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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 2.7函数的图象课件 理 新人教A版


数学

川(理)

§2.7 函数的图象
第二章 函数与基本初等函数 I

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域; (2)化简函数的解析式; (3)讨论函数的 性质即奇偶性、周期性、单调性、最 值(甚至变化

趋势);(4)描点连线,画 出函数的图象.

1.数形结合的思想方 法是学习函数内容 的一条主线,也是 高 考 考 查 的 热 点.作函数图象首 先要明确函数图象 的形状和位置.

基础知识·自主学习
要点梳理
2.图象变换 (1)平移变换
f(x)+k

难点正本 疑点清源

2.图象的每次变换都 针对自变量而言, 如从 f(-2x)的图象 到 f( - 2x + 1) 的图 1 象是向右平移2个 单位. 其中的 x 变成 1 x- . 2

f(x+h)

f(x-h)

f(x)-k

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)对称变换 ①y=f(x) ②y=f(x) ③y=f(x) y= -f(x) ; y= f(-x) ; y= -f(-x) ;
3.要理解一个函数的 图象自身的对称 性和两个不同函 数图象对称关系
难点正本 疑点清源

④y=ax (a>0 且 a≠1) y= logax(a>0且a≠1) (3)翻折变换 ①y=f(x) ②y=f(x) y= |f(x)| . y= f(|x|) . .

的不同.

基础知识·自主学习
要点梳理
(4)伸缩变换 ①y=f(x) y= f(ax). ②y=f(x) y= af(x) .
难点正本 疑点清源

3.要理解一个函数的 图象自身的对称 性和两个不同函 数图象对称关系 的不同.

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
B

解析

C
A

B

C

题型分类·深度剖析
题型一 作函数图象
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 分别画出下列函数的图象: (2)y=2x+2; x+2 2 (3)y=x -2|x|-1; (4)y= . x-1 (1)y=|lg x|;

题型分类·深度剖析
题型一 作函数图象
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 分别画出下列函数的图象: (2)y=2x+2; x+2 2 (3)y=x -2|x|-1; (4)y= . x-1 (1)y=|lg x|;

根据一些常见函数的图象, 通过平移、对称等变换可以 作出函数图象.

题型分类·深度剖析
题型一 作函数图象
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 分别画出下列函数的图象:
? ?lg x (1) y = |lg x | ; 解 (1)y=? ? ?-lg

?x≥ 1? x+2 (2) y= 2, ; 图象如图①. x ?0<x<1 ? x+2 2 x (3) y= -2 2|x |-1; (4)y= 2 个单位. . (2) 将xy= 的图象向左平移 x-1 图象如图②. 2 ? ?x -2x-1 ?x≥0? (3)y=? 2 .图象如图③. ? ?x +2x-1 ?x<0?

3 3 (4)因 y=1+ ,先作出 y=x的图象,将 x-1 其图象向右平移 1 个单位, 再向上平移 1 个 x+2 单位,即得 y= 的图象,如图④. x-1

题型分类·深度剖析
题型一 作函数图象
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 分别画出下列函数的图象: (2)y=2 ; x+2 2 (3)y=x -2|x|-1; (4)y= . x-1 (1)y=|lg x|;
x+2

(1) 熟 练 掌 握 几 种 基 本 函 数 的 图 象,如二次函数、反比例函数、 指数函数、对数函数、幂函数、 1 形如 y=x+x的函数; (2)掌握平移 变换、伸缩变换、对称变换、翻 折变换、周期变换等常用的方法 技巧,来帮助我们简化作图过程.

题型分类·深度剖析
变式训练 1 作出下列函数的图象: (1)y=|x-2|(x+1);(2)y=10|lg x|.
解 (1)当 x≥2,即 x-2≥0 时,
2

y=(x-2)(x+1)=x

? 1?2 9 -x-2=?x-2? -4; ? ?
? 1?2 9 +x+2=-?x-2? +4. ? ?

当 x<2,即 x-2<0 时,
y=-(x-2)(x+1)=-x
2

1?2 9 ?? x- ? - ,x≥2, ?? 2? 4 ? ∴y=? ? ? ?-?x-1?2+9,x<2. ? ? 2? 4 这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函

数图象作出(如图).

