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河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考理数试题Word版含答案.doc


数学(理)试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1? ? 1.已知集合 A ? ?1 ,2 , ? , B ? y y ? x 2 ,x ? A ,则 A ? B ? ( ) 2? ? ?1 ? A. ? ? B. ?2? C. ?1? D. ? ?2?

?

?

2.在复平面内,复数 A.第一象限

2?i ( i 是虚数单位)对应的点位于( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限 )

3.设 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

??? ? 4.在 △ ABC 中, D 为 BC 边的中点,若 BC ? ? 2 , 0? , AC ? ?1 , 4? ,则 AD ? (
A. ? ?2 , ? 4? B. ? 0 , ? 4? C. ? 2 ,4 ? D. ? 0 ,4 ?



5.将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 的图象向左平移 一个可能取值为( A. ) B.

? 个单位,所得的函数关于 y 轴对称,则 ? 的 8

3? 4

? 4

C.0

D. ?

? 4


6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(

A. 10cm 3

B. 20cm3

C. 30cm3

D. 40cm3

7.如图所示的茎叶图为高三某班 50 名学生的化学考试成绩,算法框图中输入的 ai 为茎叶图

中的学生成绩,则输出的 m , n 分别是(



A. m ? 38 ,n ? 12 C. m ? 12 ,n ? 12

B. m ? 26 ,n ? 12 D. m ? 24 ,n ? 10

8.如图,周长为 1 的圆的圆心 C 在 y 轴上,顶点 A ? 0 , 1? ,一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆
AM ? x ,直线 AM 与 x 轴交于点 N ? t , 运动一周,记走过的弧长 ? 0 ? ,则函数 t ? f ? x ? 的图

象大致为(



A.

B.

C.

D.

?1? ?1? 9.设方程 log 2 x ? ? ? ? 0 与 log 1 x ? ? ? ? 0 的根分别为 x1 ,x2 ,则( ?2? ?4? 4

x

x



A. 0 ? x1 x2 ? 1

B. x1 x2 ? 1

C. 1 ? x1 x2 ? 2

D. x1 x2 ? 2

10.已知点 A 是抛物线 x 2 ? 4 y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点, P 在抛物线上 且满足 PA ? m PB ,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A , B 为焦点的双曲线上,则双曲线 的离心率为( A.
5 ?1 2

) B.
2 ?1 2

C. 2 ? 1
3

D. 5 ? 1

11.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ? a4 ? 1? ? 2016 ? a4 ? 1? ? 1 ,

? a2013 ? 1?

3

? 2016 ? a2013 ? 1? ? ?1 ,则下列结论正确的是(



a2013 ? a4 B. S2016 ? 2016 , a2013 ? a4 A. S2016 ? ?2016 , a2013 ? a4 D. S2016 ? 2016 , a2013 ? a4 C. S2016 ? ?2016 ,

12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数
?1 ,x为有理数; 称为狄利克雷函数,则关于函数 f ? x ? 有以下四个命题: f ? x? ? ? ?0 ,x为无理数,

① f ? f ? x ?? ? 1 ;

②函数 f ? x ? 是偶函数;

③任意一个非零有理数 T , f ? x ? T ? ? f ? x ? 对任意 x ? R 恒成立; ④存在三个点 A ? x1 ,f ? x1 ? ? ,B ? x2 ,f ? x2 ? ? ,C ? x3 ,f ? x3 ?? , 使得 △ ABC 为等边三角形. 其中真命题的个数是( A.4 ) B.3 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
1? ? 13.已知等比数列 ?an ? 的第 5 项是二项式 ? x ? ? 展开式中的常数项,则 a3 ? a7 ? . x? ?
4

C.2

D.1

14.冬季供暖就要开始,现分配出 5 名水暖工去 3 个不同的居民小区检查暖气管道,每名水 暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,那么分配的方案共有种.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 15.若不等式组 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 所表示的平面区域存在点 ? x0 ,y0 ? ,使 x0 ? ay0 ? 2 ? 0 成立, ?x ? y ? 8 ? 0 ?

则实数 a 的取值范围是

.

16.如图所示,由直线 x ? a ,x ? a ? 1? a ? 0? , y ? x 2 及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应
?1 2 小矩形与大矩形的面积之间,即 a2 ? ? a x dx ? ? a ? 1? .类比之, ?n ? N* , a 2

1 1 1 1 1 1 恒成立,则实数 A ? ? ? …? ? A? ? ? …? n ?1 n ? 2 2n n n ?1 2n ? 1

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 12 分)
C 对应的三边长分别为 a ,b ,c ,且满足 在 △ ABC 中,内角 A ,B ,

1 ? ? c ? a cos B ? b ? ? a 2 ? b 2 . 2 ? ?

