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2014届高考数学一轮复习方案 第22讲 正弦定理和余弦定理课时作业 新人教B版


课时作业(二十二)
基础热身

[第 22 讲

正弦定理和余弦定理]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

1.[2012?上海卷] 在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 2.[2012?广东卷] 在△ABC 中,若 A=60°,B=45°,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 B.2 3 C. 3 D. 3 2
2 2

2

2

2

)

)

3.在△ABC 中,下列关系式:①asinB=bsinA;②a=bcosC+ccosB;③a +b -c = 2abcosC;④b=csinA+asinC,一定成立的有( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个
2 2

2

)

4. △ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 c=2 3b, sin A-sin B= 3sinBsinC, 则 A=________.

能力提升 5.判断下列说法,其中正确的是( A.a=7,b=14,A=30°有两解 B.a=30,b=25,A=150°只有一解 C.a=6,b=9,A=45°有两解 D.b=9,c=10, B=60°无解 6.[2012?丹东模拟] 已知△ABC 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=3,b =2,A=60°,则 cosB=( A. C. 3 3 B.± 3 3 6 3 D.± 6 3 ) )

7.[2012?湖北卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若三边的长为连 续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为( A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 )

1

8.△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积等于( A. C. 3 2 B. 3 4 D. 3 3 或 2 4

)

3 或 3 2

9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 C=120°,c= 2a,则( A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定

)

10.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,若 c=2,b= 3,A+C= 3B,则 sinC=________. 11.[2012?商丘模拟] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a=4,

A= ,则该三角形面积的最大值是________.
12.△ABC 的三内角 A,B,C 所对边长分别是 a,b,c,设向量 m=(a+b,sinC),n= ( 3a+c,sinB-sinA),若 m∥n,则角 B 的大小为________. 1 13. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 acosB-bcosA= c, 当 tan(A 2 -B)取最大值时,角 C 的值为________. 14.(10 分)[2012?辽宁卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,角 A,

π 3

B,C 成等差数列.
(1)求 cosB 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值.

2

15.(13 分)[2012?衡水质检] 设△ABC 是锐角三角形,角 A,B,C 所对的边分别是 a,

b,c,并且 cos2A=cos2B-sin +Bcos +B.
(1)求角 A 的值; (2)若△ABC 的面积为 6 3,求边 a 的最小值.

π 3

π 6

难点突破 16.(12 分)[2012?吉林一中二模] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,

c.若

cosA b = 且 sinC=cosA. cosB a (1)求角 A, B,C 的大小; (2)设函数 f(x)=sin(2x+A)+cos2x- , 求函数 f(x)的单调递增区间, 并指出它相邻 2

C

两对称轴间的距离.

3

课时作业(二十二) 【基础热身】 1.C [解析] 由正弦定理可把不等式转化为 a +b <c ,cosC= 形为钝角三角形.故选 C.
2 2 2

a2+b2-c2 <0,所以三角 2ab

BC AC 3 2 AC 2.B [解析] 根据正弦定理得 = ,即 = .解得 AC=2 3. sinA sinB sin60° sin45°
3. C [解析] 由正、 余弦定理知①③一定成立, 对于②, 由正弦定理知 sinA=sinBcosC +sinCcosB=sin(B+C),显然成立.对于④,sinB=sinCcosA+sinAcosC,即 b=ccosA+

acosC,故 b=csinA+asinC 不一定成立.
4. π 6
2

[解析] ∵c=2 3b,又 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴sinC=2 3sinB,
2 2 2 2

∵sin A-sin B= 3sinBsinC=6sin B,∴sin A=7sin B,sinA= 7sinB, 所以,a= 7b,由余弦定理得 cosA= 3 π ,所以 A= . 2 6 【能力提升】 1 14? 2 bsinA 5.B [解析] A 中,由正弦定理得 sinB= = =1,所以 B=90°,故只有一 a 7 2 bsinA 解,A 错误;B 中,由正弦定理得 sinB= = <1,又 A 为钝角,故只有一解,B 正 a 30 2 9? 2 bsinA 确;C 中,由正弦定理得 sinB= = >1,所以角 B 不存在,故无解,C 错误;D 中, a 6 3 10? 2 csinB 由正弦定理得 sinC= = <1,因为 b<c,B=60°,且 0°<C<180°,所以角 C b 9 有两解,D 错误.故选 B. 3 2? 2 bsinA 3 6.C [解析] 由正弦定理得 sinB= = = ,又 b<a,∴cosB>0,∴cosB a 3 3 = 1-(sinB) =
2 2 b2+c2-a2 b2+(2 3b)2-( 7b)2 6b = = = 2 2bc 2b?2 3b 4 3b

1 25?

1-?

6 ? 3?2 ? =3. ?3?