题型分类·深度剖析
变式训练 1 作出下列函数的图象: (1)y=|x-2|(x+1);(2)y=10|lg x|.
(2)当 x≥1 时,lg x≥0,y=10|lg x|=10lg x=x;
当 0<x<1 时,lg x<0,y=10
|lg x|

=10

-lg

x

1 =10 =x.
lg 1 x

x,x≥1, ? ? ∴y=?1 ,0<x<1. ? ?x
这是分段函数,每段函数的图象可根据正比例函数或 反比例函数图象作出(如图).

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

识图、辨图
函数 f(x)=1+log2x )
思维启迪 解析 答案 探究提高

与 g(x)=21-x 在同一直角坐 标系下的图象大致是(

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

识图、辨图
函数 f(x)=1+log2x )
思维启迪 解析 答案 探究提高

与 g(x)=21-x 在同一直角坐 标系下的图象大致是(
在同一坐标系中判断两个函数的 图象,可利用两个函数的单调性、 对称性或特征点来判断.

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

识图、辨图
函数 f(x)=1+log2x )
思维启迪 解析 答案 探究提高 f(x) = 1 + log2x 的图象由函数 f(x) =

与 g(x)=21-x 在同一直角坐 标系下的图象大致是(

log2x 的图象向上平移一个单位而得到, 所以函数图象经过(1,1)点,且为单调增 函数,显然,A 项中单调递增的函数经 过点(1,0),而不是(1,1),故不满足;
函数 g(x)=2
1-x

? 1? =2×?2?x, 其图象经过 ? ?

(0,2)点,且为单调减函数,B 项中单 调递减的函数与 y 轴的交点坐标为 (0,1),故不满足;D 项中两个函数都 是单调递增的,故也不满足.综上所 述,排除 A,B,D.故选 C.

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

识图、辨图
函数 f(x)=1+log2x
思维启迪 解析 答案 探究提高 f(x) = 1 + log2x 的图象由函数 f(x) =

与 g(x)=21-x 在同一直角坐 标系下的图象大致是( C )

log2x 的图象向上平移一个单位而得到, 所以函数图象经过(1,1)点,且为单调增 函数,显然,A 项中单调递增的函数经 过点(1,0),而不是(1,1),故不满足;
函数 g(x)=2
1-x

?1? =2×?2?x, 其图象经过 ? ?

(0,2)点,且为单调减函数,B 项中单 调递减的函数与 y 轴的交点坐标为 (0,1),故不满足;D 项中两个函数都 是单调递增的,故也不满足.综上所 述,排除 A,B,D.故选 C.

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

识图、辨图
函数 f(x)=1+log2x
思维启迪 解析 答案 探究提高 函数图象的识辨可从以下方面入手:

与 g(x)=21-x 在同一直角坐 标系下的图象大致是( C )

(1)从函数的定义域,判断图象的左 右位置;从函数的值域,判断图象的 上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变 化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对 称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循 环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求 的图象.

题型分类·深度剖析

变式训练 2 的大致图象是

(1)函数 y=x+cos x ( B ) 解析 ∵y′=1-sin x≥0,
∴函数 y=x+cos x 为增函数,排除 C.
又当 x=0 时,y=1,排除 A,
π π 当 x=2时,y=2,排除 D.∴选 B.

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分

图象如图所示, 则在(-2,0)上, 下列函数中与 f(x) 的单调性不同的是 A.y=x2+1 ? ?2x+1,x≥0 C.y=? 3 ? ?x +1,x<0
解析

( C ) B.y=|x|+1 x ? ?e ,x≥0 D.y=? -x ? ?e ,x<0

f(x)在(-2,0)上为减函数,可逐个验证.

题型分类·深度剖析
题型三 函数图象的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指 出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x) =m 有四个不相等的实根}.

题型分类·深度剖析
题型三 函数图象的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】已知函数 f(x)=|x2-4x+3|.

利用函数的图象可直观得到函数的
(1)求函数 f(x)的单调区间,并指

单调性,方程解的问题可转化为函
出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x) =m 有四个不相等的实根}.

数图象交点的问题.

题型分类·深度剖析
题型三 函数图象的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(2 x? )2 的单调区间,并指 ? ? x - -1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞? ? 解 f(x)=? 2 ? ?-?x-2? +1, x∈?1,3? 出其增减性; 作出函数图象如图. (2)求集合 M={m|使方程 f(x) (1)函数的增区间为[1,2] ,[3,+∞);函数的减区间为(-∞,1],[2,3] . =m 有四个不相等的实根 }. (2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m的图象,使两函数图象有四个不同
的交点(如图).

