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高中数学统计、统计案例知识点总结和典例


统计
一.简单随机抽样:抽签法和随机数法 1.一般地,设一个总体含有 N 个个体(有限) ,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N),如果 每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等(n/N) ,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。 2.一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均 匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本,这种抽样方法叫做抽签法。 抽签法的一般步骤:a、将总体的个体编号。 b、连续抽签获取样本号码。 3. 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法。 随机数表法的步骤:a、将总体的个体编号。b、在随机数表中选择开始数字。c、读数获取样本号 码。 4. 抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如果标号的签搅 拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相同,缺点上当总体容量较大时,仍然不 是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。 二.系统抽样: 1.一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先 制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样。 系统抽样的一般步骤: (1)采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个编号。 (2)将整体按编号进行分段,确定分段间隔 k=N/n。(k∈N,L≤k). (3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L(L∈N,L≤k) 。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 L+K,再加 上 K 得到第 3 个个体编号 L+2K,这样继续下去,直到获取整个样本。 在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当 N/n 不是整数时,应采用等可能剔除的方剔除部分 个体,以获得整数间隔 k。 三.分层抽样: 1.一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的 个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样。 分层抽样的步骤: (1)分层:按某种特征将总体分成若干部分。 (2)按比例确定每层抽取个体的个数。 (3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 (4)综合每层抽样,组成样本。 2.分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法,进行分层抽样时应注意以下几点: (1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的差异要小,面 层之间的样本差异要大,且互不重叠。 (2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。 四. 用样本的频率分布估计总体分布: 1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率 分布。 其一般步骤为: (1)计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 (2)决定组距与组数 (3)将数据分组 (4)列频率分布表 (5)画频率分布直方图 2.频率分布折线图、总体密度曲线 频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。

总体密度曲线:在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中 称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比,给我们提供 更加精细的信息。 3. 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数, 即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的 图叫做茎叶图。 茎叶图的特征: (1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可 以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示。 (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数 据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。 五. 用样本的数字特征估计总体的数字特征: 1. 众数、中位数、平均数、方差、标准差的求法。

s2 ?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? n

? ( xn ? x ) 2 ]

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ]

六.变量之间的相关关系: 1.相关关系:两个变量之间的关系可能是确定的关系(如:函数关系) ,或非确定性关系。当自变量取值 一定时,因变量也确定,则为确定关系;当自变量取值一定时,因变量带有随机性,这种变量之间的关 系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。 2.散点图的概念:将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形, 这样的图形叫做散点图。 (1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上, 就用该函数来描述变量之间的关 系,即变量之间具有函数关系.2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系。 3. 如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系) 。 3.正相关与负相关概念:如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关。如果散点 图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关。 (注:散点图的点如果几乎没有什么规则,则 这两个变量之间不具有相关关系) 4. 从散点图上可以看出, 这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线。 如果散点图中点的分布从整体 上看大致在一条直线附近,我们就称这这两个变量之间具有线形相关关系,直线叫回归直线。 5.教学最小二乘法: (1)求回归方程的关键是如何用数学的方法刻画"从整体上看,各点与此直线的距离最小". (2) 最小二乘法公式: 求回归直线, 使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。

x?

题型一 抽样方法 例 1(1)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解学生的就业倾向, 用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数 为 . (2)利用简单随机抽样的方法,从 n 个个体(n>13)中抽取 13 个个体,依次抽取,若第二次抽取 后,余下的每个个体被抽取的概率为

1 n ? xi n i ?1

l xx ? ? ( xi ? x) 2
i ?1

n

y?

1 n ? yi n i ?1

l xy ? ? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

1 ,则在整个抽样过程中,每个个体被抽取的概率为 36

变式 1:某公司生产三种型号的轿车, 产量分别为 1200 辆, 6000 辆和 2000 辆. 为检验该公司的产品质量, 现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 ____,

____, ____辆. 变式 2:经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢” 、 “不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般” 态度的比“不喜欢”态度的多 12 人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的 5 位 “喜欢”摄影的同学、1 位“不喜欢”摄影的同学和 3 位执“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜 欢”摄影的比全班人数的一半还多 人. 题型二 统计图表问题 例 2 从一条生产线上每隔 30 分钟取一件产品,共取了 n 件,测得其产品尺寸后,画得其频率直方图 如下.尺寸在[15,45)内的频数为 46. (1)求 n 的值; (2)求尺寸在[20,25)内产品的个数.

变式 3: ⑴有一个容量为 100 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [12.5,15.5] ,6; [15.5,18.5] ,16; [18.5,21.5] ,18; [21.5,24.5] ,22; [24.5,27.5) ,20; [27.5,30.5) ,10; [30.5,33.5) ,8. ①列出样本的频率分布表;②画出频率分布直方图;③估计数据小于 30.5 的概率

题型三 平均数、标准差(方差)的计算问题 例 3 一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下: 9.4 8.4 9.4 9. 9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.04 D.9.5,0.016 变式 4: x 是 x1 , x2

, x100 的平均数,a 是 x1 , x2

, x40 的平均数,b 是 x41 , x42

则x, , x100 的平均数,

a , b 之间的关系为

. 变式 5:某人 5 次上班途中所花时间(单位:分钟)分别为 x 、 y 、10、11、9.已知这组数据的平均 )

数为 10,方差为 2,则 x ? y 的值为(

A.1 B.2 C.3 D.4 题型四 线性回归分析 例 4 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨) 与相应的生产能耗 y(吨 标准煤)的几组对照数据:

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图;

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性 回归方程 y ? bx ? a ; (3)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤;试根据(2)求出的线性回归方程,预测生 产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?

变式 6: 为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前 7 次考试 的数学成绩 x 、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 8 8 8 9 9 4 8 8 3 9 9 1 11 17 11 08 9 9 2 9 9 6 11 08 11 04 11 00 11 01 11 12 11 06

数学

物理

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分,请你估计他的 数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理 建议.


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