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(北师大版)数学必修五:1.1《数列(第1课时)》ppt课件


成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
数 列

第一章

数 列

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·必修5

第一章
§1
第1课时





数列的概念

第一章

数 列

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传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问 题.他们研究数的概念时,喜欢把数描绘成沙滩上的小石子, 小石子能够摆成不同的几何图形,于是就产生一系列的形 数.毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是1、3、6、10等数时, 小石子都能摆成正三角形,他把这些数叫做三角形数;当小石

子的数目是1、4、9、16等数时,小石子都能摆成正方形,他
把这些数叫做正方形数,等等,每一系列有形状的数按顺序排 列出来就称为数列. 本章主要学习有关数列的基本知识,建立等差数列和等比 数列两种模型,探索它们的基本数量关系,感受它们的应 用.相信你会有更大的收获!
第一章 数 列

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知识线索:本章的主要内容有数列的概念、等差数列及其 性质、等差数列前n项和,等比数列及其性质、等比数列前n项 和,数列在日常经济生活中的应用. 数列是高中数学的重点内容,又是初等数学和高等数学的

衔接点,以其独特的结构特征和解题方法,表现出数学的无穷
魅力.该部分命题比较灵活、有很好的区分度.因此,在每年 的高考中,都有一个客观题和解答题,数列的客观题主要考查

等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内
容,对基本的计算技能要求比较高;解答题大多是考查数列知 识与各章知识交汇的综合问题,这类问题以其
第一章 数 列

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新颖性、综合性而“闪亮登场”,这正好体现了高考能力 立意及在知识网络交汇处设计命题的精神,一些建立在函数、

不等式、平面解析几何等背景上的数列问题也越来越有生命力,
数列与函数、方程、不等式、平面解析几何的综合性试题是近 几年高考的热点题型,解题时要注意沟通数列与其他知识点的 内在联系,灵活运用常用的思想方法来求解.

第一章

数 列

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1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

第一章

§1

数 列

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课前自主预习

第一章

§1

数 列

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世界十大高峰的海拔都是多少米呢?请看下表:

第一章

§1

数 列

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排位 1 2 3 4

名称或图片 珠穆朗玛峰 乔戈里峰 干城章嘉峰 洛子峰

海拔高度(米) 8 848.13 8 611 8 586 8 516

所属国家或地区 中国—尼泊尔 中国—克什米尔 尼泊尔—锡金 中国—尼泊尔

5
6 7

马卡鲁峰
卓奥友峰 道拉吉里峰

8 463
8 201 8 172

中国—尼泊尔
中国—尼泊尔 尼泊尔

8
9 10

马纳斯卢峰
南伽峰 安那布尔纳峰

8 156
8 125 8 091

尼泊尔
克什米尔 尼泊尔

世界十大高峰的海拔高度 ( 米 ) 按排位依次是 8 848.13 , 8 611,8 586,8 516,8 463,8 201,8172,8156,8 125,8 091.像这样按 照一定次序排列的一列数就是本节所学的数列.
第一章 §1 数 列

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1.数列的概念
(1)数列:一般地,按照一定________ 次序 排列的一列数叫做数 列. 项 (2)项:数列中的每个数都叫做这个数列的________ . (3) 数 列 的 表 示 : 数 列 的 一 般 形 式 可 以 写 成 a1 , a2 , {an} a3 , ? , an , ? , 简 记 为 : ________. 数 列 的 第 1 项 a1 也 称 首项 ,an是数列的第n项,叫数列的________ 通项 . ________

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§1

数 列

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2.数列的分类
项 数 有 限 的 数 列 叫 作 有穷数列 ________ , 项 数 无 限 的 数 列 叫 作 无穷数列. ________ 3.数列的通项公式 如果数列 {an}的第n项 an 与n之间的函数关系可以用一个式 通项公式. 子表示成an=f(n),那么式子叫作数列{an}的________ 4.数列的表示方法 图像法 、 数列的表示方法一般有三种: __________ 列表法 、 ________ 解析法 ________.

第一章

§1

数 列

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1.下列说法正确的是(

)

A.数列 1,2,3,5,7 可表示为{1,2,3,5,7} B.数列 1,0,-1,-2 与数列-2,-1,0,1 是相同的数列 n+1 1 C.数列{ n }的第 k 项是 1+k D.数列 0,2,4,6,8,?可记为{2n}

[答案] C
[解析] {1,2,3,5,7}是一个集合, 所以 A 错; 由于数列的 n+ 1 k+1 项是有顺序的,所以 B 错;数列{ n }的第 k 项是 k =1 1 +k ,C 正确;而 D 中数列应表示为{2(n-1)}.
第一章 §1 数 列

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2.数列1,3,6,10,x,21,?中,x的值是(

)

A.12
C.15 [答案] C

B.13
D.16

[解析] ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4,
? ?x-10=5 ∴? ? ?21-x=6

,∴x=15.

