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2014届高三数学辅导精讲精练80


2014 届高三数学辅导精讲精练 80
1.设随机变量的分布列如表所示,且 E(ξ)=1.6,则 a×b= ξ P A.0.2 C.0.15 答案 解析 C 由分布列的性质,得 0.1+a+b+0.1=1. 0 0.1 1 a 2 b 3 0.1 ( )

B.0.1 D.0.4

∴a+b=0.8.① 又由 E(ξ)=0×0.1

+1×a+2×b+3×0.1=1.6, 得 a+2b=1.3.② 由①②解得 a=0.3,b=0.5. ∴a×b=0.3×0.5=0.15. 2.设投掷 1 颗骰子的点数为 ξ,则 A.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.52 C.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.5 答案 B 35 B.E(ξ)=3.5,D(ξ)=12 35 D.E(ξ)=3.5,D(ξ)=16 ( )

3.(2012· 沧州七校联考)某街头小摊,在不下雨的日子一天可赚到 100 元, 在下雨的日子每天要损失 10 元,若该地区每年下雨的日子约为 130 天,则此小 摊每天获利的期望值是(一年按 365 天计算) A.60.82 元 C.58.82 元 答案 解析 A 235 130 E(ξ)=100×365+(-10)×365≈60.82,∴选 A. B.68.02 元 D.60.28 元 ( )

4.(2013· 上海虹口高三质检)随机变量 x 的分布如图所示,则数学期望 E(x) =________. x 0 1 2 3

P 答案 解析 1.7

0.1

0.3

2a

a

由期望公式,得 E(x)=0×0.1+1×0.3+2×2a+3×a=0.3+7a,而

0.1+0.3+3a=1, 所以 E(x)=1.7. 5. (2012· 浙江杭州)设整数 m 是从不等式 x2-2x-8≤0 的整数解的集合 S 中 随机抽取的一个元素,记随机变量 ξ=m2,则 ξ 的数学期望 E(ξ)=________. 答案 解析 5 S={-2,-1,0,1,2,3,4},ξ 的分布列为 ξ P 所以 E(ξ)=5. 6.已知 ξ 的分布列如图所示,若 η=3ξ+2,则 E(η)=________. ξ P 答案 解析 15 2 η 的分布列为 η P 1 1 ,而2+t+3=1, 1 5 8 11 15 则 t=6,所以 E(η)=2+6+ 3 = 2 . 7.毕业生小王参加人才招聘会,分别向 A,B 两个公司投递个人简历.假 1 定小王得到 A 公式面试的概率为3,得到 B 公司面试的概率为 p,且两个公司是 否让其面试是独立的.记 ξ 为小王得到的面试的公司个数.若 ξ=0 时的概率 P(ξ 1 =0)=2,则随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)=________. 5 1 2 8 t 11 1 3 1 1 2 2 t 3 1 3 0 1 7 1 2 7 4 2 7 9 1 7 16 1 7

答案 解析

7 12 1+p 1 1 2 由题意,得 P(ξ=2)=3p,P(ξ=1)=3(1-p)+3p= 3 ,

ξ 的分布列为 ξ P 1 1+p 1 1 由2+ 3 +3p=1,得 p=4. 1+p 1 1 7 所以 E(ξ)=0×2+1× 3 +2×3p=12. 8.设等差数列{an}的公差为 d,若 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 的方差为 1, 则 d=________. 答案 解析 1 ± 2 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 的均值为 0 1 2 1 1+p 3 2 1 3p

a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 =a4,则 7 ?a1-a4?2+?a2-a4?2+?+?a7-a4?2 7 1 1 =4d2=1,d=± ,故填± . 2 2 9.若 x1,x2,x3,?,x2 008,x2 009 的方差为 3,则 3(x1-2),3(x2-2),?, 3(x2 008-2),3(x2 009-2)的方差为________. 答案 解析 27 由公式 D(aξ+b)=a2D(ξ),得 3(x1-x),3(x2-2),?,3(x2
008-2),

3(x2 009-2)的方差为 27,故填 27. 10.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了 5 次,成绩如下表(单位:环) 甲 乙 10 10 8 10 9 7 9 9 9 9

如果甲、乙两人中只有 1 个入选,那么入选的最佳人选应是________.

