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山东省实验中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


山东省实验中学 2013 届高二期终考试理科数学试卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.在复平面内,复数 z ? A.第一象限

1 对应的点位于 ( D ) 3?i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

2 2.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的( A )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 件 3.直线 y ? k ( x ? 1) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交

C.充要条件 D.既不充分也不必要条

( C ) D.与 k 的取值有关

4.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) ? b ( A ? 0, ? ? 0, ? 可以为 ( D )

?

? ? ? ) 的图象如图,则 f (x) 的解析式 2 2

?

3 2 1 B. f ( x) ? sin x ? 1 2 1 ? C. f ( x) ? sin x ? 1 2 4
A. f ( x) ? sin ? x ? 1 D. f ( x ) ?

y 1.5 1 0.5 0 1 2 4 x

1 ? sin x ? 1 2 2

5.正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为 4,侧棱长为 2 6 , 则此球的表面积为 ( B ) A. 18? B. 36?
2

C. 72?
2

D. 9?

6.设斜率为

x y 2 的直线 l 与双曲线 2 ? 2 ? 1 交于不同的两点,且这两个交点在 x 轴上的 a b 2 射影恰好是双曲线的两个焦点,则该双曲线的离心率为 ( )
A.
4

2

B.

2

C.

4

3

D.

3

7.已知函数 f ( x ) ?

4 ? 1 的定义域为[a,b] ( a, b) ,值域为[0,1],那么满足条件的有序对 | x | ?2
)A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 9 对

( a, b) 共有(

8.在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染 1,再染 2 个偶数 2、 4;再染 4 后面最邻近的 3 个连续奇数 5、7、9;再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 10、 12、14、16;再染 16 后面最邻近的 5 个连续奇数 17、19、21、23、25.按此规则一直 染下去,得到一红色子数列 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,….则在这个红

色 (

子 数 列 )A. 3948





由 1 B. 3953





的 第 C. 3955

2009

个 数 是 D.3958

9.已知:奇函数 f (x) 的定义域为 R,且是以 2 为周期的周期函数,数列 {an } 是首项为 1, 公差为 1 的等差数列,则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a10 ) 的值等于( A 0 B 1 C -1 10. 如果关于 x 的方程 ax ? ( ) A. {a | a ? 0} B. {a | a ? 0 或 a ? 2} C. {a | a ? 0} D. {a | a ? 0 若 ) D 2

1 ? 3 有且仅有一个正实数解,那么实数 a 的取值范围为 x2

a ? ?2}
二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若椭圆

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p 的值为_________. 5 p

12.双曲线

x2 y2 - 2 =1 的左右焦点分别为 F1 ﹑F2,在双曲线上存在点 P,满足︱PF1︱ a2 b
.

=5︱PF2︱。则此双曲线的离心率 e 的最大值为

? 3x ? y ≤ 0 ??? ??? ? ? ? OA ? OP ? 13.已知 A 3, 3 , O 为原点,点 P ? x, y ? 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ≥ 0 ,则 ??? 的最大 ? OA ?y≥ 0 ? ? 值是

?

?

14.某种股票今天的股价是 2 元/股,以后每一天的指数都比上一天的股价增加 0.2%,则 100 天以后这种基金的股价约是__________元/股(精确到 0.01). 15. 设 函 数 f ( x) , g ( x ) 定 义 域 分 别 为 DJ,DE . 且 DJ 的 DE , 若 对 于 仸 意 x? DJ, 都 有

g ( x) ? f ( x) 则称函数 g ( x) 为 f ( x) 在 DE 上的一个延拓函数.设 f ( x) ? x ln x( x ? 0), g ( x) ,
为 f ( x) 在 (??,0) ? (0, ??) 上 的 一 个 延 拓 函 数 , 且 g ( x) 是 奇 函 数 , 则 g ( x) =________________________;设 f ( x) ? 2 x ?1( x ? 0) ,

g ( x) 为 f ( x) 在 R 上的一个延拓函数,且且 g ( x) 是偶函数,则 g ( x) =________________________.
三.(解答题本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 某办公室有 5 位教师,只有 3 台电脑供他们使用,教师是否使用电脑是相互独立的。 (1)若上午某一时段 A、B、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是