(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 为增强市民的节能环保意识, 郑州市面向全市征召义务宣传志愿者, 从符合条件的 500 名志 愿者中随机抽取 100 名,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区是:

?20 ,25? , ?25 ,30? , ?30 ,35? , ?35 ,40? , ?40 ,45? .
(Ⅰ) 求图中 x 的值, 并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35 ,40? 岁的人 数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10 名参加中心广场的宣传 活动,再从这 10 名志愿者中选取 3 名担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁” 的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?DAB 为直角, AB ∥ CD ,
AD ? CD ? 2 AB ? 2 , E , F 分别为 PC , CD 的中点.

(Ⅰ)证明: AB ? 平面 BEF ; (Ⅱ)若 PA ?
2 5 ,求二面角 E ? BD ? C . 5

20.(本小题满分 12 分) 椭圆 H :
3 x2 ,其中:点 M ? 0 ,? 1? ,点 ? y 2 ? 1? a ? 1? ,原点 O 到直线 MN 的距离为 2 2 a

N ?a , 0? .

(Ⅰ)当 a , b , c 成等差数列时,求 △ ABC 的面积; (Ⅱ)经过椭圆右焦点 F2 的直线 l 和该椭圆交于 A 、 B 两点,点 C 在椭圆上, O 为原点,
??? ? 1 ??? ? 3 ??? OB ,求直线 l 的方程. 若 OC ? OA ? 2 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 垂直. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ? x ? 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围;

1 2 函数 f ? x ? ? x ? a ln x 在 x ? 1 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 0 x ? bx , 2

(Ⅲ)设 x1 ,x2 ? x1 ? x2 ? 是函数 g ? x ? 的两个极值点,若 b ? 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

7 ,求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值. 2

C 重合) AC 上的点(不与点 A , 已知 △ ABC 中, AB ? AC , D 为 △ ABC 外接圆劣弧 ? ,延

长 BD 至 E ,延长 AD 交 BC 的延长线于 F .

(Ⅰ)求证: ?CDF ? ?EDF ; (Ⅱ)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

? ? x ? 2 ? 5 cos ? 已知曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,以直角坐标系原点为极点, x 轴正 y ? 1 ? 5 sin ? ? ?
半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 的极坐标方程为 ? ? sin ? ? cos ? ? ? 1,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ,不等式 f ? x ? ? 3 的解集为 ? ?1 , 5? . (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f ? x ? ? f ? x ? 5? ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

17 届(高三)第一次联考数学(理)试卷 试卷答案
一、选择题 1-5:CDADB 二、填空题 13.36 三、解答题
1 ? ? 17.解析: (Ⅰ)∵ c ? a cos B ? b ? ? a 2 ? b 2 , 2 ? ?

6-10:BBDAC

11、12:DA

14.150

15. a ? ?1

16. ln 2

∴ a 2 ? c 2 ? b2 ? bc ? 2a 2 ? 2b2 , a 2 ? b2 ? c 2 ? bc …………………………2 分 ∵ a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,∴ cos A ? ∴ A?

1 ……………………………………4 分 2

?
3

…………………………………………6 分

(Ⅱ)解法 1: 由正弦定理得

a b c ? ? ? 2, sin A sin B sin C

c ? 2 sin C .……………………………………8 分 ∴ b ? 2 sin B ,

∴ b ? c ? 2sin B ? 2sin C ? 2sin B ? 2sin ? A ? B ?

?? ? ? 2 sin B ? 2 sin A cos B ? 2 cos A sin B ? 3sin B ? 3 cos B ? 2 3 sin ? B ? ? …………10 分 6? ? 2? ? ? ? ? 5? ? ?? 1 ? ? 1] , ∵ B ? ? 0 , ? ,∴ B ? ? ? , ? , sin ? B ? ? ? ( , 3 6 6 6 6? 2 ? ? ? ? ?
所以 b ? c ? ( 3 , 2 3] .…………………………12 分 解法 2: ∵ a ? 3 ,∴ a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , 3 ? b2 ? c2 ? bc ? ?b ? c ? ? 3bc ……………………8
2


2 ?b?c? ?b?c? ∵ bc ? ? ? ……………………………………10 分 ? , 3 ? ?b ? c ? ? 3 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2

?b ? c?


2

2 3] ……………………12 ? 12 ,即 b ? c ? 2 3 ,∵ b ? c ? a ? 3 ,∴ b ? c ? ( 3 ,

(Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取 10 名,则其中年龄“低于 35 岁”的人有 6 名,“年龄不 低于 35 岁”的人有 4 名,故 X 的可能取值为
0, 1 ,2 , 3 .………………………………………………5 分

P ? X ? 0? ?

3 C4 3 C10

?

C1 C 2 1 3 , P ? X ? 1? ? 6 3 4 ? , 30 10 C10 ? 1 , 2

P ? X ? 2? ?

