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河南省鹤壁市淇县一中2013届高三第四次模拟数学(理)试题


淇县一中高三第四次模拟考试

理科数学
命题人:李海桢 2013.1.1 一.选择题。本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 已 知 集 合 ( ) A. ?1,2?

M ? y y ? 2x , x ? 0
B. ?1,???
z?

/>?

?



N ? x y ? lg(2x ? x 2 )
C. ?2,???

?

?

, 则 M ?N 为

D. ?1,???

2 . 在 复 平 面 内 , 复 数 ( ) A.第一象限

1? i i (

i 是 虚 数 单 位 ) 对 应 的 点 位 于
D. 第四象限
A C D B

B. 第二象限

C. 第三象限

3.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D 为原正方体 的顶点,则在原来的正方体中( A.AB∥CD C.AB⊥CD )

B.AB 与 CD 相交 D.AB 与 CD 所成的角为 60°

(第 3 题图) 4.在坐标平面内,不等式组 ?

? y ? 2 | x | ?1, 所表示的平面区域的面积为( ?y ? x ?1
C.



A.2 2

B.

8 3

2 2 3


D.

2

5. 下列命题中正确命题的个数是( (1) cos ? ? 0 是 ? ? 2k? ?
2 1

?
2

(k ? Z ) 的充分必要条件;

? ?1 (2)若 a ? 0, b ? 0 且 a b ,则 ab ? 4 ;

(3)若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不变; (4)设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? p ,则 A.4 B.3 C.2

1 P(?1 ? ? ? 0) ? ? p 2 .

D.1

6.设 α 、β 是两个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出下列四个命题,其中真命 题是( ) A.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b B.若 a∥α ,b∥β ,则 α ∥β

1

C.若 a⊥α ,b⊥β ,a⊥b,则 α ⊥β D.若 a、b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a⊥b

7.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组至少各一人,则不同的 分配方案的种数为( ) A.80 B.120 C.140 D.50

AE CF ? 8.如图,正三棱锥 A ? BCD 中,点 E 在棱 AB 上,点 F 在棱 CD 上,且 EB FD ,若异

? 面直线 EF 和 AC 所成的角为 3 ,则异面直线 EF 与 BD 所成的角(
? A.等于 6 ? C.等于 2

A


E D C F

? B.等于 4 ? D. 等于 3

B

a 1 ( x ? y )( ? ) x y ≥9 对任意正实数 x 、 y 恒成立,则正实数 a 的最小值是 9、已知不等式
( ) A.2 B.4 C.6 D.8

10.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) ,其 导函数 f '( x) 的部分图像如图所示,则函数 f ( x ) 的解析式为 ( )

1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 2 4 A. f ( x) ? 2sin( x ? ) 4 C.

1 ? f ( x) ? 4sin( x ? ) 2 4 B. 1 3? f ( x) ? 4sin( x ? ) 2 4 D.

?

11.如图,正三角形 PAD 所在平面与正方形 ABCD 所在平面互相垂直,0 为正方 形 ABCD 的中心, 为正方形 ABCD 内一点, M 且满足 MP=MC, 则点 M 的轨迹为 ( )

A.

B.
2

C.

D.

12.已知函数 f(x)= ax ? 2ax ? 4 (0<a<3) ,若 x1 < x2 , x1 + x2 =1-a ,则( )

2

A.f( x1 )<f( x2 ) C.f( x1 )>f( x2 ) 与 f( x2 )的大小不能确定

B.f( x1 )=f( x2 ) D.f( x1 )

二.填空题.(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 )

13.一空间几何体三视图如图所示,则该几何体的 体积为_ ___ .

14.已知数列 {a n } ,{bn } 满足 a1 ? ___ .

bn 1 ? , a n ? bn ? 1, bn?1 ? b ? _ 2 ( n ? N ) ,则 2012 2 1 ? an

15. 将“你能 HOLD 住吗”8 个汉字及英文字母填入 5×4 的方格内,其中“你”字填入左上 角, “吗”字填入右下角,将其余 6 个汉字及英文字母依次填入 方格,要求只能横读或竖读成一句原话,如图所示为一种填法, 则共有_ ___种不同的填法。 (用数字作答) 你 能 H O L D 住 吗 ,且 ? 与 ? ? ? 的

16.已知平面向量 ? , ? (? ? ? ) 满足

? ?2

夹角为 120°, t ? R ,则 的取值范围是_ ___ 三.解答题. (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

(1 ? t )? ? t ?

1 a cos C ? c ? b 2 17、 (14 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 .
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围.

3

18. (本小题满分 12 分) 已知数列的前 n 项和为 S n ,且满足 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式;
cn ? 1 b n b n ?1
an ? 1 S n ?1 n ? N ? 2 .

?

?

