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湖北省稳派名校2015届高三10月联合调研考试数学理试卷(WORD版含答案)


2014-2015 学年湖北省稳派名校联考高三 (上)10 月调研数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.若集合 A. 3 个 B.2 个 C.1 个 2.下列有关命题的说法中,错误的是( ) A. 若“p 或 q”为假命题,则 p,q 均为假命题 B. “x=1”是“x≥1”的充分不必要条件 C. “ ”是“ ”的必要不充分条件
2 2

中元素的个数为( D.0 个



D. 若命题 p:”?实数 x0,使 x0 ≥0”则命题?p:“对于?x∈R,都有 x <0” 3.如图,直线 l 和圆 c,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 90 度)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致是( )

4.若 A.

,则 tan2α=( B.

) C. D.

5.函数 A. (﹣∞,1) 6.已知函数 ( ) A.

的值域为(

) C.(0,1] D.[0,1]

B.(﹣∞,1]

在区间[0,1]内至少出现 2 次极值,则 ω 的最小值为

B.

C.

D. )

7.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 ﹣ 的夹角为( A. B. C. D.

8.函数 f(x)= A. 1 个 B.2 个

的零点个数为( C.3 个

) D.4 个

9.由曲线 y=sinx,y=cosx 与直线 x=0,x=

所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是(



A. 1

B.
2

C.

D.2

10.已知 x1,x2(x1<x2)是方程 4x ﹣4kx﹣1=0(k∈R)的两个不等实根,函数 义域为[x1,x2],g(k)=f(x)max﹣f(x)min,若对任意 k∈R,恒只有 则实数 a 的取值范围是( A. B. ) C. D.



成立,

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置,填错 位置,书写不清,模棱两可均不得分 11.计算:4cos70°+tan20°= _________ . 12.已知函数 f(x)=log2(x ﹣ax+a )的图象关于 x=2 对称,则 a 的值为 _________ . 13.对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x)=﹣f(2a﹣x) , 则称 f (x) 为准奇函数, 下列函数中是准奇函数的是 _________ (把所有满足条件的序号都填上) ① f(x)= 2 ② f(x)=x ③ f(x)=tanx ④ f(x)=cos(x+1) 14.设函数 f(θ)= sinθ+cosθ,其中 θ 的顶点与坐标原点重合,始终与 x 轴非负半轴重合,终边 经过点 P(x,y)且 0≤θ≤π. (1)若点 P 的坐标为 ,则 f(θ)的值为 _________
2 2

(2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω: 则 logMm= _________ .

内的一个动点,记 f(θ)的最大值为 M,最小值 m,

15.设 f′ (x)和 g′ (x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′ (x)g′ (x)≤0 在区间 I 上恒成 立,则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性相反.若函数 f(x)= x ﹣2ax 与 g(x)=x +2bx 在开 区间(a,b)上单调性相反(a>0) ,则 b﹣a 的最大值为 _________ .
3 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说、证明过程或演算步骤) 16. (11 分)设命题 p:函数 y=loga(x+1) (a>0,a≠1)在 x∈(0,+∞)上单调递减;命题 q:3 x ﹣9 <a 对一切的 x∈R 恒成立,如果命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.
x

17. (12 分)在平行四边形 ABCD 中,A(1,1) , BD 交于点 P. (1)若 (2)当| =(2,5) ,求点 C 的坐标; |=| |时,求点 P 的轨迹.
2

=(6,0) ,M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与

18. (12 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) . (1)若 f(x)满足下列条件:① 当 x∈R 时,f(x)的最小值为 0,且 f(x﹣1)=f(﹣x﹣1)恒成立; ② 当 x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立,求 f(x)的解析式; (2)若对任意 x1,x2∈R 且 x1<x2,f(x1)≠f(x2) ,试证明:存在 x0∈(x1,x2) ,使 f(x0)= [f (x1)+f(x2)]成立. 19. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(wx+φ) (A>0,w>0,|φ|< )的图象在 y 轴上的截距为 ,

它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+π,﹣2) . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若△ ABC 中的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且锐角 A 满足 又已知 a=7,sinB+sinC= ,求△ ABC 的面积. ,

20. (14 分)如图,△ ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 CA 的长为 3(百米) ,底 AB 的长为 4 (百米) .现决定在空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计) ,将该空地分成一个四边形和一个三角 形,设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为 S1 和 S2. (1)若小路一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度; (2)求 的最小值.

21. (14 分)若函数 f(x)是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数,且 F(x)=

在 I 上是减

函数,则称 y=f(x)是 I 上的“非完美增函数”,已知 f(x)=lnx,g(x)=2x+ +alnx(a∈R) (1)判断 f(x)在(0,1]上是否是“非完美增函数”; (2)若 g(x)是[1,+∞)上的“非完美增函数”,求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.D 10.A 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置,填错 位置,书写不清,模棱两可均不得分 11. . 12. 4 . 13. ③ ④ 14. (1) 2 (2) 0 . 15. .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说、证明过程或演算步骤) 16. 解:∵ 命题 p:函数 y=loga(x+1) (a>0,a≠1)在 x∈(0,+∞)上单调递减, ∴ x+1∈[1,+∞) ,0<a<1, ∵ 命题 q:3 ﹣9 <a 对一切的 x∈R 恒成立, x x 2 ∴ f(x)=3 ﹣(3 ) , x 2 t=3 ,y=﹣t +t,t>0, 当 t= 时,y 的最大值 , 即必须得 a> , ∵ p 且 q 为真时,可得: <a<1, ∴ 命题“p 且 q”为假命题时,实数 a 的取值范围为(0, )∪ (1,+∞) , 17. 解: (1)∵ A(1,1) , =(6,0) ,∴ B(7,1) ,
x x