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§1

数 列

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1 1 3 2 3.数列 0,3,2,5,3,?的通项公式为( n-2 A.an= n n-1 C.an= n+1 n-1 B.an= n n-2 D.an= n+2

)

[答案] C

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[解析] 解法一:验证当 n=1 时,a1=0,排除 A、D; 1 当 n=2 时,a2=3,排除 B,故选 C. 1 1 3 2 0 1 2 3 4 解法二: 数列 0, ?即数列2, ?, 3, 2, 5, 3, 3, 4, 5, 6, n-1 ∴该数列的一个通项公式为 an= ,故选 C. n+1

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§1

数 列

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1 1 4. 已知数列{an}的通项公式 an= (n∈N+), 则120 n?n+2? 是这个数列的第________项.

[答案] 10
1 1 1 [解析] 令 an=120,即 = , n?n+2? 120 解得 n=10 或 n=-12(舍去).

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课堂典例讲练

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数列的概念

下列各式哪些是数列?若是数列,哪些是有穷
数列?哪些是无穷数列? (1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4; (3)0,1,2,3,4?;(4)1,-1,1,-1,1,-1?; (5)6,6,6,6,6.

[分析]
[ 解析 ] 列.

此类问题的解决,必须要对数列及其有关概念理
(1) 是集合,不是数列; (2) 、 (3) 、 (4) 、 (5) 是数

解认识到位,结合有关概念及定义来解决.

其中(3)、(4)是无穷数列,(2)、(5)是有穷数列.
第一章 §1 数 列

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[方法总结] 理解数列概念需注意以下几点: (1)数列的定义中要把握两个关键词:“一定顺序”与“一 列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些数是按 照“一定顺序”排列着的,即确定的数在确定的位置.

(2) 项 an 与序号 n是不同的,数列的项是这个数列中的一个
确定的数,而序号是指项在数列中的位置. (3){an} 与 an 是不同概念: {an} 表示数列 a1 , a2 , a3 ,?, an,?;而an表示数列{an}中的第n项.

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§1

数 列

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(4)数列的简记符号 {an},不可能理解为集合 {an},数列的 概念与集合概念的区别如下表:
数列
数列中的项是有序 的,两组相同的数 字,按照不同的顺序 排列得到不同的数列 数列中的项可以重复 出现

集合
集合中的元素是 无序的 集合中的元素满 足互异性,集合 中的元素不能重 复出现

示例
如数列1,3,4与1,4,3是 不同的数列,而集合 {1,3,4}与{1,4,3}是相 等集合 如数列1,1,1,?每项 都是1,而集合则不 可以

区 别

第一章

§1

数 列

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下列说法中,正确的是(

)

A.数列 0,2,4,6 可表示为{0,2,4,6} B.数列 1,3,5,7,9,?的通项公式可记为 an=2n+1 C.数列 2 009,2 010,2 011,2 012 与数列 2 012,2 011,2 010,2 009 是相同的数列 n+2 012 D.数列{an}的通项公式 an= ,则它的第 k 项是 n+2 011 1 1+ k+2 011
第一章 §1 数 列

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[答案] D [解析] 数列与数的集合的概念不同,A不正确;当n∈N+ 时,没有第一项1,所以B不正确;C中两个数列中数的排列顺

序不同,故是不同的数列,所以选D.

第一章

§1

数 列

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数列的通项公式 写出下面各数列的一个通项公式

(1)3,5,9,17,33,?; 2 4 6 8 (2)3,15,35,63,?;
1 9 25 (3)2,2,2,8, 2 ,?; 22-1 32-2 42-3 52-4 (4) 1 , 3 , 5 , 7 ,?.

[分析]

通过观察,找出所给出的项与项数n关系的规律,

再写通项公式.
第一章 §1 数 列

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[ 解析 ] 为 an=2n+1.

(1) 通过观察,发现各项分别减去 1 ,变为

2,4,8,16,32,?其通项公式为 2n,故原数列的一个通项公式 (2)通过观察,发现分子部分为正偶数数列{2n},分母各 项分解因式:1· 3,3· 5,5· 7,7· 9,?为相邻奇数的乘积,即(2n- 2n 1)· (2n+1),故原数列的一个通项公式为 an= . ?2n-1??2n+1? (3)由于在所给数列的项中,有的是分数,有的是整数, 1 4 9 16 25 可将各项都统一成分数, 再观察, 在数列2, ? 2, 2, 2 , 2 ,
2 n 中,分母为 2,分子为 n2,故 an= 2 .

