积为 3 2 ,则 p 的值为
A.

6

B. 2

C.

3

D.

2

O是 11. 在 正 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , E , F 分 别 是 棱 A 1B 1, B 1 C1的 中 点 ,

AC与BD的交点,面 OEF 与面 BCC1B1 相交于 m ,面 OD1 E 与面 BCC1B1 相交
于 n ,则直线 m, n 的夹角为 A. 0 B.

? 6

C.

? 3
? ?

D.

? 2

12. 设 a, b ? R, c ? ?0,2? ? ,若对任意实数 x 都有 2 sin ? 3x ?

??

? ? a sin ?bx ? c ?,定义在区间 ?0,3? ? 上 3?

的 函 数 y ? sin 2 x 的 图 象 与 y ? cos x 的 图 象 的 交 点 个 数 是 d 个 , 则 满 足 条 件 的 有 序 实 数 组

? a, b, c, d ? 的组数为
A. 7 二、填空题 13.在 ?1 - 3x? 的展开式中, x 的系数为__________________.(用数字作答)
6
2

B. 11

C.

14

D.

28

? ? ?? ? ? 14.已知向量 a ? ?2,1?, b ? ?? 3, k ?, a ? ? 2 a ? b ? ? 0 ,则实数 k 的值为 ? ? ? ?
? ? ?

.

x 15.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 4 的奇函数,当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? 4 ,则

? 9? f ? ? ? ? f ?2? ? ? 2?
16.已知数列 ?an ? 满足 an ?

.

2n ? 4 ,若从 ?an ? 中提取一个公比为 q 的等比数列 akn ,其中 k1 ? 1, 且 3

? ?

k1 ? k2 ? ... ? kn , kn ? N * ,则满足条件的最小 q 的值为
三、解答题 17.在 ?ABC 中, a ? c ? b ? ac .
2 2 2

.

(1)求 ? B 的大小; (2)求 cos A ? cos C 的最大值.

18.在如图所示的圆台中, A C 是下底面圆 O 的直径, EF 是上底面圆 O 的直径, FB 是圆台的一条母 线. (1)已知 G,H 分别为 EC, FB 的中点,求证: GH // 面ABC ; (2)已知 EF ? FB ?

/

1 AC ? 2 , AB ? BC ,求二面角 F ? BC ? O 的余弦值. 2

19.自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要 不要再生一个”,“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为 了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家 庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周) 有生育意愿家庭数 14 4 15 8 16 16 17 20 18 26

(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生育意愿的概率分别 为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况 自主选择. ①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用 ? 表示两种方案休假周数之和.求随机变量 ? 的分布列及数学期望.

x2 y2 20 . 设 椭 圆 C : 2 ? ? 1 ( a ? 2 2 )的右焦点为 F ,右顶点为 A ,上顶点为 B ,且满足 a 8 1 1 8e ,其中 O 为坐标原点, e 为椭圆的离心率. ? ? | OF | | OA | | FA |
(1)求椭圆 C 的方程; (2) 设点 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M ,直线 PB 与 x 轴交于点 N ,求 证: AN ? BM 为定值.

21. 已知 f ( x) ? a? x ? ln x ? ?

2 1 ? ,a ? R . x x2

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)当 a ?

1 时,证明: f ( x ) ? f 2

/

?x ? ? 5 对于任意的 x ? ?1,2? 成立.
4

22.选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E . (1)证明:△ABE∽△ADC; (2)若 ?ABC 的面积 S ?

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小. 2

23.选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? .在极坐标系(与直角坐标系 (t为参数) ?y ? 5 ? 2 ? ? 2
xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? .
(1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,若点 P 的坐标为 3, 5 ,求 PA ? PB .

?

?

24.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 . (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 ?1, 2? ,求 a 的取值范围.

参考答案 一.选择题:1-5:ACDCC 6-10:BBBCA 11-12:AD 二、填空题 13、135 14、16 15、-2 16、2 三、解答题 17.解:(1)由已知得: cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 1 ?? 2ac 2

………….2 分 3分

?0 ? B ? ? 2? ?B ? 3
(2) 由(1)知: A ? C ? 故A?

