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四川省成都市2014届高三第二次诊断性考试 数学理(2014成都二诊) Word版含答案


启用前☆绝密【考试时间:2014 年 3 月 20 日下午 3:00~5:00】

成都市 2011 级高中毕业班第二次诊断性检测

数 学(理工类)
本试卷分选择题和非选择题两部分,第 I 卷(选择题)第 1 至 2 页,第 II 卷(非选择题) 3 至 4 页,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名,考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦拭干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上做答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,只将答题卡交回。

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数 z ? 3 ? i (i 为虚数单位)在复平面中对应点 A,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 0° 得到 OB,则点 B 在 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2. 执行如图的程序框图,若输入的 x 值为 7,则输出的 x 的值为 (A)

1 4

(B) log2 3 (C)2 (D)3 3.

?x ? 1?10 的展开式中第 6 项系的系数是
5

(A) - C10 (C) - C10
6

(B) C10 (D) C10
6

5

?y ?1 ? 4. 在平面直角坐标系 xoy 中, P 为不等式 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的平面区域上一动点,则 ?x ? y ?1 ? 0 ?
直线 OP 斜率的最大值为 (A)2 (B)

1 3

(C)

1 2

(D)1

5. 已知 ? , ? 是两个不同的平面,则“平面 ? // 平面 ? ”成立的一个充分条件是

(A)存在一条直线 l , l ? ? , l // ? (C)存在一条直线 l , l ? ? , l ? ?

(B)存在一个平面 ? , ? ? ? , ? ? ? (D)存在一个平面 ? , ? // ? , ? ? ?

6. 设命题 p : ??0 , ?0 ? R, cos??0 - ?0 ? - cos?0 ? cos?0; 命题 q : ?x, y ? R, 且

x?

?
2

? k? , y ?

?
2

? k? , k ? Z ,若 x>y ,则 tan x>tany ,则下列命题中真命题是
(B)p ? ??q ?
2

(A)p ? q

??p ? ? q (C)

??p? ? ??q? (D)

7. 已知 P 是圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 1上异于坐标原点 O 的任意一点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,若

OP ? d ,则函数 d ? f ?? ? 的大致图像是

8. 已知过定点 ?2,0? 的直线与抛物线 x ? y 相交于 A?x1, y1 ?, B?x2 , y2 ? 两点.若 x1 , x2 是方程
2

x 2 ? x sin ? ? cos? ? 0 的两个不相等实数根,则 tan? 的值是
(A)

1 2

(B) -

1 2

(C)2

(D)-2

9. 某市环保部门准备对分布在该市的 A, B, C, D, E, F , G, H 等 8 个不同检测点的环境监测 设备进行监测维护.要求在一周内的星期一至星期五检测维修完所有监测点的设备,且每天 至少去一个监测点进行检测维护,其中 A, B 两个监测点分别安排在星期一和星期二,

C , D, E 三个监测点必须安排在同一天, F 监测点不能安排在星期五,则不同的安排方法种
数为 (A)36 60 (B)40 (C)48 (D)

10. 已知定义在 ?0,??? 上的函数 f ?x ? ,当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? 2 ? 4 x ?

1 ; 当 x>1 时, 2

f ?x ? ? af ?x ? 1?, a ? R, a 为常数.下列有关函数 f ?x ? 的描述:
①当 a ? 2 时, f ? ? ? 4 ;

?3? ?2?

②当 a < 函数 f ?x ? 的值域为 ?- 2,2? ; 1,

③当 a>0 时,不等式 f ?x ? ? 2a

x?

1 2

在区间 ?0,??? 上恒成立;

④当 - 1<a<0 时,函数 f ?x ? 的图像与直线 y ? 2an?1 n ? N ? 在 ?0,n? 内的交点个数为

?

?

n?

1 ? ?? 1? .其中描述正确的个数有 2
n

(A)4

(B)3

(C)2

(D)1

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 如图所示的正三角形是一个圆锥的俯视图,则这个圆锥的侧面积为 _______.
x 12. 已知定义在 ?0. ? ? ? 上的函数 f ( x) ? 3 ,若 f (a ? b) ? 9 ,则

f (ab) 的最大值为_____.
13. 甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示, 如果分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝 对值不超过 3 的概率为_______. 14. 如图,在平行四边形 ABCD 中, BH ? CD 于点 H , BH 交 AC 于点

E ,已知 BE ? 3 , AB ? AC ? BE ? CB ? AE ? 15 ,则

2

AE EC

? __________.

15. 已知单位向量 i, j , k 两两所成的夹角均为 ? ? 0<?<?,且? ?

? ?

??

? ,若 2?

