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17.1.2


反比例函数图象性质
y=
k x

k>0

k<0

图 象
1.函数图象的两个分支 1.函数图象的两个分支 分别在第一、三象限 分别在第二、四象限 2.在每个象限内,y随x 2.在每个象限内,y随x 的增大而减小,并且第一 的增大而增大,并且第二 象限内的 y 值总大于第 象限内的 y 值总大于第 三象限内的 y 值; 四象限内的 y 值; 1.反比例函数图象无限向 x,y 轴逼近,但总不相交; 2.反比例函数图象自身都是轴对称图形,有两条对称轴; 3.反比例函数自身都是中心对称图形,对称中心是坐 标原点.

性 质

填一填
2 1.函数 y ? 是 反比例 函数,其图象为双曲线 , x

其中k= 2 ,自变量x的取值范围为 x≠ 0

.

6 2.函数 y ? 的图象位于第一、三 象限, x

在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x>0时,y > 0,这部分图象位于第 一 象限.

6 3.函数 y ? ? 的图象位于第二、四象限, x

在每一象限内,y的值随x的增大而 增大 , 当x>0时,y < 0,这部分图象位于第 四 象限.

?4、 已知点(2,y1)(1,y2)(-1,y3)(-2,y4) 在y=1/x的图象上,比较y1,y2,y3,y4的大小.

8 2.已知如图, 反比例函数y ? ? 与一次函数y ? ? x ? 2的图 x 像交于A, B两点求 . (1) A, B两点的坐标;(2)?AOB的面积.

8 ? ?y ? ? , 解 : (1)? x ? ? y ? ? x ? 2.

y A

? x ? 4, ? x ? ?2, 解得? 或? ? y ? ?2; ? y ? 4.

O

B

x

? A(?2,4), B(4,?2).

(2)解法一 : y ? ? x ? 2,当y ? 0时, x ? 2, M (2,0).
? OM ? 2.
作AC ? x轴于C, BD ? x轴于D.
? AC ? 4, BD ? 2,
A
N M D

y

C O
B

x

1 1 ? S ?OMB ? ? OM ? BD ? ? 2 ? 2 ? 2, 2 2 1 1 S ?OMA ? ? OM ? AC ? ? 2 ? 4 ? 4. 2 2

? S?AOB ? S?OMB ? S?OAM ? 2 ? 4 ? 6.

(2)解法二: y ? ? x ? 2,当x ? 0时, y ? 2, N (0,2).
? ON ? 2.
作AC ? y轴于C, BD ? y轴于D.
? AC ? 2, BD ? 4,
y A

N

C
M x

1 1 ? S ?ONB ? ? ON ? BD ? ? 2 ? 4 ? 4, 2 2 1 1 S ?ONA ? ? ON ? AC ? ? 2 ? 2 ? 2. 2 2

O
D

B

? S?AOB ? S?ONB ? S?ONA ? 4 ? 2 ? 6.

S? AOB ? S? AOM ? S? BOM

1 ? OM ? (| y A | ? | yB |) 2
1 ? ON ? (| x A | ? | xB |) 2
y A

或S? AOB ? S? AON ? S? BON

N
O
M x

B

k 当k ? 0, 函数y ? k ? x ? 1?与y ? 在同一直角坐标系中 x 的图象大致是:
y o x y o x y o x y o x

(1) (2) (3) (4) 由k<0可知,两个函数的图象在第二,四象限,故可选 (2),(4);再由y=k(x-1)=kx-k得-k>0,即一次函数与y 轴的正半轴相交,因此选(2).

k 1.已知k<0,则函数 y1=kx, y2= ? x 在同一坐标系中的图象大致是 ( D) y y
(A)
0

x

(B)

0

x

y

y

(C)

0

x

(D)

0

x

k 2. 已知k>0,则函数 y1=kx+k与y2= x

在同一坐标系中的图象大致是
y y

( C )

(A)

(B)
0

x

0

x

y

y

(C)

0

x

(D)

0

x

k 3、如图,函数y= 和y=-kx+1(k≠0)在同 x

一坐标系内的图象大致是 (
6

D)
先假设某个函数 图象已经画好, 再确定另外的是否 符合条件.

y

6

y

4

4

2

2

-5

O
-2

5

x

-5

O
-2

5

x

A

-4

B
y
6 4

-4

6

y

4

2

2

-5

O
-2

5

x

-5

O
-2

5

x

-4

C

-4

D

k 4.如图能表示y ? k (1 ? x )和y ? (k ? 0) x D . 在同一坐标系中的大致图象的是 ____
y

y
O O

y

y x

x B

x

O

x

o

A

C

D

? 1、如图是三个反比例函数在x轴上
k3 k1 k2 方的图像, y1 ? , y 2 ? , y 3 ? x x x



此观察得到(
? A k1>k2>k3 ? C k2>k1>k3
k3 k2

B

)

B k3>k2>k1 D k3>k1>k2

1

? 2.表示下面四个关系式的图像有 1 1 y?? 1 1 | y |? | y |? y? | x | | x | x |x|

图像与性质

2.如图:一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 k y= x 交于M (2,m) 、N (-1,-4)两点 (1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值 y 的x的取值范围。

M(2,m)
x N(-1,-4)

12 4、如图,已知反比例函数 y ? 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点,且P点的纵坐标 是 6。 (1)求这个一次函数的解析式 (2)求三角形POQ的面积
C o Q x y P

D

1:已知点A(0,2)和点B(0,-2),点
1 P在 y ? ? 函数的图象上,如果△PAB的 x

面积是6,求P的坐标。

1 2、正比例函数y=x与反比例函数y= x 的图象相交于

A 、 C 两点 .AB⊥x轴于B,CD⊥y轴于 D(如图 ),则四边形
ABCD的面积为( (A )1 (C )2 )
D C y A O B

3 (B ) 2 (D ) 5 2

x

例:王先生驾车从A地前往300km外的B 地,他的车速平均每小时v(km),A地 到B地的时间为t(h)。 (1)以时间为横轴,速度为纵轴,画出 反映v、t之间的变化关系的图象。 (2)观察图象,回答:①当v>100时,t 的取值范围是什么?②如果平均速度控制 在第每小时60km至每小时150km之间, 王先生到达B地至少花费多少小时?

实际应用
?

(05江西省中考题)已知甲,乙两地相 距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如 果汽车每小时耗油量为aL,那么从甲地 到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶 速度v(km/h)的函数图象大致是( ).
Y/L Y/L Y/L Y/L

o
o (1)
V(km/h)

V(km/h)

o (2)

V(km/h)

o (3)

V(km/h)

(4)

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴:直线y=x和 y=-x。对称中心是:原点
k y = — x y

y=-x
0
12

y=x

x

如图,已知一次函数 y ? kx ? b的图象与反比例函数 8 y ? ? 的图象交于A, B两点, 且点A的横坐标和点 B x 的纵坐标都是 ? 2.
求(1)一次函数的解析式

y A

(2)根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函 数的值的x的取值范围。

O B

x


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