7. D [解析] 因为 a, b, c 为连续的三个正整数, 且 A>B>C, 可得 a=c+2, b=c+1①.

4

又因为 3b=20acosA,由余弦定理可知 cosA=

b2+c2-a2 b2+c2-a2 ,则 3b=20a? ②,联立 2bc 2bc

15 2 ①②,化简可得 7c -13c-60=0,解得 c=4 或 c=- (舍去),则 a=6,b=5.又由正弦 7 定理可得,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=6∶5∶4.故选 D. 1 3 3 8.D [解析] ∵ = ,∴sinC= . sin30° sinC 2 ∵0°<C<180°,∴C=60°或 120°. 当 C=60°时,A=90°,∴BC=2,此时,S△ABC= 3 ; 2

1 3 当 C=120°时,A=30°,S△ABC= ? 3?1?sin30°= . 2 4 9.A [解析] 方法一:由余弦定理得 2a =a +b -2abcos120°,
2 2 2

b2+ab-a2=0,
2 b -1+ 5 ?b? b 即? ? + -1=0, = <1,故 b<a. a 2 ?a? a 方法二:由余弦定理得 2a =a +b -2abcos120°,
2 2 2

b2+ab-a2=0,b2=a2-ab=a(a-b)>0,∴a>b.
方法三:由 c= 2a,∴sinC= 2sinA,∴sin120°= 2sinA. ∴sinA= 10. 6 3 6 1 > .又 A+B=60°,∴A>30°,∴A>B,∴a>b. 4 2

3 [解析] ∵A+C=3B 且 A+C+B=180°,∴B=45°,由正弦定理得 = sin45°

2 6 ,∴sinC= . sinC 3 11.4 3 [解析] a =b +c -2bccosA=b +c -bc≥2bc-bc=bc,∴bc≤16,
2 2 2 2 2

1 1 π ∴S= bcsinA≤ ?16?sin =4 3. 2 2 3 12.150° [解析] 由 m∥n,∴(a+b)(sinB-sinA)-sinC( 3a+c)=0,由正弦定
2 2 2

理有(a+b)(b-a)=c( 3a+c),即 a +c -b =- 3ac,再由余弦定理得 cosB=- ∴B=150°. π 13. 2 [解析] 由正弦定理有 = = , sinA sinB sinC

3 , 2

a

b

c

1 1 而已知 acosB-bcosA= c,那么 sinAcosB-sinBcosA= sinC, 2 2

5

1 即 sin(A-B)= sinC, 2 1 则可知 0<sin(A-B)≤ ,而-π <A-B<π , 2 π 5π 可解得 0<A-B≤ 或 ≤A-B<π , 6 6 π 1 1 3 所以当 A-B= ,即 sin(A-B)= sinC= 时,tan(A-B)有最大值为 . 6 2 2 3 1 1 π 此时 sin(A-B)= sinC= ,即 sinC=1,解得 C= . 2 2 2 14.解:(1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180°,解得 B=60°, 1 所以 cosB= . 2 1 2 (2)方法一:由已知 b =ac,及 cosB= , 2 根据正弦定理得 sin B=sinAsinC, 3 2 所以 sinAsinC=1-cos B= . 4 1 2 解法二:由已知 b =ac,及 cosB= , 2
2

a2+c2-ac 根据余弦定理得 cosB= ,解得 a=c, 2ac
所以 B=A=C=60°, 3 故 sinAsinC= . 4 π π 2 2 15.解:(1)由 cos A=cos B-sin +Bcos +B 得 3 6 π π π π 2 2 cos A=cos B-sin cosB+cos sinB?cos cosB-sin sinB 3 3 6 6 =cos B-
2

3 1 1 ? 3 ? cosB+ sinB? cosB- sinB? 2 2 2 ?2 ?

3 1 1 2 1 1 2 2 2 2 =cos B- cos B- sin B= cos B+ sin B= , 4 4 4 4 4 1 得 cosA=± . 2 π 又 A 为锐角,所以 A= . 3 1 (2)由△ABC 的面积为 6 3得 bcsinA=6 3. 2

6

π 由(1)知 A= ,所以 bc=24, 3 由余弦定理知 a =b +c -2bccosA=b +c -24, 由基本不等式得 b +c ≥2bc,所以 a ≥48-24=24, 所以 a≥2 6(当且仅当 b=c 时取等号),即 a 的最小值为 2 6. 【难点突破】 cosA b cosA sinB 16.解:(1)由 = 结合正弦定理得 = ,则 sin2A=sin2B,则在三角形中 cosB a cosB sinA π 有 A=B 或 A+B= , 2 1 当 A=B 时, 由 sinC=cosA 得 cosA=sin2A=2sinAcosA 得 sinA= 或 cosA=0(舍), ∴A 2 π 2π =B= ,C= , 6 3 π 当 A+B= 时,由 sinC=cosA 得 cosA=1(舍). 2 π 2π 综上,A=B= ,C= , 6 3 (2)由(1)知 f(x)=sin2x+ π =2sin2x+ . 6 π π π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + 得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 2 6 2 3 6 π π 所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ - ,kπ + (k∈Z),相邻两对称轴间的距离为 3 6 π . 2 π π π π π +cos2x- =sin2x+ +cos- +2x+ 6 3 6 2 6
2 2 2 2 2 2 2 2

7


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