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高二数学 含有绝对值的不等式 知识全析 人教实验修订版


数学 含有绝对值的不等式 【学习目标】 1.重点理解 正确理解含绝对值的不等式,理解绝对值不等式|a-b|≤|a±b|≤|a|+|b|及等号成立的条件. 2.重点掌握 含绝对值不等式的性质及绝对值不等式的证明方法;绝对值不等式的解法. 3.能力培养 培养对数学的理解能力、应用能力及论证能力. 【学习障碍】 1.理解障碍 (1)绝对值的性质和绝对值的运算法则 ①当 a>0 时,|x

|<a ? -a<x<a; |x|>a ? x<-a 或 x>a. ②|a·b|=|a|·|b|,| a |a| |= (b≠0). b |b| ③绝对值|x-a|的几何意义是指数轴上数 x 对应的点到 a 所对应的点的距离. (2)掌握绝对值不等式 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| (3)在|a+b|≤|a|+|b|中等号成立的条件是 ab≥0; 在|a+b|≥|a|-|b|中等号成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|; 在|a-b|≤|a|+|b|中等号成立的条件是 ab≤0; 在|a-b|≥|a|-|b|中等号成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|, (4)|a+b|≤|a|+|b|,可以推广到 n 个数的形式, 即|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. 2.解题障碍 (1)定理|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|的几何意义是:三角形的任意两边之差小于第三边,三角 形的任意两边之和大于第三边. (2)定理在向量中也适用,即有: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| (3)定理在今后学习的复数中也适用,即 |z1|-|z2|≤|z1+z2|≤|z1|+|z2| (4)定理也可写成以下形式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| (5)要重视绝对值的性质在解题中的应用,要重视等号成立的条件. 【学习策略】 1.解绝对值不等式的方法 (1)定义法: |x|<a ? -a<x<a (a>0) |x|>a ? x<-a 或 x>a (a>0) 第 1 页 共 8 页 (2)平方法: |f(x)|>|g(x)| ? [f(x)]2>[g(x)]2 (3)利用绝对值的几何意义. (4)分区间讨论法: 含有多个绝对值符号的不等式,可以先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值,将这些 值在数轴上标注出来,它们将数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内代数式在每个区间上的符号,转 化为不含绝对值的不等式,再求此不等式的解集. 2.含绝对值不等式的证明方法有:综合法、分析法、放缩法、三角代换法.要注意分析法的灵活运用. 【例题分析】 [例 1]求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的 a 的取值范围. 策略:分区间讨论法或用绝对值的几何意义. 解法一:将数轴分为(-∞,3), [3,4] ,(4,+∞)三个区间. (1)当 x<3 时得 (4-x)+(3-x)<a,x> 不等式有解的条件为 7?a <3,即 a>1; 2 7?a 2 (2)当 3≤x≤4 时,得(4-x)+(x-3)<a,即 a>1; (3)当 x>4 时,得(x-4)+(x-3)>a,即 x< 不等式有解的条件是 ∴a>1 综上所述,a>1. a?7 >4, 2 a?7 2 图 6—5—1 解法二:设数 x、3、4 在数轴上对应的点分别为 P、A、B(图 6—5—1)所示由绝对值的几何意义,原不等式 即要求 PA+PB<a 成立. ∵AB=1,∴数轴上任一点到 A、B 的距离之和大

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