动画展示

由图知0<m<1,∴M={m|0<m<1}.

题型分类·深度剖析
题型三 函数图象的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指 出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x) =m 有四个不相等的实根}.

(1)利用图象,可观察函数的对 称性、单调性、定义域、值 域、最值等性质. (2)利用函数图象可以解决一些 形如f(x)=g(x)的方程解的个数 问题.

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (1)(2011· 课标全国)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈

[-1,1]时 f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lg x|的图象 的交点共有 A.10 个
解析

( A ) B. 9 个 C.8 个 D.1 个

观察图象可知,共有 10 个交点.

动画展示

题型分类·深度剖析
(2)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值 5 1<a<4 范围是____________ . 变式训练3
解析
2 ? ?x -x+a,x≥0, y=? 2 ? ?x +x+a,x<0,

作出图象,如图所示.

动画展示
1 此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a- 4 ,要使y=1与其有四个 1 5 交点,只需a- <1<a,∴1<a< . 4 4

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题
高考中和函数图象有关的题目主要有三种形式: 一、已知函数解析式确定函数图象 1 典例: (5 分)(2012· 课标全国)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的 ln?x+1?-x 图象大致为 ( )

考 点 分 析

求 解 策 略

解 后 反 思

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题
1 典例:(5 分)(2012· 课标全国)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的 ln?x+1?-x 图象大致为 ( )

考 点 分 析

求 解 策 略

解 后 反 思

本题考查识图能力,考查对函数性质的灵活应用.

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题
1 典例:(5 分)(2012· 课标全国)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的 ln?x+1?-x 图象大致为 ( )

考 点 分 析

求 解 策 略

解 后 反 思

策略一 (函数性质法) 函数 f(x)满足 x+1>0,ln(x+1)-x≠0,即 x>-1 且 ln(x+1)-x≠0,设 g(x)=ln(x+1)- x,则 g′(x)= -x 1 -1= .由于 x+1>0,显然当-1<x<0 时,g′(x)>0,当 x>0 时, x+1 x+1

g′(x)<0,故函数 g(x)在 x=0 处取得极大值,也是最大值,故 g(x)≤g(0)=0,当且仅当 x =0 时,g(x)=0,故函数 f(x)的定义域是(-1,0)∪(0,+∞),且函数 g(x)在(-1,0)∪(0, +∞)上的值域为(-∞,0),故函数 f(x)的值域也是(-∞,0),且在 x=0 附近函数值无限 小,观察各个选项中的函数图象,只有选项 B 中的图象符合要求.

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题
1 典例:(5 分)(2012· 课标全国)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的 ln?x+1?-x 图象大致为 (B )

考 点 分 析
策略二 (特殊值检验法)

求 解 策 略

解 后 反 思

当 x=0 时,函数无意义,排除选项 D 中的图象, ?1 ? 1 1 ? 当 x= -1 时,f?e -1? ?= ? ? ?1 ?=-e<0,排除选项 A、 C 中的图象,故只能 e ? ? ?1 ? ? ln?e -1+1?-?e -1? ? ? ? ? ? 是选项 B 中的图象.
? 1 (注:这里选取特殊值 x= e -1? ?∈(- 1,0),这个值可以直接排除选项 A、 C,这种取特值 ? ? ? ? ?

的技巧在解题中很有用处)

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题
1 典例:(5 分)(2012· 课标全国)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的 ln?x+1?-x 图象大致为 (B )

考 点 分 析

求 解 策 略

解 后 反 思

(1)确定函数的图象,要从函数的性质出发,利用数形结合的思想. (2)对于给出图象的选择题,可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除.

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题
二、函数图象的变换问题 典例:(5 分) 若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为 ( )

考 点 分 析

求 解 策 略

解 后 反 思

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题
典例:(5 分) 若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为 ( )

考 点 分 析

求 解 策 略

解 后 反 思

本题考查图象的变换问题, 函数图象的变换有平移变换、 伸缩变换、 对称变换,要理解函数图象变换的实质,每一次变换都针对自变量 “x”而言.

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题
典例:(5 分) 若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为 ( C )

考 点 分 析

求 解 策 略

解 后 反 思

要想由 y=f(x)的图象得到 y=-f(x+1)的图象,需要先将 y=f(x)的 图象关于 x 轴对称得到 y=-f(x)的图象,然后再向左平移一个单位 得到 y=-f(x+1)的图象,根据上述步骤可知 C 正确.