………. ………….4 分

?
3

………..5 分

?
3

- C, 0?C?

?
3

……….6 分

所以 cos A ? cosC ? cos?

3 3 ?? ? ? C ? ? cosC ? sin C ? cosC 2 2 ?3 ?
………..8 分

?? ? ? 3 sin ? C ? ? 3? ?
?0 ? C ?
?
18.解答:

?
3

?

3 ?? ? ? sin? C ? ? ? 1 2 3? ?

……….9 分

3 ? cos A ? cos C ? 3 2

…………………..10 分

(1)证明:设 FC 的中点为 I ,连接 GI , HI ,

……….1 分 ,又 EF // OB ,

在 ?CEF 中,? CG ? GE ,CI ? IF ? GI // EF

? GI // OB ,? OB ? 面ABC, GI ? 面ABC,? GI//面ABC
在 ?FCB 中,? FI ? IC, FH ? HB ? IH // CB ,? IH // 面ABC 又 IG ? IH ? I ,所以 面GIH // 面ABC ………….3 分

? GH ? 平面GIH ? GH // 平面A B C …………………………5 分
/ / ( 2 ) 解 法 一 : 连 接 OO , 则 OO ? 平面ABC , 又 AB ? BC , 且 AC 是 圆 O 的 直 径 , 所 以

BO ? AC

…………………………6 分
/

以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz (OA 方向为 x 轴,OB 方向为 y 轴, OO 方向 为 z 轴,图略)

0, 0? ,过点 F 作 FM ? OB 于点 M , 由题意得: B?0,2,0?, C ?- 2,

故 FM ?
?

FB 2 ? BM 2 ? 3 ? F 0, 1,3 …………………………………8 分
?

?

?

故 BC ? ?? 2,?2,0?, BF ? 0,?1, 3
?

?

?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 BCF 的一个法向量,

? ? ?? ? ? ? n? BC ? 0 ?? ? ? ? n? BF ? 0
?

?? 2 x ? 2 y ? 0 ?? ?? y ? 3 z ? 0

取 z ? ?1 ,则 n ?

?

3,? 3,?1 ,………………………………10 分
?

?

又平面 ABC 的一个法向量 OO ? 0,0, 3 ,
/

?

?

故 cos ? n , OO ??
/

?

?

?

n? OO
? ?

? /

??

7 ………………………………11 分 7

n OO /

所以二面角 F ? BC ? O 的余弦值为

7 ………………………………12 分 7

/ / 解法二: 连接 OO ,过点 F 作 FM ? OB 于点 M ,则有 FM // OO ,………..6 分

又 OO ? 平面ABC ,所以 FM ? 平面ABC ,故 FM ?
/

FB2 ? BM 2 ? 3 ,

…………7 分 过点 M 作 MN ? BC 于点 N ,连接 FN ,可得 FN ? BC , 故 ?FNM 为二面角 F ? BC ? O 的平面角. ……………9 分 因为 AB ? BC ,且 AC 是圆 O 的直径,所以 BO ? AC ,

? MN ? BM sin 450 ?

2 14 , FN ? 2 2

………..10 分

故 cos ?FNM ?

MN 7 ? , NF 7

…………………11 分

所以二面角 F ? BC ? O 的余弦值为

7 ………………………………12 分 7
4 1 ? ; 200 50

19. 解:(1)由表中信息可知,当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 P 1 ? 当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 P2 ?

16 2 ? ?????2 分 200 25

(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A ,由已知从 5 种不同安排方案中,随机地
2 抽取 2 种方案选 法共有 C5 ? 10 (种),????4 分

其和不低于 32 周的选法有(14,18)、(15,17)、(15,18)、(16,17)、(16,18)、(17,18), 共 6 种,由古典概型概率计算公式得 P ( A) ?