答案 解析

甲 甲、 乙两人的期望都为 9 环, 但甲的方差小, 比较稳定, 乙的方差大,

容易波动,则入选的最佳人选是甲,故填甲. 11. (2013· 江南十校联考)甲、 丙三人独立地对某一技术难题进行攻关. 乙、 甲 2 3 4 能攻克的概率为3,乙能攻克的概率为4,丙能攻克的概率为5. (1)求这一技术难题被攻克的概率; (2)现假定这一技术难题已被攻克,上级决定奖励 a 万元.奖励规则如下: 若只有 1 人攻克,则此人获得全部奖金 a 万元;若只有 2 人攻克,则奖金奖给此 a a 二人,每人各得2万元;若三人均攻克,则奖金奖给此三人,每人各得3万元.设 甲得到的奖金数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 解析 1 59 ×5=60. a a (2)X 的可能取值分别为 0,3,2,a. 1 1 1 ×?1-4×5? 3 19 P(X=0)= =59, 59 60 2 3 4 × × a 3 4 5 24 P(X=3)= 59 =59, 60 2 3 1 1 4 ×? × + × ? a 3 4 5 4 5 14 P(X=2)= =59, 59 60 2 1 1 3×4×5 2 P(X=a)= 59 =59. 60 ∴X 的分布列为 X 0 a 3 a 2 a 2 3 4 1 1 (1)这一技术难题被攻克的概率 P=1-(1-3)(1-4)(1-5)=1-3×4

P

19 59

24 59

14 59

2 59

19 a 24 a 14 2 17 ∴E(X)=0×59+3×59+2×59+a×59=59a. 12.(2013· 广州综合测试)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动,现场准备 的抽奖箱里放置了分别标有数字 1 000、 800、 600、 的四个球(球的大小相同). 0 参 与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回),公司即赠送与此球上所标数字等额 的奖金(元), 并规定摸到标有数字 0 的球时可以再摸一次,但是所得奖金减半(若 再摸到标有数字 0 的球,则没有第三次摸球机会),求一个参与抽奖活动的人可 得奖金的期望. 解析 设 ξ 表示摸球后所得的奖金数,由于参与者摸取的球上标有数字 1

000,800,600,0,当摸到球上标有数字 0 时,可以再摸一次,但奖金减半,即分别 为 500,400,300,0. 则 ξ 的所有可能取值为 1 000,800,600,500,400,300,0. 依题意得 1 P(ξ=1 000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=4, 1 P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=16, 则 ξ 的分布列为 ξ P 1 000 1 4 800 1 4 600 1 4 500 1 16 400 1 16 300 1 16 0 1 16

所以所求的期望为 1 1 E(ξ)=4×(1 000+800+600)+16×(500+400+300+0)=675(元). 即一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望是 675 元. 13.(2013· 衡水调研卷)甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中目标的 环数都稳定在 7,8,9,10 环,且每次射击成绩互不影响,射击环数的频率分布表如 下: 甲运动员 射击环数 频数 频率

7 8 9 10 合计

10 10 x 35 100 乙运动员

0.1 0.1 0.45 y 1

射击环数 7 8 9 10 合计

频数 8 12 z

频率 0.1 0.15

0.35 80 1

若将频率视为概率,回答下列问题: (1)求甲运动员击中 10 环的概率; (2)求甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (3)若甲运动员射击 2 次,乙运动员射击 1 次,ξ 表示这 3 次射击中击中 9 环 以上(含 9 环)的次数,求 ξ 的分布列及 E(ξ). 解析 由题意得 x=100-(10+10+35)=45,

y=1-(0.1+0.1+0.45)=0.35. 因为乙运动员的射击环数为 9 时的频率为 1-(0.1+0.15+0.35)=0.4, 8 所以 z=0.4×0.1=32. 由上可得表中 x 处填 45,y 处填 0.35,z 处填 32. (1)设“甲运动员击中 10 环”为事件 A,则 P(A)=0.35,即甲运动员击中 10 环的概率为 0.35. (2)设甲运动员击中 9 环为事件 A1, 击中 10 环为事件 A2, 则甲运动员在一次 射击中 9 环以上(含 9 环)的概率为 P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.45+0.35=0.8, 故甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率 P=1-[1 -P(A1+A2)]3=1-0.23=0.992. (3)ξ 的可能取值是 0,1,2,3,则

P(ξ=0)=0.22×0.25=0.01,
1 P(ξ=1)=C2×0.2×0.8×0.25+0.22×0.75=0.11,

P(ξ=2)=0.82×0.25+C1×0.8×0.2×0.75=0.4, 2 P(ξ=3)=0.82×0.75=0.48. 所以 ξ 的分布列是 ξ P 0 0.01 1 0.11 2 0.4 3 0.48

E(ξ)=0×0.01+1×0.11+2×0.4+3×0.48=2.35. 14.(2012· 湖北理)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm) 对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延误 天数 Y 0 2 6 10 X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别 为 0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有:

P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2. P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为 Y P 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (2)由概率的加法公式,得 P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7. 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.

由条件概率, P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)= 得 6 7.

P?300≤X<900? 0.6 =0.7= P?X≥300?

6 故在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是7.


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