1 2 2 、 、 ,求这 4 3 5

一时段 A、B、C 三位教师中恰有 2 位教师使用电脑的概率; (2)若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是 脑使用的平均台数和无法满足需求的概率。 解:(1)甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为 A、B、C,因为各位教师是否使用电 脑是相互独立的,所以甲、乙、丙三位教师中恰有 2 位使用电脑的概率是:

1 ,求在这一时段该办公室电 3

p ? P( AB C ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ?
……6 分

1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? ? 4 3 5 4 3 5 4 3 5 3

(2)电脑数无法满足需求,即指有 4 位以上(包括 4 位)教师同时需要使用电脑,记 有 4 位教师同时需要使用电脑的事件为 M,有 5 位教师同时需要使用电脑的事件为 N,

2 1 4 1 P ( M ) ? C5 ( ) 4 ( ), P( N ) ? ( )5 ……………………………………8 分 3 3 3
所以,所求的概率是:P=P(M)+P(N)= C54 ( ) 4 ( ) ? ( ) 5 ?

1 3

2 3

1 3

11 。 …………11 分 243

1 5 5 ?? ? 5 ? ? ,即平均使用台数为 台。 3 3 3
17.(本小题满分 12 分)

……………………12 分

已知角 α、β 满足:5 3sinα+5cosα=8, 2 sin ? ? 6 cos ? ? 2 且 α∈(0, β∈( , ), 6 2 求 cos(α+β)的值.

π
3

),

π π

π 4 解:∵5 3sinα+5cosα=8,∴sin(α+ )= .………………3 分 6 5 π π π π π 3 ∵α∈(0, ),∴α+ ∈( , ),∴cos(α+ )= .………………5 分 3 6 6 2 6 5
π 2 又∵ 2sinβ+ 6cosβ=2,∴sin(β+ )= ,………………8 分 3 2

π π π π 5π π 2 ∵β∈( , ),∴β+ ∈( , ),∴cos(β+ )=- ,………………10 分 6 2 3 2 6 3 2 π π π π π π 2 ∴sin[(α+ )+(β+ )]=sin(α+ )cos(β+ )+cos(α+ )sin(β+ )=- , 6 3 6 3 6 3 10
2 .………………12 分 10

∴cos(α+β)=-

18.(本小题满分 12 分)

如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面△ABC 为等腰直角三角形,∠B = 90 ,D 为 棱 BB1 上一点,且面 DA1 C⊥面 AA1C1C. 1)求证:D 点为棱 BB1 的中点; 2)若二面角 A -A1D - C 的平面角为 60 ,求
0

0

AA1 的值。 AB
B1

A1

D

C1

B A1

A 解:1)过点 D 作 DE ⊥ A1 C 于 E 点,取 AC 的中点 F,连 BF ﹑EF。 ∵面 DA1 C⊥面 AA1C1C 且相交于 A1 C,面 DA1 C 内的直线 DE ⊥ A1 C ∴直线 DE⊥面 AA1C1C 分 又∵面 BA C⊥面 AA1C1C 且相交于 AC,易知 BF⊥AC, ∴BF⊥面 AA1C1C 由此知:DE∥BF ,从而有 D,E,F,B 共面, 又易知 BB1∥面 AA1C1C,故有 DB∥EF ,从而有 EF∥AA1, 又点 F 是 AC 的中点,所以 DB = EF = 所以 D 点为棱 BB1 的中点;

C

………3

1 1 AA1 = BB1, 2 2
………6 分

B1

A1

C1 D H G

E

B A1

A

F

C

2)解法 1:延长 A1 D 与直线 AB 相交于 G,易知 CB⊥面 AA1B1B,

过 B 作 BH⊥A1 G 于点 H,连 CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH, 由此知∠CHB 为二面角 A -A1D - C 的平面角; 设 AA1 = 2b ,AB=BC = a ; 在直角三角形 A1A G 中,易知 AB = BG。 在直角三角形 DB G 中,BH =