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数 列

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(4)数列中每一项由三部分组成, 分母是从 1 开始的奇数 列,其通项公式为 2n-1;分子的前一部分是从 2 开始的自 然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去 一个自然数,其通项公式为 n,综合得原数列的一个通项公 ?n+1?2-n n2+n+1 式为 an= = . 2n-1 2n-1

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数 列

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[方法总结]

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数

集 N*或它的有限子集为定义域的函数表达式,即 an=f(n). (2)同函数的关系式一样, 并不是所有的数列都有通项公 式.如 2精确到 1,0.1,0.01,?的不足近似值排成数列就不 能用通项公式表示. (3)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的. 如摆 动数列: -1,1, -1,1, -1,1, ?, 通项公式可以写成 an=(- 1) ,也可以写成
n

? ?-1,n为奇数 an=? ? ?1,n为偶数

.

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数 列

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(4)熟练地掌握一些基本数列的通项公式, 比如下面这些 数列均属于基本数列,它们的通项公式必须记住. ①数列-1,1,-1,1,?的通项公式是 an=(-1)n; ②数列 1,2,3,4,?的通项公式是 an=n; ③数列 1,3,5,7,?的通项公式是 an=2n-1; ④数列 2,4,6,8,?的通项公式是 an=2n; ⑤数列 1,2,4,8,?的通项公式是 an=2n-1; ⑥数列 1,4,9,16,?的通项公式是 an=n2; 1 1 1 1 1 ⑦数列1, ?的通项公式是 an=n(其中 n∈N+). 2, 3, 4,
第一章 §1 数 列

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写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各
数: (1)1,3,7,15,31,?; 8 15 24 (2)-1,5,- 7 , 9 ,?;
(3)0.9,0.99,0.999,??, ,?.

[ 解析 ]

(1) 注意观察各项发现各项分别加上 1 ,变为

2,4,8,16,32,?,其通项公式为 2n,故原数列通项公式为 an =2n-1,n∈N+;
第一章 §1 数 列

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(2)通过观察,数列中的数正负交替出现,且先负后正, 3 则选择(-1) .又第 1 项可改写成分式-3, 则每一项的分母依
n

次为 3,5,7,9,?,可写成(2n+1)的形式.分子为 3=1×3,8 =2×4,15=3×5,24=4×6,可写成 n(n+2)的形式.所以此 数列的一个通项公式为 an=(-1)
nn?n+2?

2n+1

.

(3)0.9=1-0.1,0.99=1-0.01,0.999=1-0.001,?

第一章

§1

数 列

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数列通项公式的应用 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.

(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)-49和68是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是, 请说明理由.
[解析] (1)∵an=3n2-28n, ∴a4=3×42-28×4=-64, a6=3×62-28×6=-60.

第一章

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数 列

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(2)令 3n2-28n=-49,即 3n2-28n+49=0, 7 ∴n=7 或 n=3(舍). ∴-49 是该数列的第 7 项,即 a7=-49. 令 3n2-28n=68,即 3n2-28n-68=0, 34 ∴n=-2 或 n= 3 . 34 * ∵-2?N , 3 ?N ,
*

∴68 不是该数列的项.

第一章

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[方法总结] 判断某数是否为数列中的项的方法及步骤 ①将所给项代入通项公式中; ②解关于n的方程; ③若 n 为正整数,说明某数是该数列的项;若 n 不是正整 数,则不是该数列的项.

第一章

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4 1 16 已知数列的通项公式为 an= 2 ,试问10和27是不是 n +3n 它的项?如果是,是第几项?

第一章

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4 1 [解析] 令 2 =10,则 n2+3n-40=0, n +3n 解得 n=5 或 n=-8,注意到 n∈N*, 故将 n=-8 舍去, 1 所以10是该数列的第 5 项. 4 16 令 2 =27,则 4n2+12n-27=0, n +3n 3 9 解得 n=2或 n=-2, 注意到 n∈N*, 16 所以27不是此数列中的项.
第一章 §1 数 列

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数列的递推公式
设{an}是首项为 1 的正项数列, 且(n+1)a2 n+1-
* na2 n+an+1an=0(n∈N ),求通项公式 an.

