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余弦定理课时1


正弦定理和余弦定理 第三课时 余弦定理(1)

一、学习目标: 1.理解用向量的数量积证明余弦定理的方法; 2.熟记余弦定理及其变形公式; 3.会利用余弦定理及其变形公式求解简单斜三角形边角问题。 二、学习重难点: 重点:余弦定理证明及应用. 难点:1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程; 2.余弦定理在解三角形时的应用思路. 三、自主预习:

1.余弦定理:三角形任何一边的_______等于其他两边__________的和减去这两边与它们的 2 __________的余弦的积的______________.即 a =_______________________, b2=______________________________, c2=________________________________. 2.余弦定理的推论: cosA=___________________, cosB=___________________, cosC=_____________.

3.在?ABC中: (1)若a 2 ? b 2 - c 2 ? 0, 则C ? _______; (2)若c 2 ? a 2 ? b 2 - ab, 则C ? ____; (2)若c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab, 则C ? ____;
四、自主探究: 用向量的数量积证明余弦定理

五、能力技能交流: 活动一、已知三角形的两边及夹角解三角形: 例 1:在△ABC 中,已知 b=3,c=1,A=60°,求 a。

【总结】

变式训练1、在?ABC中,边a, b的长是方程x 2 - 5x ? 2 ? 0 的两根,C ? 60?,求变c.

活动二、已知三角形三边求求角

例2、已知在?ABC的三边长为a ? 3, b ? 4, c ? 37, 求?ABC的最大内角.

【总结】

变式训练2、在?ABC中,已知a : b : c ? 2 : 6:( 3+1) 求三角形各角的度数.

活动三、利用余弦定理判断三角形的形状

例3、在?ABC中,a,b,c分别表示三个内角A, B, C的三条对边, 如果(a 2 ? b2 )sin( A ? B) ? a 2 ? b2 )sin( A ? B). ( 试判断三角形的形状.

【总结】

变式训练 3:以 2、3、x 为三条边,构成一个锐角三角形,求 x 的范围。

【课堂小结】

【课时作业】

1、在?ABC中,已知b=4 3 , c ? 2 3, ?A ? 120?, 则a ? _______ . 2、在?ABC中,已知a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc, 则A等于 _________ . 3、已知a, b, c是?ABC三边的长,满足等式 (a ? b - c)(a ? b ? c) ? ab, 则?C ? ___________ . 4、在?ABC中,若 sin A : sin B : sin C ? 7 : 8 :13, 则C ? _______ . 5、已知?ABC中,A ? 60?,最大边和最小边是方程x 2 - 9 x ? 8 ? 0的 两个正实数根,那么BC边长是 ____________ . 6、在?ABC中,BC ? 5,AB ? 3,B ? 120?,则?ABC的周长等于 ______ . 7、已知?ABC的三边长为a ? 3, b ? 5, c ? 6, 则?ABC的面积为 __________ . 8、?ABC为钝角三角形,a ? 3, b ? 4, c ? x, C为钝角,则x的取值范围为 _____ . 9、在?ABC中,BC=a, AC ? b, a, b是方程x 2 - 2 3x ? 2 ? 0两个根, 且2 cos( A ? B) ? 1, 求 ()角C的度数; 1 (2)AB的长度; (3)S?ABC .

10、在?ABC中,BC=7, AC ? 8, AB ? 9,求AC边上的中线.

11、在?ABC中,A ? C ? 2B, a ? c ? 8, ac ? 15, 求b 的值.

第四课时 余弦定理(二)?

一、学习目标: 1.熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用。 2.提高学生对正、余弦定理应用范围的认识,处理问题时能选择较为简捷的方法。 3,。通过训练培养学生的分类讨论,数形结合,优化选择等思想。 二、学习重难点: 重点:正、余弦定理的综合运用.? 难点:1.正、余弦定理与三角形性质的结合; 2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.? 三、自主预习:

1.在?ABC中,边a, b, c所对角分别为A, B, C,则有: A? B ()A ? B ? C ? ________, 1 ? __________ . 2 (2) sin( A ? B) ? ______________, cos( A ? B) ? ______________ . (3) sin 2 A ? _________, cos 2 A ? _____________ ? ___________ ? __________________ . 2.正弦定理及其变形: (1)正弦定理:________________________. (2)a ? ________, b ? ________, c ? _________; (3) sin A ? _____,sin B ? _____,sin C ? ______; (4) sin A : sin B : sin C ? ___________ . 3.余弦定理及其推论: ()c2 =______________. 1 (2)cosA=_____________. 4.三角形的面积公式: S?ABC ? _________ ? ________ ? ___________ .
四、能力技能交流: 活动一、灵活应用正弦定理、余弦定理 例 1 三角形 ABC 中,AB=2,AC=3,BC=4,求△ABC 的面积.

【总结】

变式训练 1、 在三角形 ABC 中,若 CB=7,AC=8,AB=9, 求 AB 边的中线长.

活动二、利用正、余弦定理判断三角形形状

例2、在?ABC中,已知(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab, 3 sin A sin B ? , 试判断三角形形状. 4

【总结】

变式训练2、在?ABC中,已知c ? 2a cos B, 试判断该三角形的形状。

变式训练3、在?ABC中,已知a ? 2, b ? 3, C ? 600 , 试证明此三角形是锐角三角形.

活动三、应用余弦定理证明证明恒等式

例3、在?ABC中,求证 :

a b cos B cos A ? ? c( ? ). b a b a

【总结】

a 2 -b2 sin( A ? B) 变式训练4、在?ABC中,求证 : 2 ? . c sin C
【课时作业】 2 2 2 1.在△ABC 中,若 sin A=sin B+sin C+sinB·sinC,则角 A 等于____________ 2.在三角形中,三边长为连续自然数,且最大角是钝角, 那么这个三角形的三边长分别为 . 3.在△ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ABC 的形状是___________.

13 , 则最大角的余弦值是 ______ . 14 5.?ABC的三边分别是a, b, c且满足b 2 ? ac, 2b ? a ? c, 则此三角形是 _____ 三角形. 4.在?ABC中,已知a ? 7, b ? 8, cos C ? 6.在?ABC中,若 lg a ? lg c ? lg sin A ? ? lg 2, 并且A为锐角, 则?ABC是__________三角形. 7.已知?ABC的面积是2 3,BC ? 5,A ? 60?, 则?ABC的周长是 _________ . A b?c 8.在?ABC中,a, b, c的分别是A, B, C 对边, 2 ? cos , 则?ABC的形状为 ______ . 2 2c
9.已知方程 a(1-x )+2bx+c(1+x )=0 没有实数根,如果 a、b、c 是△ABC 的三条 边的长,求证△ABC 是钝角三角形.
2 2

10.已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=( 3 +1)∶( 3 -1)∶ 10 ,求最大角.

【选做】
? ? 3 11.在?ABC中,a, b, c的分别是A, B, C 对边, B ? ,且 AB? AC ? ?21. cos 5 (1)求?ABC的面积;

(2)若a ? 7, 求角C。

3 12.在?ABC中,a, b, c的分别是A, B, C 对边, B ? ,且b 2 ? ac. cos 4 1 1 (1)求 ? 的值; tan A tan C ? ? 3 (2)设 BA? BC ? , 求a ? c. 2


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