2 1 C6 C4

C
3 C6

3 10

P ? X ? 3? ?

3 C10

?

1 .………………………………………………………………9 分 6

故 X 的分布列为

X P
所以

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

EX ? 0 ?

1 3 1 1 9 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? .……………………………………………………12 分 30 10 2 6 5

19.解: (Ⅰ) 证:由已知 DF 平行且等于 AB 且 ?DAB 为直角,故 ABFD 是矩形, 从而 AB ? BF . 又 PA ? 底面 ABCD ,∴平面 PAD ? 平面 ABCD , ∵ AB ? AD ,故 AB ? 平面 PAD ,∴ AB ? PD , 在 △ PCD 内, E 、 F 分别是 PC 、 CD 的中点, EF ∥PD ,∴ AB ? EF , 由此得 AB ? 平面 BEF .………………………………6 分 方程有解 x ? ?1 ,故不论 k 取任何正整数时,方程总有公共根 ?1 . (Ⅱ)以 A 为原点,以 AB , AD , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴正向建立空间直角坐标系,

??? ? ? ??? ? 5? 则 BD ? ? ?1 , 0 , 1 , 2, 0? , BE ? ? ?, ? 5 ? ? ?

?? ?? ? 设平面 CDB 的法向量为 n1 ? ? 0 , 0, 1? ,平面 EDB 的法向量为 n2 ? ? x ,y , z? ,
?? ? ??? ? ? ?n2 ? BD ? 0 则 ? ?? ? ??? ? ? ?n2 ? BE ? 0

?? x ? 2 y ? 0 ?? ? ? 1 ,? 5 , 可取 n2 ? 2 , ? 5z ?0 ?y ? 5 ?

?

?

设二面角 E ? BD ? C 的大小为 ? ,则 ?? ?? ? n1 ? n2 ?? ?? ? 5 2 , cos ? ? cos ? n1 ,n2 ? ? ?? ?? ? ? ? 2 n1 ? n2 1 ? 10 所以, ? ?

?
4

…………………………………………12 分.
a 1? a
2

20.解: (Ⅰ)设直线 MN : x ? ay ? a ? 0 且

?

3 ?a ?3, 2

所以离心率 e ?

2 3

?

6 .……………………………………3 分. 3

(Ⅱ)椭圆 H 方程为

x2 C ? x3 ,y3 ? , ? y 2 ? 1 ,设 A ? x1 ,y1 ? ,B ? x2 ,y2 ? , 3

①当直线 l 斜率为 0 时,其方程为 y ? 0 , 此时 A 分 ②当直线 l 斜率不为 0 时设直线 l 方程为 x ? my ? 2 ,
? x ? my ? 2 ? 由题意: ? x 2 消 x 得 m2 ? 3 y2 ? 2 2my ? 1 ? 0 ,…………………………5 分 2 ? ? y ?1 ?3

?

3 ,0 , B ? 3 ,0 ,不满足 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 0 ,不符合题意,舍去………………4

?

?

?

?

?

? ?? ? 0 ? ?2 2 ? 所以 ? y1 ? y2 ? 2 .……………………………………7 分 m ?3 ? ? ?1 ? y1 y2 ? 2 m ?3 ?
??? ? 1 ??? ? 3 ??? 1 3 1 3 OB ,所以 x3 ? x1 ? x2 , y3 ? y1 ? y2 , 因为 OC ? OA ? 2 2 2 2 2 2

因为点 C 在椭圆上,

x2 1?1 3 ? ?1 3 ? 2 所以 3 ? y3 ? ? x ? x ? y ? y2 ? ? ? 1 2 1 ? ?2 ? 3 3? 2 2 ?2 ? ? ?

2

2

2 ? 3 ? x2 1?x 3 ?1 ? 2 ? ? ? 1 ? y12 ? ? ? 2 ? y2 ?? ? x1 x2 ? y1 y2 ? 4? 3 4 3 2 3 ? ? ? ? ?

?

1 3 3 ?1 ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? 1 4 4 2 ?3 ?

所以 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 0 ……………………9 分 ∵ x1 x2 ? my1 ? 2 my2 ? 2 ? m 2 y1 y2 ? 2m ? y1 ? y2 ? ? 2
? ? m 2 ? 3? ? ?1 ?2 2 ? 2m ? 2 ?2?0 m2 ? 3 m ?3

?

??

?

