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2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-3【配套备课资源】第三章 1.1-1.2


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回归分析 相关系数

学习要求 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系. 2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度. 学法指导 两个变量之间的相关关系可以通过画散点图形象展示,线 性

相关是最重要的回归模型,相关系数可以刻画回归的效 果.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.1-1.2

∑ ?xi- x ??yi- y ?
i=1

n

本 ∑ ?xi- x ?2 课 1.在线性回归方程 y=a+bx 中,b=________________= i=1 时 n 栏 ∑xiyi-n x y 目 i=1 n 开 1n 1n 2 关 ∑yi ∑x2i-n x ∑xi

n

y -b x ni=1 ni=1 i=1 _____________, a=_______.其中 x =______,y =_____.

(______称为样本点的中心,线性回归直线过样本点的中 x,y)
心.

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[-1,1] 2.相关系数 r 的取值范围是________,|r|值越大,变量之间

的线性相关程度越高;|r|值越接近 0,变量之间的线性相
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关程度越低. 3.当 r>0 时,b____0,称两个变量正相关; >

< 当 r<0 时,b____0,称两个变量负相关;
当 r=0 时,b____0,称两个变量线性不相关. =

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探究点一

线性回归方程

本 问题 1 什么叫回归分析? 课 答 回归分析是对具有不确定性关系的两个变量进行统 时 栏 计分析的一种方法. 目 开 关

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问题 2
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对具有线性相关关系的两个变量进行回归分析有哪

几个步骤?

答 基本步骤为画散点图,求线性回归方程,用线性回归 方程进行预报.

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例 1 某班 5 名学生的数学和物理成绩如表: 学生 学科
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A 88 78

B 76 65

C 73 71

D 66 64

E 63 61

数学成绩(x) 物理成绩(y) (1)画出散点图;

(2)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程; (3)一名学生的数学成绩是 96,试预测他的物理成绩.

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(1)散点图如图.

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1 (2) x = ×(88+76+73+66+63)=73.2. 5 1 y =5×(78+65+71+64+61)=67.8.
5

∑xiyi=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61
i=1

=25 054.

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5

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∑xi2=882+762+732+662+632=27 174.
i=1
5

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∑xiyi-5 x · y i=1 ∴b= 5 ≈0.625. 2 2 ∑xi -5 x
i=1

∴a= y -b x =67.8-0.625×73.2=22.05.

∴y 对 x 的线性回归方程是 y=0.625x+22.05. (3)当 x=96 时,y=0.625×96+22.05≈82. 可以预测他的物理成绩是 82.

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小结
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(1)由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值.

(2)回归系数由最小二乘法估计得到. (3)解释变量只解释预报变量的一部分而非全部.

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跟踪训练 1 某企业上半年产品产量与单位成本资料如下: 月份 产量(千件) 单位成本(元) 1
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2 3 4 3 4 5

73 72 71 73 69 68

2 3 4 5 6 (1)求出线性回归方程;

(2)指出产量每增加 1 000 件时,单位成本平均变动多少? (3)假定产量为 6 000 件时,单位成本为多少元?

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(1)n=6,∑xi=21,∑yi=426, x =3.5, = =
i 1 i 1
6

6

6

6 2 y =71,∑xi =79,∑xiyi=1 i=1 i=1

481,

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∑xiyi-6 x y 1 481-6×3.5×71 i=1 b= 6 2 = ≈-1.82. 2 79-6×3.52 ∑xi -6 x =
i 1

6

a= y -b x =71+1.82×3.5=77.37. 线性回归方程为 y=a+bx=77.37-1.82x. (2)因为单位成本平均变动 b=-1.82<0,且产量 x 的计量单 位是千件, 所以根据回归系数 b 的意义有:

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产量每增加一个单位即 1 000 件时,单位成本平均减少 1.82 元.
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(3)当产量为 6 000 件时,即 x=6,代入线性回归方程: y=77.37-1.82×6=66.45(元) 当产量为 6 000 件时,单位成本为 66.45 元.

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探究点二

相关系数

问题 1 给出 n 对数据,按照公式求出的线性回归方程,是 否一定能反映这组成对数据的变化规律?
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答 如果数据散点图中的点都大致分布在一条直线附近, 这条直线就能反映这组成对数据的变化规律,否则求出的 方程没有实际意义.

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问题 2 怎样通过相关系数刻画变量之间的线性相关关系?
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|r|值越接近 1,变量之间的线性相关程度越高;

|r|值越接近 0,变量之间的线性相关程度越低; 当 r=0 时,两个变量线性不相关.

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例 2 下面的数据是从年龄在 40 岁到 60 岁的男子中随机抽 出的 6 个样本,分别测定了心脏的功能水平 y(满分 100), 以及每天花在看电视上的平均时间 x(小时).
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看电视的平均时间 x 4.4 心脏功能水平 y 间的样本相关系数 r; 52

4.6 53

2.7 69

5.8 57

0.2 89

4.6 65

(1)求心脏功能水平 y 与每天花在看电视上的平均时间 x 之 (2)求心脏功能水平 y 与每天花在看电视上的平均时间 x 的 线性回归方程,并讨论方程是否有意义; (3)估计平均每天看电视 3 小时的男子的心脏功能水平.

