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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第57讲 椭圆 Word版含解析


第十单元 解析几何 第57讲 椭 圆

x2 y2 1.(2013· 衡水调研)椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1, d2 , 焦距 a b 为 2c. 若 d1,2c,d2 成等差数列,则椭圆的离心率为( A ) 1 2 A. B. 2 2 3 3 C. D. 2 4 c 1 解析:由 d1 +d2 =2a=4

c,所以 e= = ,故选 A. a 2 2 2 x y 2.(2012· 福建省宁德市质量检查)已知方程 + =1(k ∈R)表示焦点在 x 轴上的 k +1 3-k 椭圆,则 k 的取值范围是( B ) A.k >1 或 k <3 B.1<k <3 C.k >1 D.k <3

?3-k >0 ? x2 y2 解析:因为方程 + =1(k ∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆,所以?k +1>0 k +1 3-k ? ?k +1>3-k
解得 1<k <3,故选 B.



x2 y2 3.(2013· 温州五校)椭圆 + =1 的左焦点为 F 1 ,点 P 在椭圆上,若线段 PF 1 的中点 25 9 M 在 y 轴上,则|PF 1 |=( A ) 41 9 A. B. 5 5 C.6 D.7 解析:由条件知 PF2 ⊥x 轴, b2 9 则|PF 2|= = , a 5 9 41 于是|PF 1|=2a-|PF 2 |=2×5- = ,故选 A. 5 5 4.(2012· 海淀二模)已知点 F1 ,F 2 是椭圆 x2 +2y2 =2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的 → → 一个动点,那么|PF 1+PF 2|的最小值是( C ) A.0 B.1 C.2 D.2 2 解析:由于 O 为 F 1 、F 2 的中点, → → → 则|PF 1+PF 2|=2|PO|, → 而当 P 为短轴端点时,|PO|取得最小值 1, → → 所以|PF 1+PF 2|的最小值为 2,故选 C. 5.(2012· 重庆市第二次七区联考)椭圆 x2 +my2 =1 的焦点在 y 轴上, 长轴长是短轴长的 1 三倍,则 m 的值为 . 9 1 1 解析:由题意得 =3×1,所以 m= . m 9 x2 y2 6.(2012· 广东省潮州市上学期期末)直线 x-2y+2=0 经过椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的 a b

2 5 . 5 解析: 由直线方程知椭圆的焦点为(-2,0), 顶点为(0,1), 则 b=1, c=2, 所以 a= 12 +22 c 2 5 = 5,所以 e= = . a 5 2 7.(2012· 广东省肇庆第一次模拟)短轴长为 5,离心率 e= 的椭圆的两焦点为 F 1 ,F 2 , 3 过 F 1 作直线交椭圆于 A ,B 两点,则△ABF 2 的周长为 6 . 一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为

? ? 2b = 5 解析:由题知?c 2 ? a= 3 ?

?b= 25 ,即? a -b 4 ? a =9
2 2 2



?a=2 解得? 5 ?b= 2

3



3 由椭圆的定义知△ABF 2 的周长为 4a=4× =6. 2 x2 y2 8. 设 F 1 ,F 2 分别为椭圆 C: 2+ 2 =1(a>b>0)的左、右焦点,过 F 2 的直线 l 与椭圆 C a b 相交于 A ,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60° ,F 1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; → → (2)如果AF 2=2F 2 B,求椭圆 C 的方程. 解析:(1)设椭圆 C 的焦距为 2c. 由已知可得 F 1 到直线 l 的距离为 3c=2 3, 故 c=2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A (x1 ,y1 ),B (x2 ,y2).由题意知 y1<0,y2 >0. 直线 l 的方程为 y= 3(x-2).

? ?y= 3?x-2? 联立,得方程组?x2 y2 ? ?a2 +b2=1



消去 x,得(3a2 +b2)y2 +4 3b2 y-3b4 =0, 2 2 - 3b ?2+2a? - 3b ?2-2a? 解得 y1 = , y = . 2 3a2 +b2 3a2 +b2 → → 因为AF 2=2F 2 B,所以-y1 =2y2 , 3b2 ?2+2a? - 3b2 ?2-2a? 即 =2× ,得 a=3. 3a2 +b2 3a2 +b2 2 2 而 a -b =4,所以 b= 5. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5 9.(2012· 广东省江门市第一次模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,长轴在 x 轴上,经过点 2 A (0,1),离心率 e= . 2 (1)求椭圆 C 的方程; 1 1 (2)设直线 ln :y= (n∈N* )与椭圆 C 在第一象限内相交于点 An (xn , yn),记 an = x2 , n+1 2 n 1 试证明:对?n∈N* ,a1 · a2 · …· an > . 2

x2 y2 解析:(1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2 + 2 =1(a>b>0), a b 1 =1 b2 ?b=1 则 ,解得? , 2 2 ?a= 2 a -b c 2 e= = = a a 2 x2 2 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 2 x +y2 =1 2 2n?n+2? (2)由 ,得 x2 , n= ?n+1?2 1 y= n+ 1

? ? ?

? ? ?

n?n+2? 1 an = x2 , n= 2 ?n+1?2 1×3 2×4 3×5 n?n+2? 1×?n+2? 1 所以 a1 · a2 · …· an = 2 × 2 × 2 ×…× = > . 2 3 4 ?n+1?2 2?n+1? 2


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