空间向量 a 满足 a ? xi ? yj ? zk ?x, y, z ? R ? ,则有序实数对 ? x, y, z ? 称为向量 o 在“仿射” 坐标系 Oxyz O为坐标原点 下的“仿射”坐标,记作 a ? ?x, y, z ?o .有下列命题:

?

?

- 1?o , b ? ?1,0, 2?o ,则 a ? b ? 0 ; ①已知 a ? ?2,0,
0 ?? , b ? ?0,0, z ?? ,其中 xyz ? 0 ,则且仅当 x ? y 时,向量 a ? b 的夹角 ②已知 a ? ? x, y,
2 2

取得最小值; ③已知 a ? ?x1, y1, z1 ?? , b ? ?x2 , y2 , z2 ?,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2,z1 ? z2 ?? ;
2

④已知 OA ? ?1 , 0,0?? , OB ? ?0,1, 0?? , OC ? ?0,0,1?? ,则三棱锥 O ? ABC 体积为
2

2

2

12 . 12

其中真命题有________(填写真命题的所有序号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 16.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? sin? wx ?

? ?

??

2 ? ? 2 sin wx?w>0? ,已知函数 f ( x) 的 6?

图像的相邻对称轴的距离为 ? . (I) 求函数 f ( x) 的解析式; (II) 若△ ABC 的内角为 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c (其中 b< c ) ,且 f ( A) ? 求 b, c 的值. 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 2 , 其 前 n 项 和 为

3 ,△ ABC 面积为 S ? 6 3,a ? 2 7 , 2

Sn ? pn2 ? 2n, n ? N ? .
(I)求 P 的值及 a n ; (II)在等比数列 ?bn ? 中, b3 ? a1 , b4 ? a2 ? 4 ,若等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。求证: 数列 ?Tn ? ? 为等比数列.

? ?

1? 6?

18. (本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ∠BCA=90°,AA 1 ? AC

? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D .
(I)求证: AC1 ? BA 1; (II)求 A ? A 1B ? C 的余玄值. 19.(本小题满分 12 分)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,表明质 量越好,且使用时间大于或等于 6 千小时的产品为优质品.现用 A, B 两种不同型号的节能灯 做实验,各随机抽取部分产品作为样本,得到实验结果的频率直方图如下图所示:

若以上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率. (I) 现从大量的 A, B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品, 求恰有两件是优质品的概率; (II)已知 A 型节能灯的生产厂家对使用时间小于 6 千小时的节能灯实行“三包”.通过多 年统计发现, A 型节能灯每件产品的利润 y 单位:元 与使用时间 t 单位:千小时 的关 系式如下表: 使用时间 t (单位:千小时) 每件产品的利润 y(单位: 元)

?

?

?

?

t<4
-20

4 ? t<6
20

t?6
40

若从大量的 A 型节能灯中随机抽取 2 件,其利润之和记为 X (单位:元) ,求 X 的分布 列及数学期望.

20.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知 M 0,3 , N 0, ? 3 ,平面上一动 点 P 满足 PM ? PN ? 4 ,记点 P 的轨迹为 P . (I)求轨迹 P 的方程;

?

? ?

?

1? 且不垂直于坐标轴的直线 l1 : y ? kx ? b1 与轨迹 P 相交于 A, B 两点, (II) 设过点 E ?0, 若y
轴上存在一点 Q ,使得直线 QA, QB 关于 y 轴对称,求出点 Q 的坐标;

1? , 且 不 垂 直 坐 标 轴 的 直 线 l , 它 与 轨 迹 P 及 圆 ( III ) 是 否 存 在 不 过 点 E ?0,

E : x2 ? ? y ?1? ? 9 从左到右依次交于 C, D,F , G 四点,且满足 ED ? EC ? EG ? EF ?若
2

存在,求出当△ OCG 的面积 S 取得最小值时 k 的值;若不存在,请说明理由.

2

21.(本小题满分 14 分)

? ln x , x>6 ? 已知函数 f ?x ? ? ? x 其中 a, b ? R , e 为自然对数的底数. , ?e? x x3 ? 3x 2 ? ax ? b , x ? 6 ?

?

?

(I)当 a ? b ? ?3 时,函数 f ?x ? 的单调区间; (II)当 x ? 6 时,若函数 h?x ? ? f ?x ? ? e? x x2 ? b ?1 存在两个相距大于 2 的极值点,求实 数 a 的取值范围; (III) 若函数 g ?x ? 与函数 f ?x ? 的图像关于 y 轴对称, 且函数 g ?x ? 在点 ?- 6,m? ,?2,n ? 单

?

?

2 ? , ?n, 调递减,在 ?m, ? ?? 单调递增,试证明: f ?n ? m ?<

5 6 . 36


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