∵ M 是 AB 的中点,∴ M(4,1) . ∵ =(2,5) ,∴ D(3,6) , ∵ =(6,0) ,∴ =(6,0) ,

∴ C(9,6) (2)设点 P 的坐标是(x,y) ,D(a,b) ,则 C(a+b,b) , ∵ | |=| |,∴ (a﹣1) +(b﹣1) =36(*) ① , ②
2 2 2 2

由 B,D,P 共线,得 由 C,P,M 共线,得

由① ② 化简得 a=3x﹣14,b=3y﹣2,代入(*)化简得(x﹣5) +(y﹣1) =4. 18. 解: (1)∵ x∈(0,5)时,都有 x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立, ∴ 1≤f(1)≤2|1﹣1|+1=1, ∴ f(1)=1; ∵ f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x) , 2 ∴ f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1, ∴ ﹣ =﹣1,b=2a.
2

∵ 当 x∈R 时,函数的最小值为 0, ∴ a>0,f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1, ∴ f(x)min=f(﹣1)=0, ∴ a=c. ∴ f(x)=ax +2ax+a.又 f(1)=1, ∴ a=c= ,b= . ∴ f(x)= x + x+ = (x+1) ; (2)令 g(x)=f(x)﹣ [f(x1)+f(x2)],则 g(x1)=f(x1)﹣ [f(x1)+f(x2)] = [f(x1)﹣f(x2)], g(x2)=f(x2)﹣ [f(x1)+f(x2)] = [f(x2)﹣f(x1)], ∵ f(x1)≠f(x2) ∴ g(x1)g(x2)<0,所以 g(x)=0 在(x1,x2)内必有一个实根, 即存在 x0∈(x1,x2)使 f(x0)= [f(x1)+f(x2)]成立. 19. 解: (1)由最值点可得 A=2,设函数的周期为 T, =π,解得 ω=1, ,
2 2 2

由三角函数的图象特点可得 T= 又图象在 y 轴上的截距为

,∴ 2sinφ=

∴ sinφ=

,又|φ|<

,∴ φ= ) ;



∴ f(x)=2sin(x+ (2)∵ 锐角 A 满足 ∴ 2sin(A+ 解得 sinA= ﹣

, , ; = ,

)=

,∴ A= =

由正弦定理可得

变形可得 sinB= ∴ sinB+sinC=

,sinC= (b+c)=
2 2 2

, ,∴ b+c=13,

再由余弦定理可得 7 =b +c ﹣2bc× , =b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=169﹣3bc,∴ bc=40, ∴ △ ABC 的面积 S= bcsinA= ×40× 20. 解: (1)因为:AE=CE= =10 . 所以 F 不在 BC 上,
2 2 2

AE+4>CE+3

AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF 所以 AE=CE AF=CB+BF 4﹣BF=BF+3 BF=

cosA=
2 2 2

=

所以 EF =AE +AF ﹣2AE×AF×cosA= 所以 EF= E 为 AC 中点时,此时小路的长度为 (2)若 E、F 分别在 AC 和 AB 上, sinA= 设 AE=x,AF=y, 所以 S2= xysinA= S1=S 三角形 ABC﹣S2=2 所以 x+y=5 ﹣S2 因为 x+y=3﹣x+4﹣y+3

=

﹣1

xy≤ 当且仅当 x=y= 时取等号

所以

=

当且仅当 x=y= 时取等号 最小值是 若 E、F 分别在 AC 和 BC 上, sinC= 设 CE=x,CF=y 同上可得 ≥

当且仅当 x=y= 取等号 若 E、F 分别在 AC 和 BC 上,最小值是 21. 解: (1)由于 f(x)=lnx,在(0,1]上是增函数,且 F(x)= ,∴ 当 x∈(0,1]时,F′ (x)>0,F(x)为增函数, = ,

∵ F′ (x)=

∴ f(x)在(0,1]上不是“非完美增函数”; (2)∵ g(x)=2x+ +alnx,

∴ g′ (x)=2﹣

+ =



∵ g(x)是[1,+∞)上的“非完美增函数”, ∴ g′ (x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, ∴ g′ (1)≥0,∴ a≥0, 又 G(x)= =2+ + 在[1,+∞)上是减函数,

∴ G′ (x)≤0 在[1,+∞)恒成立,即﹣

+

≤0 在[1,+∞)恒成立,

即 ax﹣axlnx﹣4≤0 在[1,+∞)恒成立, 令 p(x)=ax﹣axlnx﹣4,则 p′ (x)=﹣alnx≤0 恒成立(∵ a≥0,x≥1) , ∴ p(x)=ax﹣axlnx﹣4 在[1,+∞)上单调递减, ∴ p(x)max=p(1)=a﹣4≤0,解得:a≤4; 综上所述 0≤a≤4.


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