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1 解 n=6, x = (4.4+4.6+?+4.6)≈3.716 7, 6 1 y =6(52+53+?+65)≈64.166 7,
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?x2-6 x 2≈(4.42+4.62+?+4.62)-6×3.716 72 i
i=1

6

≈19.766 8, y2-6 y 2≈(522+532+?+652)-6×64.166 72 ?i
i=1 6

≈964.807 7,

?x iyi - 6 x
i=1

6

y ≈(4.4×52 + 4.6×53 + ? + 4.6×65) -

6×3.7167×64.166 7≈-124.630 2.

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(1)心脏功能水平 y 与每天花在看电视上的平均时间 x 之间的 相关系数:
-124.630 2 r≈ ≈-0.902 5. 19.766 8×964.807 7
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-124.630 2 (2)b≈ ≈-6.305 0,a= y -b x ≈87.600 5,心脏 19.766 8 功能水平 y 与每天花在看电视上的平均时间 x 的线性回归方 程为 y=87.600 5-6.305 0x.
由(1)知 y 与 x 之间有较强的线性关系, 这个方程是有意义的.

(3)将 x=3 代入线性回归方程 y=87.600 5-6.305 0x,可得 y≈68.7, 即平均每天看电视 3 小时, 心脏功能水平约为 68.7.

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小结
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求解两个变量的相关系数及它们的线性回归方程的计

算量较大,需要细心、谨慎地计算.如果会使用含统计的科
n n 2 2 学计算器,能简单得到 xi, yi, xi , yi , xiyi 这些量, i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

?

n

?

n

?

n

?

?

也就无需制表这一步,直接算出结果就行了.另外,利用计 算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理.

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跟踪训练 2

维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标

“缩醛化度”y 来衡量,这个指标越高,耐水性能也越好, 而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素,在生产中常用甲醛 浓度 x(g/L)去控制这一指标, 为此必须找出它们之间的关系,
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现安排一批实验,获得如下数据. 甲醛浓度 x(g/L) 缩醛化度 y (克分子%) 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36 (1)画散点图; (2)求线性回归方程; (3)求相关系数 r. 18 20 22 24 26 28 30

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(1)

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(2)列表: i 1
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xi 18 20 22 24 26 28 30 168

yi 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36 202.94

x2 i 324 400 484 576 676 784 900 4 144

xiyi 483.48 567 632.5 692.88 773.5 840 910.80 4 900.16

2 3 4 5 6 7 ∑

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1.1-1.2

168 202.94 x = =24, y = , 7 7
b= ∑xiyi-7 x y =
i 1 7

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∑x2-7 x 2 i =
i 1

7

202.94 4 900.16-7×24× 7 = =0.264 3, 2 4 144-7×24 202.94 a= y -b x = -0.264 3×24≈22.648, 7

∴线性回归方程为 y=22.648+0.264 3x.

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7

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(3)∑yi2≈5 892, =
i 1

r=
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∑xiyi-7 x y =
i 1 7

7

∑x2-7 x 2 i i=1

∑y2-7 y 2 i =
i 1

7

202.94 4 900.16-7×24× 7 4 144-7×242× 5
?202.94? 892-7×? 7 ?2 ? ?

=0.96.

由此可以看出甲醛浓度与缩醛化度两个变量之间有较强的线 性相关关系.

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1.1-1.2

1.下列变量之间:①人的身高与年龄;②产品的成本与生产
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数量;③商品的销售额与广告费;④家庭的支出与收入. 其中不是函数关系的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( D )

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1.1-1.2

2.已知线性回归方程为 y=bx+a,其中 a=3 且样本点中心 为(1,2),则线性回归方程为
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( C )

A.y=x+3 C.y=-x+3
解析

B.y=-2x+3 D.y=x-3

∵y=bx+3 过(1,2),可计算得 b=-1.

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1.1-1.2

3. 已知一个线性回归方程为 y=1.5x+45, i∈{1,7,5,13,19}, x 本 58.5 则 y =________. 课
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4.许多因素都会影响贫穷,教育是其中之一,在研究贫穷与 教育的关系时收集了美国 50 个州的成年人受过 9 年或更少 教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本
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州人数的百分比(y)的数据, 建立的线性回归方程为 y=0.8x
一个地区受过 9 年或更 +4.6, 斜率的估计等于 0.8, 说明______________________

少教育的百分比每增加 1%, 收入低于官方规定的贫困线的 __________________________________________________ 人数占本州人数的百分比将增加 0.8%左右 ____________________________________.

解析 本题考查线性回归方程 y=bx+a 中的斜率 b 的几何 意义,

即自变量每改变一个单位,因变量平均变化|b|个单位.

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5. 一唱片公司欲知打歌费用 x(十万元)与唱片销售量 y(千张) 之间的关系, 从其所发行的唱片中随机抽取了 10 张, 得如
10 10 2 下的资料: xi=28, xi =303.4, yi=75, y2=598.5, i i=1 i=1 i=1 i=1 10 10

?

?

?

?

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0.3 ?xiyi=237,则 y 与 x 的相关系数 r 的绝对值为________.
i=1

10

?xiyi-n x y
i=1

n

解析 由公式 r= xi2-n x 2 i=1

得|r|=0.3.

?

n

yi2-n y 2 ?
i=1

n

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1.1-1.2

1.对具有相关关系的两个变量进行统计分析,可从散点图
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观察大致呈条状分布,可以求线性回归方程并进行预报. 2.通过计算相关系数可以判定两个变量的线性相关程度.


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