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题
典例:(5 分) 若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为 ( C )

考 点 分 析

求 解 策 略

解 后 反 思

对图象的变换问题,从 f(x)到 f(ax+b),可以先进行平移变换,也可以先 进行伸缩变换,要注意变换过程中两者的区别.

题型分类·深度剖析
高考圈题
三、图象应用 典例:(10 分)讨论方程|1-x|=kx 的实数根的个数.

1.高考中的函数图象及应用问题

考 点 分 析

求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题

典例:(10 分)讨论方程|1-x|=kx 的实数根的个数.

考 点 分 析

求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

本题考查绝对值的意义,考查分类讨论思想和数形结合思想.

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题

典例:(10 分)讨论方程|1-x|=kx 的实数根的个数.

考 点 分 析

求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

可以利用函数图象确定方程实数根的个数.

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题

典例:(10 分)讨论方程|1-x|=kx 的实数根的个数.

考 点 分 析


求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

设 y=|1-x|,y=kx,则方程的实根的个数就是函数
3分

y=|1-x|的图象与 y=kx 的图象交点的个数.

由右边图象可知:当-1≤k<0 时,方程没有实数根; 6分

当 k=0 或 k<-1 或 k≥1 时,方程只有一个实数根; 当 0<k<1 时,方程有两个不相等的实数根.

8分 10分

题型分类·深度剖析
高考圈题 1.高考中的函数图象及应用问题

典例:(10 分)讨论方程|1-x|=kx 的实数根的个数.

考 点 分 析

求 解 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

利用函数图象确定方程或不等式的解,形象直观,体现了数形结合思 想;解题中要注意对方程适当变形,选择适当的函数作图.

思想方法·感悟提高

1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象

方 法 与 技 巧

首先要明确函数图象的位置和形状:(1)可通过研究函 数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 等等;(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变 换、伸缩变换等;(3)可通过方程的同解变形,如作函 数 y= 1-x2的图象.

思想方法·感悟提高
2.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、

方 法 与 技 巧

变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数 的关系. (2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问 题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问 题结果的重要工具. 要重视数形结合解题的思想方法. 常 用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况.

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.作图要准确、要抓住关键点.

2.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确, 注重数形结合的数学思想方法的运用.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 1.为了得到函数 y= log2(x-2)的图象,可将函 2 数 y=log2x 的图象上所有点的 ( ) 1 A.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变, 2 再向右平移 2 个单位长度 1 B.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变, 2 再向左平移 2 个单位长度 C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, 再向右平移 2 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, 再向左平移 2 个单位长度

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 1.为了得到函数 y= log2(x-2)的图象,可将函 2 数 y=log2x 的图象上所有点的 ( A ) 1 A.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变, 2 再向右平移 2 个单位长度 1 B.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变, 2 再向左平移 2 个单位长度 C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, 再向右平移 2 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, 再向左平移 2 个单位长度

解 析
由 y=log2x,y= 1 1 log x, y= log2(x- 2 2 2 2) 可 知 , 需 将 y = log2x 图象上的点的 纵坐标缩短到原来 1 的 倍, 横坐标不变, 2 再向右平移 2 个单 位长度得到函数 y= 1 log (x-2)的图象. 2 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.把函数 y=(x-2)2+2 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象对应的函数的解析式是 A.y=(x-3)2+3 C.y=(x-1)2+3 B.y=(x-3)2+1 D.y=(x-1)2+1 ( )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.把函数 y=(x-2)2+2 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象对应的函数的解析式是 A.y=(x-3)2+3 C.y=(x-1)2+3 B.y=(x-3)2+1 D.y=(x-1)2+1 ( C )

解 析
函数 y=(x-2)2+2 的图象向左平移 1 个单位,将其中 的 x 换为 x+1,得到函数 y=(x-1)2+2 的图象;再向 上平移 1 个单位,变成 y=(x-1)2+3 的图象.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3. 若函数 f(x)=loga(x+b)的大致图象如图所 示,其中 a,b (a>0 且 a≠1)为常数,则 函数 g(x)=ax+b 的大致图象是 ( )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3. 若函数 f(x)=loga(x+b)的大致图象如图所 示,其中 a,b (a>0 且 a≠1)为常数,则 函数 g(x)=ax+b 的大致图象是 ( B )

