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2.2用样本估计总体


水寨中学高一数学自主探究学案
内容:用样本估计总体 课时:1 模块:必修 3 编号:2.2 一、学习目标 1.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图 和茎叶图; 2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征; 3.了解众数、中位数、平均数并会求一组数据的平均数; 4.理解方差、标准差的概念并会求方差、标准差; 5.会用方差

、标准差估计总体的数字特征; 6.形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 重点:1.会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图; 2.用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差. 难点:1.能通过样本的频率分布估计总体的分布; 2.能应用相关知识解决简单的实际问题. 二、自主学习 1.频率分布直方图 (1) 通常我们对总体作出的估计一般分成两种, 一是用 另一种是用 . 作频率分布直方图的步骤: a.求极差(即一组数据中最大值与最小值的差). b.确定组距与组数. c.将数据分组. d.列频率分布表. e.画频率分布直方图. (2)在频率分布直方图中,纵轴表示 ,数据落在各小组内的频率用 表示.各小长方形的面积总和 (3)连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.随着 的增加,作图时所分的 增加,相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的 曲线,统计中称之为 ,它能够更加精细的反映出 . (4)当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以 , 而且可以 ,给数据的 和 都带来方便. 2、众数、中位数、平均数 (1).众数:一组数据中重复出现次数 的数称为这组数的众数. (2).中位数:把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最中间位置的那个数称为这组 数据的中位数.当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大的顺序排列的 的那 个数. 当数据个数为偶数时, 中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的 . 3.平均数:如果有 n 个数 x1 , x2 , x3 ,? xn ,那么 4.实际问题中求得的众数、中位数、平均数应带上单位.
-1-

.

叫这 n 个数的平均数.

5.数据的离散程度可用极差、



来描述.样本方差描述了一组数据围绕

平均数波动的大小.一般地,设样本的数据为 x1 , x2 , x3 ,? xn ,样本的平均数为 x ,则定 义s ? , s 表示方差. 6.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常要求出样本方差的算术平方根
2
2

, s 表示样本标准差.不要漏写单位. s= 7、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢? 众数:最高矩形的中点. 中位数:左右两边直方图的面积相等. 平均数:频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 三、交流展示 一.选择题 3335.3(2010 山东理数)一样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本的平 均值为 1,则样本方差为 (A) 【答案】D, 解析:由题意知

6 5

(B)

6 5

(C) 2

(D) 2

1 (a ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 )?, 1解 得 a= - 1, 所 以 样 本 方 差 为 5

1 s 2 ? [(?1 ? 1)2 ? (0 ? 1)2 ? (1 ? 1)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 1)2 ] ? 2 。故选 D 5
5.(2011 四川文 2)有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,大于或等于 31.5 的数据约占 2 1 1 2 (A) ( B) (C) (D) 2 3 11 3 答案:B 解析: 由条件可知, 落在[31.5, 43.5]的数据有 12+7+3=22 (个) , 故所求概率为

22 1 ? 66 3

7. 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准 差为( )
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A. 3

B.

2 10 5

C. 3

D.

8 5
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分析:根据标准差的计算公式直接计算即可. 解析: 平均数是

5 ? 20 ? 4 ?10 ? 3 ? 30 ? 2 ? 30 ? 1?10 ?3, 100
-2-

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标准差是

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s? ?


20 ? ? 5 ? 3? ? 10 ? ? 4 ? 3? ? 30 ? ? 3 ? 3? ? 30 ? ? 2 ? 3? ? 10 ? ?1 ? 3?
2 2 2 2

2

100 80 ? 10 ? 30 ? 40 8 2 10 ? ? 100 5 5
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答案 B.


11.【2012 高考山东文 4】在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86, 86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两 样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 【答案】D (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差

? 4. 若 数 据 x1 , x2 , x 3,

n

,的 x 平 均 数 x ? 5 , 方 差 ?2 ? 2 , 则 数 据
数为
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3x1 ? 1, 3x2 ? 1, 3x3 ? 1, ?, 3xn ? 1的平均

,方差为



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分析:根据平均数与方差的性质解决. 解析: 16,18
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6.(2011 江苏 6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该组 数据的方差 s ? ___ 【答案】3.2
2

9. 【2012 高考广东文 13】由正整数组成的一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 ,其平均数和中位数都 是 2 ,且标准差等于 1 ,则这组数据为 【答案】 1,1,3,3 2.某市 2010 年 4 月 1 日—4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸 入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表; (Ⅱ)作出频率分布直方图; (Ⅲ)根据国家标准,污染指数在 0~50 之间时,空气质量为优:在 51~100 之间时,为良; 在 101~150 之间时,为轻微污染;在 151~200 之间时,为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.
-3-

.(从小到大排列)

【命题意图】本题考查频数,频率及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问 题的能力,数据处理能力和运用意识. 【解题指导】 (1)首先根据题目中的数据完成频率分布表,作出频率分布直方图,根据污 染指数,确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。 解: (Ⅰ)频率分布表: 分组 [41,51 ) [51,61 ) [61,71 ) [71,81 ) [81,91 ) [91,101 ) [101,111 ) 频数 2 1 4 6 10 5 2 频率
2 30

(Ⅱ)频率分步直方图

1 30
4 30

频率 组距

6 30

10 300
5 300

10 30

5 30

2 30

41 51 61 7 1

81 91 101 11 1 空气污染指 数

(Ⅲ)答对下述两条中的一条即可: (1) 该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平,占当月天数的

1 ,有 26 天处 15 13 14 于良的水平, 占当月天数的 , 处于优或良的天数共有 28 天, 占当月天数的 。 15 15
说明该市空气质量基本良好。

(2) 轻微污染有 2 天,占当月天数的

1 。污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数 15 17 有 15 天,加上处于轻微污染的天数,共有 17 天,占当月天数的 ,超过 50%, 30
说明该市空气质量有待进一步改善。

6.【2012 高考广东文 17】某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所 示,其中成绩分组区间是: [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] .

-4-

(1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数( x )与数学成绩相应分数段的人 数( y )之比如下表所示,求数学成绩在 [50,90) 之外的人数. 分数段

[50, 60)
1 :1

[60, 70)
2 :1

[70,80)

[80,90)

x  :y

3:4

4 :5

【解析】 (1)依题意得, 10(2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ? 1 ,解得 a ? 0.005 。 (2)这 100 名学生语文成绩的平均分为:

55 ? 0.05 ? 65 ? 0.4 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.2 ? 95 ? 0.05 ? 73 (分) 。
(3)数学成绩在 [50, 60) 的人数为: 100 ? 0.05 ? 5 ,

1 ? 20 , 2 4 数学成绩在 [70,80) 的人数为: 100 ? 0.3 ? ? 40 , 3 5 数学成绩在 [80,90) 的人数为: 100 ? 0.2 ? ? 25 4
数学成绩在 [60, 70) 的人数为: 100 ? 0.4 ? 所以数学成绩在 [50,90) 之外的人数为: 100 ? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10 。
-5-


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