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线线角、线面角、二面角知识点及练习


线线角、线面角、面面角专题
一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线 a , b ,经过空间任意一点 O 作直线 a? // a, b? // b , 我们把 a ? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的角。 2.角的取值范围: 0 ? ? ? 90? ;

当? ? 900 时,异面直线 a, b垂直。
D 为 AB 的中点 例 1.如图, 在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA1 ? 4 ,点
王新敞
奎屯 新疆

求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值

王新敞
奎屯

新疆

C_ _ 1 A_ _ 1 C _ A _

B_ _ 1

B _

二、直线与平面所成的角 1. 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫这条斜线和这个平面所成的角 2.角的取值范围: 0 ? ? ? 90 。
? ?

例 2. 如图、四面体 ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点, 求(1)BC 与平面 SAB 所成的角。 (2)SC 与平面 ABC 所成的角的正切值。

C

H

S M A

B

一、 二面角: 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半 平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围: 0 ? ? ? 180
? ?

两个平面垂直:直二面角。 3.作二面角的平面角的常用方法有六种: 1.定义法 :在棱上取一点 O,然后在两个平面内分别作过棱上 O 点的垂线。 2.三垂线定理法:先找到一个平面的垂线,再过垂足作棱的垂线,连结两个垂足即得二面角的平面 角。 3.向量法:分别作出两个半平面的法向量,由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上,取恰当的点,经常是端点和中点。 例 3.如图,E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求 (1)二面角 D ? A1C1 ? D1 所成的角的余弦值 (2)平面 AB1E 和底面 BB1C1C 所成锐角的正切值. A D B E D1 A1 B1 C1 C

巩固练习 1.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( A. ? 内所有的直线都与 a 异面; C. ? 内所有的直线都与 a 相交; )

B. ? 内不存在与 a 平行的直线; D.直线 a 与平面 ? 有公共点. ) C1 B1 D C A B

2.空间四边形 ABCD 中,若 AB ? AD ? AC ? CB ? CD ? BD ,则 AD 与 BC 所成角为( A. 30 0 B. 450 C. 60 0 D. 90 0 )条 D.8 A1 ) D1

3.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( A.3 B.4 C.6

4.如图长方体中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面角 C1—BD—C 的大小为( A.30
0

B.45

0

C.60

0

D.90

0

5.如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥面 ACD. (2)平面 EFC⊥平面 BCD.

6.如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° ,P,Q 分别为 AE, AB 的中点. (1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

7.如图,已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,设 SA=4,AB=2, 求点 A 到平面 SBD 的距离;


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