解 析
由 f(x)=loga(x+ b)的 图象知 0<a<1,0<b<1, 则 g(x)=ax+b 为减函 数且 g(x)的图象是在 y = ax 图象的基础上上 移 b 个单位,只有 B 适合.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2011· 陕西)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)的图象可能是 ( )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2011· 陕西)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)的图象可能是 ( B )

解 析
由于 f(-x)=f(x),所以函数 y=f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称,所以 A、C 错误;由于 f(x+2)=f(x),所以 T=2 是函数 y=f(x)的一个周期,D 错误.所以选 B.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.已知下列曲线:

以及编号为①②③④的四个方程: ① x- y=0;②|x|-|y|=0;③x-|y|=0;④|x|-y=0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序,依次写出与之对应的方程的编 号___________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.已知下列曲线:

以及编号为①②③④的四个方程: ① x- y=0;②|x|-|y|=0;③x-|y|=0;④|x|-y=0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序,依次写出与之对应的方程的编

④②①③ . 号___________ 解 析
按图象逐个分析,注意 x、y 的取值范围.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.如图所示,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中, AA1=2, AB=1, M, N 分别在 AD1, BC 上移动, 始终保持 MN∥平面 DCC1D1,设 BN=x,MN =y,则函数 y=f(x)的图象大致是________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.如图所示,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中, AA1=2, AB=1, M, N 分别在 AD1, BC 上移动, 始终保持 MN∥平面 DCC1D1,设 BN=x,MN

③ =y,则函数 y=f(x)的图象大致是________ .

解 析

过 M 作 ME⊥AD 于 E,连接 EN.

则 BN=AE=x,ME=2x,MN2=ME2+EN2,

即 y2=4x2+1,y2-4x2=1 (0≤x≤1,y≥1),图象应是焦点 在 y 轴上的双曲线的一部分.

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1 2 3

A组
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5 6 7 8 9

2 ? ? , x≥2, x ? 7.(2011· 北京)已知函数 f(x)= 若关于 x 的方程 3 ? ??x-1? , x<2. f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________.

解 析

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1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9

2 ? ? , x≥2, x ? 7.(2011· 北京)已知函数 f(x)= 若关于 x 的方程 3 ? ??x-1? , x<2.

(0,1) . f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________

解 析
画出分段函数 f(x)的图象如图所示,结合图象 可以看出,若 f(x)=k 有两个不同的实根,也 即函数 y=f(x)的图象与 y=k 有两个不同的交 点,k 的取值范围为(0,1).

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1 2 3

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5 6 7 8 9

x 8.(10 分)已知函数 f(x)= . 1+x (1)画出 f(x)的草图;(2)指出 f(x)的单调区间.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x 8.(10 分)已知函数 f(x)= . 1+x (1)画出 f(x)的草图;(2)指出 f(x)的单调区间.

解 析
x 1 解 (1)f(x)= =1- , 函数 f(x)的图象是 1+x x+1 1 由反比例函数 y=-x的图象向左平移 1 个单位 后,再向上平移 1 个单位得到,图象如图所示.
(2)由图象可以看出,函数 f(x)有两个单调递增区间: (-∞,-1),(-1,+∞).

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1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9

1 9.(12 分)已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+x+2 的图象关于 点 A(0,1)对称. a (1)求 f(x)的解析式;(2)若 g(x)=f(x)+x,且 g(x)在区间(0,2] 上为减函数,求实数 a 的取值范围.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 9.(12 分)已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+x+2 的图象关于 点 A(0,1)对称. a (1)求 f(x)的解析式;(2)若 g(x)=f(x)+x,且 g(x)在区间(0,2] 上为减函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)设 f(x)图象上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对 解 称点 P′(-x,2-y)在 h(x)的图象上,
1 1 析 即 2-y=-x- x+2,∴y=f(x)=x+x (x≠0). a+1 a+1 a (2)g(x)=f(x)+x =x+ x ,g′(x)=1- x2 .

∵g(x)在(0,2]上为减函数, a+1 ∴1- x2 ≤0 在(0,2]上恒成立,即 a+1≥x2 在(0,2]上恒成立, ∴a+1≥4,即 a≥3,故 a 的取值范围是[3,+∞).