………9 分

BD ? BG = DG BC = BH

b?a a2 ? b2



在直角三角形 CHB 中,tan∠CHB =

a2 ? b2 , b
2b ? 2, a
………12 分

据题意有:

a2 ? b2 0 = tan60 = b

3 ,解得:

所以

AA1 = 2 。 AB

2)解法 2:建立如图所示的直角坐标系,设 AA1 = 2b ,AB=BC = a , 则 D(0,0,b), A1 (a,0,2b), C (0,a,0) Z 所以, DA ? (a,0, b), DC ? (0, a,?b) ………8 1 分 设面 DA1C 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则 B1

ax ? 0 ? y ? bz ? 0, 0 ? x ? ay ? bz ? 0

A1

D

C1

可取 n ? (b,?b,?a) 又可取平面 AA1DB 的法向量

B O A1 C A y

m ? BC ? (0, a,0)

x

cos〈 n, m 〉 ?

n?m n?m
b

?

b ? 0 ? ba ? a ? 0 2b 2 ? a 2 ? a 2

??

b 2b 2 ? a 2

………10 分

据题意有:

2b 2 ? a 2

?

AA1 2b 1 ? 2 ,解得: = a AB 2

………12 分

19.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? x ln x . ⑴ 求函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; ⑵ 对一切实数 x ? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; ⑶ 证明对一切 x ? (0, ??) , ln x ? 解:⑴

1 2 ? 恒成立. e x ex

1 1 f '( x) ? ln x ? 1 , 当 x ? ( 0 , ), f '( x) ? 0 , f ( x) 单 调 递 减 , 当 x ? ( , ? ?) , e e

f '( x) ? 0 ,

f ( x) 单调递增.………………………………………………………………1 分
① 0 ? t ? t ? 2 ? ,t 无解;………………………………………………2 分 ② 0?t ? 分 ③

1 e

1 1 1 1 ? t ? 2 , 即 0 ? t ? 时 , f ( x)m i n ? f ( ) ? ? ; ………………………………3 e e e e

1 1 ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; e e

1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? 所 以 f ( x) m i n ? ? . ………………………………………………………………5 ?t ln t,t ? 1 ? e ? 分 3 3 ⑵ 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 , 则 a ? 2 l n ? x ? , 设 h( x) 2 l x x 则 x ? ? ? n x ,0 ) (? x x (x ? 3 x ? ) ( 1) , x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单 调 递 增 , x ? (1,? ? ), h '( x) ? 0 , h' x ? ( ) 2 x
h( x) 单调递减,所以 h( x)min ? h(1) ? 4 ,因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所
以 a ? h( x)min ? 4 ;………………9 分

x 2 的最小 ? ( x? (0,?? )),由⑴可知 f ( x) ? x ln x ( x? (0,?? )) ex e 1 x 2 1 1? x 值是 ? ,当且仅当 x ? 时取到,设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '(x ) ? x ,易得 e e e e e 1 1 2 m( x)max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到,从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? e e ex
⑶ 问题等价于证明 x ln x ? 成立.………………13 分 20.(本小题满分 13 分) 设正项数列{ an }的前项和为 Sn,q 为非零常数。已知对仸意正整数 n, m,当 n >

m 时, S n ? S m ? q m ? S n?m 总成立。
1)求证数列{ an }是等比数列; 2)若正整数 n, m, k 成等差数列,求证:

1 1 2 + ≥ 。 Sn Sk Sm

解: 1)因为对仸意正整数 n, m,当 n > m 时, S n ? S m ? q m ? S n?m 总成立。 所以当 n ≥2 时: S n ? S n?1 ? q n?1 S1 ,即 an ? a1 ? q n?1 ,且 a1 也适合,又 an >0, 故当 n ≥2 时: 分 2)若 q ? 1 ,则 S n ? na1 , S m ? ma , S k ? ka1 。所以 1

an ? q (非零常数),即{ an }是等比数列。 a n ?1

………5

1 1 n?k 2m 2m 2m 2 2 ? ? ? ≥ 。 ? 2 ? ? n?k 2 Sn Sk nka1 nka1 m a1 ma1 S m ( ) ? a1 2


