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如何践行新课程标准要求?


课题
课型

§3.4 基本不等式 ab ? 新授课 课时 1

a?b (第 2 课时) 2

备课

喻志群
a?b ;会应用 2

进一步掌握基本不等式 ab ? 知识与技能

此不等式求某些函数的最值; 能够解决一些 简单的实际问题<

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教学 目 标 情感态度与价 过程与方法

通过两个例题的研究, 进一步掌握基本不等 式 ab ?
a?b ,并会用此定理求某些函数的 2

最大、最小值。 引发学生学习和使用数学知识的兴趣, 发展 创新精神, 培养实事求是、 理论与实际相结 值观 合的科学态度和科学道德

重点 基本不等式 ab ? 难点

a?b 的应用 2 a?b 基本不等式 ab ? 的变形及应用 2

教学方法 “三步七环节” 教学过程 一、知识链接(课前)
1 重要不等式: 如果 a, b ? R ,那么 a 2 ? b2 ? _______ (当且仅当_________时取“=”号) 2 均值不等式 如果 a ? 0, b ? 0 ,那么
a?b ? _______ (当且仅当_________时取“=”号) 2

二、基础过关(课前)
1. 若 0<a<1, 0<b<1,且 a≠b,则 a+b, 2 ab , a2+b2, 2ab 中最小的是( (A)a2+b2 (B)a+b (C)2ab (D)2 ab
1

)

2. 下列函数中,最小值是 2 的是( ) 1 a b 1 ? (B)2x+2-x (C ) ( A) y ? x ? ( D) sin 2 x ? 2 (0 ? x ? ) ? b a x sin x 2 x 3 3.若 f(x)= ? 且 x∈(0, 1],则 f(x)的最小值是( ) 3 x 10 31 (A)2 (B)不存在 (C) (D) 3 6 4.若 lgx+lgy=2,则
1 1 ? 的最小值为 x y

_______.

5、○ 1 若 x ? 0 ,求 f ( x) ? x ? 2 若 x ? 0 ,求 f ( x) ? x ? ○

4 ? 2 的最小值。 x

4 ? 2 的最大值。 x

6、已知 0 ? x ? 2 ,求函数 f ( x) ? 3x(8 ? 3x) 的最大值,并求相应的 x 值。

三、合作、交流、展示、点评(课中) 探究一: (1)用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园,问这个矩形的 长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少? (2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个 矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 解: (1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 xy=100,篱笆 的长为 2(x+y) m。由 可得
x? y ? xy , 2
2( x ? y) ? 40 。等号当且仅当 x=y 时成

x ? y ? 2 100 ,

立,此时 x=y=10. 因此,这个矩形的长、宽都为 10m 时,所用的篱笆最短,最短 的篱笆是 40m. (2)解法一:设矩形菜园的宽为 x m,则长为(36-2x)
2

m,其中 0<x< ,其面积 S=x(36-2x)= ·2x(36-2x)≤
1 2 x ? 36 ? 2 x 2 362 ( ) ? 2 8 2

1 2

1 2

当且仅当 2x=36-2x,即 x=9 时菜园面积最大,即菜园长 9m, 宽为 9 m 时菜园面积最大为 81 m2 解法二:设矩形菜园的长为 x m., 宽 为 y m , 则 2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为 xy m 2 。由
xy ? x ? y 18 ? ? 9 ,可得 2 2
xy ? 81

当且仅当 x=y,即 x=y=9 时,等号成立。 因此,这个矩形的长、宽都为 9m 时,菜园的面积最大,最大面 积是 81m 2

归纳:1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,
M? b∈R ,且 a+b=M,M 为定值,则 ab≤ ? ? ? ,等号当且仅当 a=b ? 2 ?

2

时成立. 2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a,

b∈R+,且 ab=P,P 为定值,则 a+b≥2 P ,等号当且仅当 a=b
时成立.

探究二:
3

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3, 深为 3m, 如果池底每 1m2 的造价为 150 元, 池壁每 1m2 的造价为 120 元, 问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数 关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元。 (过程略) 因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价 最低,最低总造价是 297600 元

评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言 的应用即函数解析式的建立,又是不等式性质在求最值中的应用, 应注意不等式性质的适用条件。

归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意, 设变量, 设变量时一般把要求最大值或最小值 的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式, 把实际问题抽象为函数的最大值或 最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 四、随堂检测(课中)
4

课本第 100 页的练习 1、2、3、4

五、课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利 解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值,是值 得重视的一种方法,但在具体求解时,应注意考查下列三个条件: (1)函数的解析式中,各项均为正数;(2)函数的解析式中,含变数 的各项的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的 各项均相等,取得最值 即用均值不等式求某些函数的最值时,应具
王新敞
奎屯 新疆

备三个条件:一正二定三取等。 六、作业布置 课本第 111 页习题[A]组的第 2、4 七、评价设计

教学 反思

5


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