6 3 ? .?????6 分 10 5

②由题知随机变量 ? 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35.????? 7 分

1 1 2 ? 0.1 , P(? ? 30) ? ? 0.1, P(? ? 31) ? ? 0.2 , 10 10 10 2 2 1 1 P(? ? 32) ? ? 0.2, P(? ? 33) ? ? 0.2, P(? ? 34) ? ? 0.1, P(? ? 35) ? ? 0.1 10 10 10 10 P(? ? 29) ?
?????????????????9 分 因而 ? 的分布列为

?
P

29 0.1

30 0.1

31 0.2

32 0. 2

33 0.2

34 0.1

35 0.1

?????????????????10 分 所以 E (? ) ? 29 ? 0.1 ? 30 ? 0.1 ? 31? 0.2 ? 32 ? 0.2 ? 33 ? 0.2 ? 34 ? 0.1 ? 35 ? 0.1 ? 32 . ????????????????12 分 20.解答: (1)解:设 F ?c,0? ,由
2 2 2 2

1 1 8c 1 1 8e ,得: ? ? ,…….2 分 ? ? c a a?a ? c ? | OF | | OA | | FA |

2 2 故 a ? c ? b ? 8c ,? c ? 1, a ? 9

故椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1 ………………………………4 分 9 8

(2)证明:由(1)知: A?3, 0?,B 0,2 2 ,设 P?x0 , y0 ?,则 8x0 ? 9 y0 ? 72 ……5 分
2 2

?

?

- 2 2 ,N ?0, 0 ?, AN ? 3, BM ? 4 2 , 当 x0 ? 0 时, y0 ? ?2 2 , M 0,
故: AN ? BM ? 12 2 当 x0 ? 0 时,直线 PA 的方程为: y ? …………………………..7 分

?

?

y0 ?x ? 3? ,令 x ? 0 ,得: yM ? - 3 y0 , x0 ? 3 x0 ? 3

故: BM ? 2 2 ? y M ? 2 2 ?

3 y0 , x0 ? 3

直线 PB 的方程为: y ?

2 2 x0 y0 ? 2 2 , x ? 2 2 ,令 y ? 0 ,得: x N ? x0 y0 ? 2 2
2 2 x0 . y0 ? 2 2
………………………….9 分

故: AN ? 3 ? x N ? 3 ?

?2 所以 AN ? BM ?
=

2 x0 ? 3 y0 ? 6 2 ?x0 ? 3? y0 ? 2 2

?

? ?

2

8x ? 9 y0 ? 12 2 x0 y0 ? 48x0 ? 36 2 y0 ? 72 ? 0 x0 y0 ? 2 2 x0 ? 3 y0 ? 6 2

2

2

12 2x 0 y0 ? 48x0 ? 36 2 y0 ? 144 ? 12 2 ………………….11 分 x0 y 0 ? 2 2 x 0 ? 3 y 0 ? 6 2

综上可知: AN ? BM ? 12 2 ,即 AN ? BM 为定值…………….12 分

21. (1)解: f ( x) 的定义域为 ?0,??? ,

2 ax2 ? 2 ?x ? 1? ? 1? 2 f ?x ? ? a?1 ? ? ? 2 ? 3 ? x x3 ? x? x
/

?

?

当a?0, 减.

x ? (0,1) 时 , f / ( x) ? 0 , f ( x) 单 调 递 增 ; x ? (1, ??)时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单 调 递
………………….2 分

当 a ? 0 时, f / ( x) ?

a( x ? 1) 2 2 (x ? )( x ? ). 3 x a a

①0 ? a ? 2时

? 2 ? 2 ? 时, f / ?x? ? 0, f ( x) 单调递增,当 , ?? ? 1 ,当 x ? ?0,1?或x ? ? ? ? a ? a ?
…………………3 分

? 2? ? 时, f / ?x? ? 0, f ( x) 单调递减; x?? 0 , ? a? ? ?
②a ? 2时

2 ? 1 ,当 x ? ?0,???时 f / ?x? ? 0, f ( x) 单调递增; a
? 2? 2 ?或x ? ?1,?? ?时,f 0 , ? 1 ,当 x ? ? ? ? a a ? ?
/

③ a ? 2 时, 0 ?

