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3.3.1几何概型(两课时)(经典分类例题)


引例
?

为什么要学习几何概型?

假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父 亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00

之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为
事件A)的概率是多少?

能否用古典概型的公式来求解?

件A包含的基本事件有多少?

早在概率论发展初期,人们就认识到, 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 借助于古典概率的定义,设想仍用 “事件的概率”等于“部分”比“全体” 的方法,来规定事件的概率. 不过现在的 “部分”和“全体”所包含的样本点是无 限的. 用什么数学方法才能构造出这样的 数学模型? 显然用几何的方法是容易达到的.

? 问题:

图中有两个转盘.甲乙两人玩转

盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获
胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲

获胜的概率是多少?

? 事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域

的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位 置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一 点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是 不相邻,甲获胜的概率是不变的.

几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.

在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:

构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

举例

(一)与长度有关的几何概型

例1: 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
解: 设A={等待的时间不多于10分钟}.我们 所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得 P( A) ? 60 ? 50 ? 1 , 60 6
1 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 6

练习

(一)与长度有关的几何概型

(一)与长度有关的几何概型
练习:取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,
那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?

(二)与角度有关的几何概型

(二)与角度有关的几何概型

(三)与面积有关的几何概型

(四)几何概型的应用——随机模拟

练习

练习:课本:P140 1, 2

1.如右下图,假设你在每个图形上随机撒 一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概 率.

练习

练习:课本:P142 A组 1, 2,3
1.一张方桌的图案如图所示.将一颗豆子 随机地扔到桌面上,假设豆子不落在线上, 求下列事件的概率: (1)豆子落在红色区域; (2)豆子落在黄色区域; (3)豆子落在绿色区域; (4)豆子落在红色或绿色区域; (5)豆子落在黄色或绿色区域.

举例

(五)与体积有关的几何概型

(五)与体积有关的几何概型

(六)几何概型的应用

(六)几何概型的应用

(六)几何概型的应用
例3: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上

6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工
作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家 前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?

解:以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示父亲 离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形 区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家 前能得到报纸,即时间A发生,所以
302 602 ? 2 ? 87.5%. P( A) ? 602

(六)几何概型的应用
?

对于复杂的实际问题,解题的关键是要 建立模型,找出随机事件与所有基本事件相 对应的几何区域,把问题转化为几何概率问 题,利用几何概率公式求解.

思考
《练习册》P84例3
?

甲乙两人约定在6时到7时
之间在某处会面,并约定先到者 应等候另一个人一刻钟,到时即

可离去,求两人能会面的概率.

(六)几何概型的应用

练习:课本:P142 B组 1, 2

小结
? 1.几何概型的特点. ? 2.几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

? 3.公式的运用.

作业


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