(2)若

bn ? log2 a n

,

,且数列

?c n ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分). 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底面 ABCD ,
P

ABCD 是直角梯形, AB ? AD , AB / / CD ,

E

AB ? 2 AD ? 2CD ? 2, E 是 PB 的中点。
(1)求证:平面 EAC ? 平面 PBC (4 分)
6 (2)若二面角 P ? AC ? E 的余弦值为 3 ,求直线 PA
D

A C

B

与平面 EAC 所成角的正弦值. 分) (8

4

20.(本小题满分 12 分). 某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下: 甲 乙

97 6331 83

0 1 2

78 0579 13

(1)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; 分) (4 (2)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 15 分的频率作为概率,假设甲、乙两名队 员在同一场比赛中得分多少互不影响,预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、乙两名队 员得分均超过 15 分的次数 X 的分布列和均值. 分) (8

21.(本小题满分 12 分). 函数 f ( x) ? a ln x ? 1 ( a ? 0) .

1 f ( x) ? 1 ? a (1 ? ) x ; 分) (Ⅰ) 当 x ? 0 时,求证: (4
(Ⅱ) 在区间 (1, e) 上 f (x) ? x 恒成立,求实数 a 的范围。 分) (4

a?
(Ⅲ) 当 分)

1 ? 2 时,求证: f (2) ? f (3) ? ? ? f (n ? 1) ? 2(n ? 1 ? n ? 1 ) (n ? N ) . (4

5

四、选做题(本小题满分 10 分,请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则 按所做的第一题记分) 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ ABC 内接于⊙ O , AB ? AC ,直线 MN 切⊙ O 于点 C , 弦 BD / / MN , AC与BD 相交于点 E . (1)求证:△ ABE ≌△ ACD ;

(2)若 AB ? 6, BC ? 4 ,求 AE 长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,已知曲线

C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,将曲线 C1 上所有点横坐标,纵坐标分别伸长

C 为原来的 2 倍和 3 倍后,得到曲线 2
(1)试写出曲线 (2)在曲线

C2 的参数方程;

C2 上求点 P ,使得点 P 到直线 l : x ? y ? 4 5 ? 0 的距离最大,并求距离最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数

f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 2
6

(1)解不等式 f ( x ) ? 3 ;

(2)若不等式 f ( x ) ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围.

7

数学(理科)答案 一、选择题 1---5 ACDBC 二、13 2 6----10 CAABB 14
2012 2013

11---12 CA 15 35 16

?

3 ,??

?

三.解答题.

1 1 a cos C ? c ? b sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2 17、解: (1)由 得


???? 2 ?

sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C

???? 4 ?

1 1 ? sin C ? cos A sin C ? cos A ? 2 2, ,? sinC ? 0 ,
?A?

?
3
???? 6 ?

又? 0 ? A ? ?

b?
(2)由正弦定理得:

a sin B 2 2 ? sin B c ? sin C sin A 3 3 ,

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ?sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3 ??? 8 ?

? 3 ? 1 ? 1? 2? sin B ? cos B ? ? 1 ? 2 sin? B ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 6? ? ? ?
?A?

???? 10?

? ? B ? ? 0, 2? , ? ? 3 3

? ? ? 5? ? ?? ?1 ? ? ? ? , ? B ? ? ? , ? ? sin ? B ? ? ? ? ,1? 6 ?6 6 ? 6? ?2 ? ? ?

故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为

? 2,3? .
?????1 分

????12`

1 a1 ? S1 ? 1 2 18.(1)当 n ? 1 时, ,解得 a1 ? 2 1 an?1 ? Sn?1 ? 1 2 ??①

当 n ? 2 时,

1 an ? Sn ? 1 2 ??② ?????3 分

1 an ? an?1 ? an 2 ②-①得

即 an ? 2an ?1

?????5 分
n ? an ? 2

?数列 ?an ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列
n (2) bn ? log2 an ? log2 2 ? n

?????6 分

?????7 分
8

cn ?

1 1 1 1 ? ? ? bn bn ?1 n(n ? 1) n n ? 1

?????8 分

1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ... ? ? 1? 2 2 3 3 4 n n ?1 = n ? 1
? 1 ? 1? ? ? 0, ? n ?1 ? 2? ?1 ? ?Tn ? ? ,1? ?2 ?

?????10 分

?n ? N

?

?????12 分

19.(Ⅰ)∵PC⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=2,∴AC=BC= 2, ∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. ?4 分 →、CD、CP分别为 x 轴、y 轴、 → → (Ⅱ)如图,以 C 为原点,DA z 轴正向,建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0),A(1, 1,0),B(1,-1,0).设 P(0,0,a)(a>0) , 1 1 a 则 E( ,- , ), ?6 分 2 2 2 →=(1,1,0),CP=(0,0,a), → CA →=( 1 ,- 1 , a ),取 m=(1,-1,0),则 CE 2 2 2 → → m·CA=m·CP=0,m 为面 PAC 的法向量.
A y D

z P

E

x B C

→ → 设 n=(x,y,z)为面 EAC 的法向量,则 n·CA=n·CE=0, ?x+y=0, 即? 取 x=a,y=-a,z=-2,则 n=(a,-a,-2), ?x-y+az=0, |m·n| a 6 依题意,|cos?m,n?|= = = ,则 a=2.?10 分 |m||n| a2+2 3 → 于是 n=(2,-2,-2),PA=(1,1,-2). → |PA·n| →,n?|=__________= 2, 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ ,则 sinθ =|cos?PA → |PA||n| 3 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 20.(Ⅰ)x甲= x乙= 2 . 3 ?12 分