化简得 m 2 ? 1 ? 0 ,得 m ? ?1 ,直线 l 为 x ? ? y ? 2 ……………………11 分 综上,直线 l 为 x ? y ? 2 ? 0 ,x ? y ? 2 ? 0 …………………………12 分 21.解: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? x ? a ln x ,∴ f ' ? x ? ? 1 ? ∵与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y '
x ?1

a , x

? 1 ? a ? 2 ,∴ a ? 1 ,………………2 分

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 1 2 g ' x ? ? x ? b ? 1 ? (Ⅱ)∵ g ? x ? ? ln x ? x ? ?b ? 1? x ,∴ ? ? , ? ? x x 2

由题知 g ' ? x ? ? 0 在 ? 0 , ? ? ? 上有解, ∵ x ? 0 设 u ? x ? ? x2 ? ? b ? 1? x ? 1 ,则 u ? 0 ? ? 1 ? 0 ,所以只需
?b ? 1 ?b ? 1 ? 2 ?0 ?? , ? ?? ? ? b ? 1?2 ? 4 ? 0 ?b ? 3或b ? ?1 ?

故 b 的取值范围是 ? 3 ,? ? ? …………………………………………6 分 . (Ⅲ)∵ g ? x ? ?
x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 ? x ? ? b ? 1? ? , x x

令 g ? x ? ? 0 ,得 x2 ? ? b ? 1? x ? 1 ? 0 , 由题 x1 ? x2 ? b ? 1 ,x1 x2 ? 1 ,
1 1 2 ? ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x1 ? ? ?ln x1 ? x12 ? ? b ? 1? x1 ? ? ?ln x2 ? x2 ? ? b ? 1? x2 ? 2 2 ? ? ? ? x1 1 2 2 ? ln ? ? x1 ? x2 ? ? ? b ? 1?? x1 ? x2 ? x2 2 ? ln x1 1 2 2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? x2 2

? ln
t?

2 x1 1 x12 ? x2 x x ? 1? x ? ? ln 1 ? ? 1 ? 2 ? x2 2 x1 x2 x2 2 ? x2 x1 ?

x1 1 ? 1? ,则 g ? x1 ? ? g ? x1 ? ? h ? t ? ? ln t ? ? t ? ? ……………………………………8 分 x2 2? t?

∵ 0 ? x1 ? x2 ,所以令 t ?

x1 ? ?0 , 1? , x2
2

? x1 ? x2 ? 1 25 7 5 2 2 又 b ? ,所以 b ? 1 ? ,所以 ? b ? 1? ? ? x1 ? x2 ? ? , ?t ? ? 2? x1 x2 t 4 2 2
1 1 整理有 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0 ,解得 ? ? t ? , 4 4 1 ∴ t ? (0 , ] …………………………………………10 分 4
1 1? 1 h ? t ? ? ? ?1 ? 2 t 2? t

? t ? 1? 1 ? ? 0 ,所以 h ? t ? 在 (0 , ] 单调递减, ??? 2 2t 4 ?
2

? 1 ? 15 h ?t ? ? h ? ? ? ? 2 ln 2 , ?4? 8

故 g ? x1 ? ? g ? x1 ? 的最小值是

15 ? 2 ln 2 .……………………………………12 分 8

22.解析: (Ⅰ)证明:∵ A 、 B 、 C 、 D 四点共圆, ∴ ?CDF ? ?ABC , ∵ AB ? AC ,∴ ?ABC ? ?ACB ,且 ?ADB ? ?ACB ,
?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ?ABC ,

∴ ?CDF ? ?EDF .…………………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?ADB ? ?ABF ,又∵ ?BAD ? ?FAB , 所以 △BAD 与 △FAB 相似, ∴

AB AD ,∴ AB 2 ? AD ? AF , ? AF AB

又∵ AB ? AC ,∴ AB ? AC ? AD ? AF ,∴ AB ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF , 根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB ,
AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .………………………………10 分

? ? x ? 2 ? 5 cos ? 23.⑴∵曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? ? y ? 1 ? 5 sin ?
∴曲线 C 的普通方程为 ? x ? 2? ? ? y ? 1? ? 5 ,
2 2

? x ? ? cos ? 将? 代入并化简得: ? ? 4 cos ? ? 2 sin ? , ? y ? ? sin ?

即曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ? 2 sin ? …………………………5 分 (2)∵ l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 , ∴圆心 C 到直线 l 的距离为 d ?
2 2 ? 2 ,∴弦长为 2 5 ? 2 ? 2 3 .……………………10 分

24.⑴∵ x ? a ? 3 ,∴ a ? 3 ? x ? a ? 3 ,
?a ? 3 ? ?1 ∵ f ? x ? ? 3 的解集为 ? ?1 , ,∴ a ? 2 .…………………………5 分 5? ,∴ ? ?a ? 3 ? 5

⑵∵ f ? x ? ? f ? x ? 5? ? x ? 2 ? x ? 3 ? ? x ? 2? ? ? x ? 3? ? 5 , 又 f ? x ? ? f ? x ? 5? ? m 恒成立, ∴ m ? 5 .………………………………………………10 分


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