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1 2

B组
3

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4 5 6 7

练出高分
1

B组
2 3

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4
5

6

7

x 3 ? ? ,x≤1, 1.函数 f(x)=? log x,x>1, 则 y=f(x+1)的图象大致是( 1 ? ? 3

)

解 析

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1 2

B组
3

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4
5

6

7

x 3 ? ? ,x≤1, 1.函数 f(x)=? log x,x>1, 则 y=f(x+1)的图象大致是( B ) 1 ? ? 3

解 析
将 f(x)的图象向左平移一个单位即得到 y=f(x+1)的图象.

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1 2

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4
5

6

7

2.函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图

则函数 y=f(x)· g(x)的图象可能是

(

)

解 析

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1 2

B组
3

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4
5

6

7

2.函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图

则函数 y=f(x)· g(x)的图象可能是

( A )

解 析

从 f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇

函数,故 f(x)· g(x)是奇函数,排除 B 项.又 g(x)在 x=0 处无 意义,故 f(x)· g(x)在 x=0 处无意义,排除 C、D 两项.

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1
2

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4 5 6

7

3.(2011· 课标全国)函数 y 1 = 的图象与函数 y 1-x =2sin πx (-2≤x≤4) 的图象所有交点的横 坐标之和等于 A.2 C.6 B. 4 D.8 ( )

解 析

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1
2

B组
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4 5 6

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3.(2011· 课标全国)函数 y 令 1-x=t,则 x=1-t. 解 析 1 = 的图象与函数 y 由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4, 1-x 所以-3≤t≤3. 又 y=2sin πx=2sin π(1-t)=2sin πt. =2sin πx (-2≤x≤4) 1 在同一坐标系下作出 y= 和 y=2sin πt 的图象. t 的 图 象 所 有 交 点 的 横 由图可知两函数图象在[-3,3] 坐标之和等于 A.2 C.6 B. 4 D.8 ( D )
上共有 8 个交点,且这 8 个交点两两关于原点对称.

因此这 8 个交点的横坐标的和 为 0,即 t1+t2+?+t8=0. 也就是 1-x1+1-x2+?+1-x8=0, 因此 x1+x2+?+x8=8.

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1
2

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4 5 6

7

1 4.(2012· 课标全国改编)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围 2 是________.

解 析

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1
2

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4 5 6

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1 4.(2012· 课标全国改编)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围 2 ? 2 ? ? ? , 1 ? 2 ? ? ? . 是________

解 析
易知 0<a<1,则由函数 y=4x 与 y=logax 的大致图象 1 2 2 知,只需满足 loga >2,解得 a> ,∴ <a<1. 2 2 2

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1
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4 5 6

7

5.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)= min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为______.

解 析

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1
2

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4 5 6

7

5.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=

6 . min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为______ 解 析
f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图. 令 x+2=10-x,得 x=4. 当 x=4 时,f(x)取最大值,f(4)=6.

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1
2

B组
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4 5 6

7

6.设 b>0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为下列之一, 则 a 的值为______.

解 析

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4 5 6

7

6.设 b>0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为下列之一,

-1 . 则 a 的值为______

解 析

先根据条件对图象进行判断是解题的关键.因

为 b>0,所以对称轴不与 y 轴重合,排除图象①②;对第三个 b 图象,开口向下,则 a<0,对称轴 x=- >0,符合条件,图 2a 象④显然不符合.根据图象可知,函数过原点,故 f(0)=0, 即 a2-1=0,又 a<0,故 a=-1.

练出高分
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2

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7

7.(13 分)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1, 求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式.

解 析

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4 5 6

7

7.(13 分)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1, 求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式.

解 析

(1)证明

设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,

则 y0=f(x0),点 P 关于直线 x=2 的对称点为 P′(4-x0,y0). 因为 f(4-x0)=f[2+(2-x0)] =f[2-(2-x0)] =f(x0)=y0, 所以 P′也在 y=f(x)的图象上, 所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称. (2)解 当 x∈[ -2,0] 时,-x∈[0,2] ,

所以 f(-x)=-2x-1.又因为 f(x)为偶函数,

练出高分
1
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B组
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4 5 6

7

7.(13 分)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1, 求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式.
所以 f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0]. 当 x∈[ -4,-2] 时,4+x∈[0,2] , 所以 f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7, 而 f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以 f(x)=2x+7,x∈[ -4,-2] .
所以
? ?2x+7,x∈[-4,-2], f(x)=? ? ?-2x-1,x∈[-2,0].

解 析


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