1 (7+9+11+13+13+16+23+28)=15, 8

1 (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, 8 1 s甲= 2 [(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75, 8 1 s乙= 2 [(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25. 8 甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小) . ?4 分 3 (Ⅱ)根据统计结果,在一场比赛中,甲、乙得分超过 15 分的概率分别为 p1= , 8 1 3 p2= ,两人得分均超过 15 分的概率分别为 p1p2= ,┈┈5 分 2 16

9

3 3 13 依题意,X~B(2, ),P(X=k)=Ck( )k( )2-k,k=0,1,2, 2 16 16 16 X 的分布列为

?7 分

X P 3 3 X 的均值 E(X)=2× = . 16 8

0 169 256

1 78 256

2 9 256

?10 分 ?12 分

21. (I)证明:设 a a ? ??x ? ? ? 2 ? 0 x x 则 ,则 x ? 1 ,即 ? ?x ? 在 x ? 1 处取到最小值, 则 ? ?x ? ? ? ?1? ? 0 ,即原结论成立. ┈4 分 (II)解:由 f ?x ? ? x 得 a ln x ? 1 ? x
ln x ? x ?1 x x ?1 g ?? x ? ? a? g ?x ? ? , ? x ? 1? ?ln x ?2 ln x ,另 ln x 即 , x ?1

? ?x ? ? f ?x ? ? 1 ? a?1 ? ? ? a ln x ? a?1 ? ?, ?x ? 0?

? ?

1? x?

? ?

1? x?



h? x ? ? ln x ?

1 1 x ?1 h?? x ? ? ? 2 ? 0 x x x , 则 h?x ? 单调递增,所以 h?x? ? h?1? ? 0

? 因为 h?x ? ? 0 ,所以 g ?x ? ? 0 ,即 g ?x ? 单调递增,则 g ?x ? 的最大值为 g ?e? ? e ? 1
所以 a 的取值范围为 ?e ? 1,??? .┈8 分

ln x ? 1 ?
(III)证明:由第一问得知

1 ln n ? 1 ? 1 n x则



f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?n ? 1? ?

1 ?ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln?n ? 1?? ? n 2
? 1? 1 2 ?1? 1 3 ???1? 1 n ?1 ?n

? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? n

? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 1 ? 2n ? 2? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 2n ? 2? ? 2 n ?1 ? 2? 3 n ? n ?1 ? ?2 2 2 3 ?1? 2

? 2 n ?1? n ?1

?

?

┈12 分 四、选做题 22.(1)在 △ ABE 和△ ACD 中
? AB ? AC ?ABE ? ?ACD ?BAE ? ?EDC

? BD ∥ MN

??EDC ? ?DCN

?直线是圆的切线

??DCN ? ?CAD

10

??BAE ? ?CAD

?△ ABE ≌△ ACD

?????5 分

(2)? ?EBC ? ?BCM

?BCM ? ?BDC

? ?EBC ? ?BDC ? ?BAC

BC ? CD ? 4
? BC ? BE ? 4

又 ?BEC ? ?BAC ? ?ABE ? ?EBC ? ?ABE ? ?ABC ? ?ACB

设 AE ? x,易证 △ ABE ∽△ DEC

DE DC 4 2 ? ? ? DE ? x AB 6 3 ? x 2 ?4 ? x ? x ? 6 ? x ? 3 x? 10 3

又 AE ? EC ? BE ? ED

EC ? 6 ? x

???10 分

? x ? cos? (? 为参数) ? C1 的参数方程为 ? y ? sin ? 23.(1)曲线 ???1 分
? x? ? 2 x ? ? ? y? ? 3 y ? ? x? ? 2 cos ? ? ? ? y ? ? 3 sin ? ?





???3 分

? x ? 2 cos ? ? (? 为参数) ? C2 的参数方程为 ? y ? 3 sin ? ? ? ??5 分
(2)由(1)得点

P

?

2 cos ? , 3 sin ?

?
d? 2 cos ? ? 3 sin ? ? 4 5 2 ? 5 cos ?? ? ? ? ? 4 5 2

点 P 到 直 线 l 的 距 离

tan ? ?

2 3 ???7 分 5 5 2 ? 5 10 2

d max ?

???9 分

? 2 5 3 5? P点的坐标为? ? ? 5 ,? 5 ? ? ? ? 此时
? ?3x ? 1, x ? ?1 ? f ? x ? ? ? x ? 3, ?1 ? x ? 1 ? 3x ? 1, x ? 1 ?

????10 分

24.(1)

f ? x? ? 3
?a ? 2

4 ? ? x?0 解得 3

?????5 分

(2)由

f ? x?

的图像可得

f ? x? ? 2

?????10 分

11


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