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【原创精品资料】12.3《平均数、方差与标准差》错误解题分析


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12.3《平均数、方差与标准差》错误解题分析
一、知识导学
?

1、n 个数据 a1 , a2 ,……。 an 的平均数或平均值一般记为 a =

a1 ? a 2 ? ........? a n 。 n



2 、 一 般 地 , 若 取 值 x1 , x2 ,......,xn 的 频 率 分 别 为 p1 , p2 ,......,pn , 则 其 平 均 数 为

x1 p1 ? x2 p2 ? ......? xn pn 。
3、把一组数据的最大值与最小值的差称为极差。 4、一般地,设一组样本数据 x1 , x2 ,......,xn ,其平均数为 x ,则称 s 2 ?
?

? 1 n ? ( xi ? x) 2 为这 n i ?1

个样本的方差,算术平方根 s ? 标准差。 二、疑难知识导析

? 1 n ? ( xi ? x ) 2 为样本的标准差,分别简称样本方差,样本 n i ?1

1、平均数,中位数和众数都是总体的数字特征,从不同角度反映了分布的集中趋势,平均 数是最常用的指标,也是数据点的“重心”位置,它易受极端值(特别大或特别小的值)的影 响,中位数位于数据序列的中间位置,不受极端值的影响,在一组数据中,可能没有众数, 也可能有多个众数。 2、方差和标准差是总体的数字特征,反映了分布的分散程序(波动大小),标准差也会受 极端值(特别大或特别小的值)的影响。 3、分布的分散程序还可以用极差来描述,但较粗略。 4、样本方差也可以用公式 s ?
2 2 1 n 2 ? xi ? x 计算。 n i ?1

三、经典例题导讲

, [例 1](江苏卷)某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x, y,10,11 9. 已知这组
数据的平均数为 10,方差为 2,则 x ? y 的值为( A、1 B、2 C、3 ) D、4

解:由平均数公式为 10,得 ( x ? y ? 10 ? 11 ? 9) ?

1 ? 10 ,则 x ? y ? 20 ,又由于方差为 5
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2 2

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2,则 ? x ? 10 ? ? ? y ? 10 ? ? ?10 ? 10 ? ? ?11 ? 10 ? ? ?9 ? 10 ? ?
2 2 2

?

?

1 ? 2得 5

x 2 ? y 2 ? 208
所以有 x ? y ?

2 xy ? 1 9 2

?x ? y ?2

? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 4 ,故选 D。

[例 2]数据 x1,? , xn 是一名运动员的 n 次射击的命中环数, 则他的平均命中环数的估计是 ) ( 。 A、样本平均数均值 x ?

1 n ? xi n i ?1

B、样本极差 R ? max(x1 ,?, xn ) ? min(x1 ,?, xn )

C、样本方差 s 2 ? 【错解】C。

1 n ? ( xi ? x ) 2 n i ?1

D、样本平均差 AD=

1 n ? xi ? x n i ?1

【错因】后三个选项都表示了样本的波动程度,不能用于总体平均值的估计。 【正解】A。 [例 3]某房间中 10 个人的平均身高为 1。74 米,身高为 1。85 米的第 11 个人,进入房间后, 这 11 个人的平均身高是多少? 解: 原来的 10 个人的身高之和为 17。 米, 4 所以, 11 个人的平均身高为 这 75。即这 11 个人的平均身高为 1075 米 [例 4]若有一个企业,70%的人年收入 1 万,25%的人年收入 3 万,5%的人年收入 11 万,求 这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数 解:年平均收入为 1 ? 70% ? 3 ? 25% ? 11 ? 5% ? 2 (万);中位数和众数均为 1 万 [例 5]下面是某快餐店所有工作人员的收入表: 老板 3000 元 大厨 450 元 二厨 350 元 采购员 400 元 杂工 320 元 服务生 320 元 会计 410 元

1.74 ? 10 ? 1.85 =1。 11

(1)计算所有人员的月平均收入; (2)这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗?为什么? (3)去掉老板的收入后,再计算平均收入,这能代表打工人员的月收入的水平吗? (4)根据以上计算,以统计的观点对(3)的结果作出分析 解:(1)平均收入 x1 ?
?

1 (3000+450+350+400+320+320+410)=750 元 7

(2)这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平,可以看出打工人员的收入都低于平均
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收入,因为老板收入特别高,这是一个异常值,对平均收入产生了较大的影响,并且他不是 打工人员 (3)去掉老板后的月平均收入 x 2 ? 打工人员的月收入水平 (4)由上可见,个别特殊数据可能对平均值产生大的影响,因此在进行统计分析时,对异 常值要进行专门讨论,有时应剔除之
?

1 (450+350+400+320+320+410)=375 元。这能代表 6

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