[分析] 显关系. [ 解析 ]

将已知等式左边分解因式,以便找出前后项的明 ( 方法一 )( 累乘法 ) 把 (n + 1)a - na + an + 1an = 0 分解

因式,

第一章

§1

数 列

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得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0. ∵an>0,∴an+an+1>0, ∴(n+1)an+1-nan=0, an+1 n ∴ a = , n + 1 n a2 a3 a4 a5 an ∴a · · · · ?· a a a an-1 1 2 3 4 n-1 1 2 3 4 an 1 =2×3×4×5×?× n ,∴a =n. 1 又∵a1=1, 1 1 ∴an=na1=n.
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an+1 n (方法二)(迭代法)同方法一,得 a = , n + 1 n n ∴an+1= an, n+1 n-1 ∴an= n · an-1 n-1 n-2 = n · · a n-1 n-2 n-1 n-2 n-3 = n · · · a n-1 n-2 n-3 ?
第一章 §1 数 列

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n-1 n-2 n-3 1 = n · · · ?·a n-1 n-2 2 1 1 =na1. 1 又∵a1=1,∴an=n. an+1 n (方法三)(构造特殊数列法)同方法一,得 a = , n+1 n
∴(n+1)an+1=nan, ∴数列{nan}是常数列, ∴nan=1· a1=1, 1 ∴an=n.
第一章 §1 数 列

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[方法总结]

(1)由递推关系式an=f(n)an-1求数列的通项公

式时一般采用累乘法,也可以用迭代等方法.除累乘、迭代法 外,还应注意原递推公式变形后的数列是否为某个特殊数列. (2) 递推公式:如果已知数列的第 1 项 ( 或前几项 ) ,且从第

二项(或第二项以后的某一项)开始的任一项an与它的前一项an-
1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就

叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种重要 方法.

第一章

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(3)通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,知 道任意一个具体的n值,通过通项公式就可以求出该项的值an;

而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多
个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.

第一章

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已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由 an=an-1 +an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前 5 项; an (2)通过公式 bn= 构造一个新的数列{bn},写出数列 an+1 {bn}的前 4 项.

第一章

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[解析] (1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且 a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4 +a3=5+3=8. 所以数列{an}的前 5 项依次为 1,2,3,5,8. an (2)∵bn= ,a =1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, an+1 1 a1 1 a2 2 ∴b1=a =2,b2=a =3, 2 3 a3 3 a4 5 b3=a =5,b4=a =8. 4 5 1 2 3 5 即数列{bn}的前 4 项依次为2,3,5,8.
第一章 §1 数 列

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创新探究性题目 一张长方形桌子可坐6人,按如图所示方式把桌

子拼在一起,n张桌子可坐________人.

第一章

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[分析]

图形中的数列问题,可根据图形的变化特点和数

字的变化特点来寻找规律.通过观察上图我们会发现:每张桌

子的上、下共有2人,n张桌子有2n人,每个图中左右始终共有
4人,所以n张桌子可坐2n+4人. [答案] 2n+4

[方法总结]

信息题的特点是定义了中学教学内容中没有

的知识点,它可以是新的定义、新的定理、新的规则或新的情 景,解决这类问题要先读懂新概念,理解新情景,获取有用信 息,然后由新信息和数学知识分析、解决新情景问题,这类问 题能很好地考查学生的创新意识和创新能力,在今后高考中会

成为考查的重点.
第一章 §1 数 列

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下列关于星星的图案构成一个数列,观察各图案中星星的
个数关系,推测第7个图案中星星的个数是( )

A.43 C.28 [答案] C

B.21 D.32

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[解析]

从图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1个;

n=2时,有1+2=3个;n=3时,有1+ 2+3=6个;n=4时,

有1+2+3+4=10个;?,
∴当n=7时,星星的个数为1+2+3+4+5+6+7=28.

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易混易错点睛

第一章

§1

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已知数列{an}的前4项为1,0,1,0,则下列各式可以作为数列 {an}的通项公式的有( )

1 1 n+1 2 n ①an=2[1+(-1) ];②an=sin 2π,(n∈N+);③an=2 [1 + ( - 1)
? ?1 ? ? ?0
n+1

1-cos nπ ] + (n - 1)(n - 2) ; ④ an = ; ⑤ an = 2

?n为偶数? . ?n为奇数?

A.4个 C.2个

B.3个 D.1个

[误解] D
第一章 §1 数 列

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[ 辨析 ] 误.

误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错

[ 正解 ]

B

将 n = 1,2,3,4 分别代入验证可知①②④均正

确.均可以作为数列的通项公式,而③⑤不是数列的通项公 式,答案选B.

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本节思维导图

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?概念 ? ? ? ?有穷数列 ?分类? ? ?无穷数列 数列? ? ? ?通项公式法?解析法? ? ? 表示方法 ? ? ?递推公式法 ?

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课时作业
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