………7

若 q ? 1 ,则 S n ? 分

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q m ) a (1 ? q k ) , Sm ? 1 , Sk ? 1 。 1? q 1? q 1? q

………8

1 (1 ? q) 2 1 1 ?2 所以 ≥2 。 ? 2 Sn Sk Sn Sk (1 ? q n )(1 ? q k )a1
分 又因为 (1 ? q n )(1 ? q k ) ? 1 ? (q n ? q k ) ? q n?k
n?k ? q n ? k ? 1 ? 2q m ? q 2 m ? (1 ? q m ) 2 。所以 ≤1 ? 2 q

………10

1 (1 ? q) 2 (1 ? q) 2 2 1 1 ?2 ? ≥2 ≥2 。 ? 2 2 n k m 2 Sn Sk Sm Sn Sk (1 ? q )(1 ? q )a1 (1 ? q ) ? a1
综上可知:若正整数 n, m, k 成等差数列,不等式 当且仅当 n ? m ? k 时取“=”。 分

1 1 2 + ≥ 总成立。 Sn Sk Sm
………13

21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 6 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 1 的直 2 3 b a

线交椭圆 C 于 A,B 两点,N 为弦 AB 的中点。 1)求直线 ON(O 为坐标原点)的斜率 KON ; 2)对于椭圆 C 上仸意一点 M ,试证:总存在角 ? ( ? ∈R)使等式: OM =cos

? OA +sin ? OB 成立。
解: 1)设椭圆的焦距为 2c,因为
2

a2 ? b2 2 c 6 ? ,故有 a 2 ? 3b 2 。从 ,所以有 ? 2 3 a 3 a
2 2

而椭圆 C 的方程可化为: x ? 3 y ? 3b 易知右焦点 F 的坐标为( 2b,0 ),



………2 分

据题意有 AB 所在的直线方程为: y ? x ? 2b 分 由①,②有: 4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0
2 2



………3



设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,弦 AB 的中点 N ( x0 , y0 ) ,由③及韦达定理有:

x0 ?

x1 ? x2 3 2b 2 ? , y 0 ? x0 ? 2b ? ? b. 2 4 4

所以 K ON ? 分

y0 1 ? ? ,即为所求。 x0 3

………5

2)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一 平面内的向量 OM ,有且只有一对实数 ? , ? ,使得等式 OM ? ?OA ? ?OB 成立。 设 M ( x, y ) ,由 1)中各点的坐标有: ( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ) , 所以 x ? ?x1 ? ?x2 , y ? ?y1 ? ?y2 。

………7 分

又点在椭圆 C 上,所以有 (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 整理为

?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 2 ? 3y2 2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 。
由③有: x1 ? x2 ?



3 2b 3b 2 。所以 , x1 ? x2 ? 2 4


x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? 2b)(x2 ? 2b) ? 4 x1 x2 ? 3 2b( x1 ? x2 ) ? 6b 2 ? 3b 2 ? 9b 2 ? 6b 2 ? 0
又 A﹑B 在椭圆上,故有 ( x1 ? 3 y1 ) ? 3b 2 , ( x2 ? 3 y2 ) ? 3b 2
2 2 2 2



将⑤,⑥代入④可得: ? ? ? ? 1 。
2 2

………11 分

对于椭圆上的每一个点 M ,总存在一对实数,使等式 OM ? ?OA ? ?OB 成立,而

?2 ? ? 2 ? 1
在直角坐标系 x ? o ? y 中,取点 P( ? , ? ),设以 x 轴正半轴为始边,以射线 OP 为 终边的角为 ? ,显然 ? ? cos? , ? ? sin ? 。 也就是:对于椭圆 C 上仸意一点 M ,总存在角 ? ( ? ∈R)使等式: OM =cos ?

OA
立。



sin

?

OB
………13 分




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