?x ? ? 0, f ( x) 单调递增,当

? 2 ? / ? x?? ? a ,1? 时, f ?x? ? 0, f ( x) 单调递减. ……………….4 分 ? ?
综上所述, 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 内单调递增,在 (1,??) 内单调递减;

当 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 内单调递增,在 (1, 当 a ? 2 时,函数 f ( x) 在 (0,??) 内单调递增; 当 a ? 2 时 , 函 数 f ( x) 在 (0, 增. (2)由(1)知, a ?

2 2 ) 内单调递减,在 ( ,??) 内单调递增; a a

2 2 ) 内 单 调 递 增 , 在 ( ,1) 内 单 调 递 减 , 在 (1,??) 内 单 调 递 a a
……………………………..5 分

1 时, 2

f ( x) ? f
?

/

?x ? ? 1 ?x ? ln x ? ? 2 ?
2 x

1 1? 1? 2 2 ? ?1 ? ? ? 2 ? 3 2 2? x? x x x

1 ?x ? ln x ? ? 5 ? 12 ? 23 ? 1 , x ? ?1,2? , ……………..7 分 2 2x x 2 x 1 5 1 2 1 ? 2 ? 3 ? , x ? ?1,2? 设 g ? x ? ? ? x ? ln x ?, h? x ? ? 2 2x x 2 x


f ( x) ? f / ?x? ? g ?x? ? h?x?

…………………….8 分

由 可得: 1 当 且 g ? x ? ? g ?1? ? 2 又 h ?x ? ?
/

g / ?x ? ?
仅当 x=1 时取等

x ?1 ?0 2x


…………………9 分

? 5 x 2 ? 4 x ? 12 2 ,设 ? ?x? ? ?5x ? 4x ? 12 ,则 ? ?x ? 在 x ? ?1,2? 单调递减, 4 2x

?? ?1? ? 3, ? ?2? ? ?16 ? ?x0 ? ?1,2? 使得 x ? ?1, x0 ?时? ?x ? ? 0, x ? ?x0 ,2?时? ?x ? ? 0 ,

?x0 ,2?上单调递减, ? h?x?在?1 ,x0 ?上单调递增,在
? h?1? ? 1, h?2? ? 3 3 ? h?x ? ? h?2? ? 当且仅当 x ? 2时取得等号 ,………..11 分 4 4 5 ? f ?x ? ? f / ?x ? ? g ?1? ? h?2? ? , 4 5 / 即 f ( x ) ? f ? x ? ? 对于任意的 x ? ?1,2? 成立. ………………..12 分 4
22.如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:△ABE∽△ADC; 1 (2)若△ABC 的面积 S= AD· AE,求∠BAC 的大小. 2 (1)证明 由已知条件,可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角. 所以∠AEB=∠ACD. ………….3 分 故△ABE∽△ADC. ………….4 分 ………….1 分

AB AE (2)解 因为△ABE∽△ADC,所以 = , AD AC 即 AB·AC=AD· AE ………….6 分 1 1 又 S= AB· ACsin∠BAC,且 S= AD· AE, 2 2 故 AB· ACsin∠BAC=AD· AE, ………….8 分 则 sin∠BAC=1. 又∠BAC 为△ABC 的内角,………….9 分 所以∠BAC=90°. ………….10 分

?x=3- 22t, 23. 在在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为? (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 2 ?y= 5+ 2 t
取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|. 解 (1)由 ρ=2 5sin θ,得ρ 2=2 5ρsin θ. ………….2 分

∴x2+y2=2 5y,即 x2+(y- 5)2=5. ………….3 分 (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程. 得?3-

?

2 ?2 ? 2 ?2 2 t + t =5,即 t -3 2t+4=0. 2 ? ?2 ?

………….6 分

?t1+t2=3 2, 由于 Δ=(-3 2)2-4×4=2>0, 故可设 t1, t2 是上述方程的两实根, 所以? 又直线 l 过点 P(3, t2=4. ?t1·
5), ………….8 分

故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2.………….10 分

24.已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. -2x+5,x≤2, ? ? 解: (1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ………….2 分 ? ?2x-5,x≥3. 当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1;………….3 分

当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1,或 x≥4}. ………….5 分 (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|? 4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a. ………….8 分 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2, 即-3≤a≤0. ………….9 分

故满足条件的 a 的取值范围是[-3,0]. ………….10 分


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