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第24届北京市高中力学竞赛预赛试卷


第 24 届北京市高中力学竞赛预赛试卷
(北京四中杯)
(全卷满分 150 分) 题 号 分 数 阅卷人 复核人 一 二 20 21 22 23 2011 年 5 月 8 日 上午 9:30—11:30 三 总 分

得 分

一、选择题(共 44 分,每小题 4 分)下列每小题均有四个备选答案,至少有
一个答案是正确的,请把所选答案前的字母填在下面的答案表内.每小题全选

对的得 4 分,选对但不全的得 2 分,错选或不答的均得 0 分. 题号 答案 1.某同学竖直向上抛出一个质量为 m 的小球,经过时间 t,小球落回抛出点.若不计 空气阻力,重力加速度为 g,则该同学在抛出小球时,对小球做的功为 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 mg 2 t 2 2

B.

1 mg 2 t 2 4

C.

1 mg 2 t 2 6

D. mg t

1 8

2 2

2.质量为 m 的小物体在竖直向上的恒力 F 作用下匀加速上升高度为 h,运动中受到的 阻力 f 大小不变.对此加速过程的始末状态 A. B. C. D. 物体的动能的增加量为 Fh-mgh-fh 物体的重力势能的增加量为 mgh 物体的机械能的增加量为 Fh 物体的机械能的增加量为 Fh-fh

3. 汽车由静止开始沿直线运动, 第 1 秒内、 第 2 秒内、 第 3 秒内的位移分别为 2m、 4m、 6m,则在这 3 秒内,汽车的运动情况是 A.汽车做匀加速直线运动 C.平均速度为 2m/s B.汽车做变加速直线运动 D.平均速度为 4m/s

4.如图 1 所示,物块 A 放在斜面体的斜面上,和斜面体一起向右做加速运动.若物块 与斜面体保持相对静止,物块 A 受到斜面对它的支持力和摩擦力的合力的方向可能是
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A. B. C. D.

向右斜上方 水平向右 向右斜下方 上述三种方向都不可能

A

a

图1 O

5.如图 2 所示,绕过光滑钉子 O 的细绳,两端分别拴有 A、B 两个 小球,A 球的质量是 B 球的 2 倍.现将两球从距地面高度为 h 处由静止释 放.若细绳足够长,细绳的质量、空气的阻力均不计.则 B 球上升到距地 面的最大高度为 A. h C. A

B h 图2

8 h 3

7 h 3 10 D. h 3
B.

6.一物体由静止开始沿光滑斜面下滑,下滑到底端前物体的动能 Ek 随下滑位移 s 变化 的关系是图 3 中的 Ek Ek Ek Ek

0 A.

s

0 B.

s

0

图3

C.

s

0 D.

s

7.如图 4 所示,小球和光滑斜面接触,悬线处于竖直方向.如果突然将悬线剪断,则 剪断悬线前后,水平地面对斜面体的支持力和摩擦力的变 化情况是 A. B. C. D. 支持力变大,摩擦力不变 支持力变小,摩擦力变大 支持力变大,摩擦力也变大 支持力变小,摩擦力可能变小 图4

8.物体自由下落,以地面为重力势能的零势能面,图 5 的四个图中,哪个图正确表示 了物体的重力势能 Ep 与速度υ 的关系 Ep Ep Ep Ep

0 A.

υ

0 B.

υ 图5

0

C.

υ

0 D.

υ

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9. 质量分别是 m1 和 m2 的两个木块用轻弹簧相连, 放在水平地面上, 如图 6 所示,用细线拴住 m1,并用力将它缓慢竖直向上提起,当木块 m2 刚要离开地面时,细线突然断裂,则此时木块 m1 的加速度为 A.0 B. g C.

F m1 m2 图6

(m1 ? m2 ) g m1

D.

m2 g m1

10.物体以初速υ 0 水平抛出,经过一段时间其水平位移与竖直位移大小相等.则此时 A. B. 物体的速度方向与水平方向的夹角为 45° 物体的速度大小为 5? 0 运动时间为

C.

2? 0 g

2 2? 0 D. 运动位移的大小为 g

11.如图 7 所示,物体与轨道各处的动摩擦因数 μ 均相同,第一次物块从左侧高 h1 处 的 A 点滑下,经过一段水平轨道,滑上右侧倾角为 θ1 的轨道 1,滑到高为 h2 的 B 点时速度 降为 0.将轨道 1 改成倾角为 θ2 的轨道 2 (图中的细实线),已知 θ2<θ1,轨道 2 和轨道 1 的 交点恰是 B 点.第二次物块仍从左侧轨道的 A 点滑下,滑上右侧的轨道 2,则 A. B. C. D. 物块从高为 h1 的 A 处滑下,仍能滑到高为 h2 的 B 点 物块从高为 h1 的 A 处滑下,能够滑过高为 h2 的 B 点继续上滑 物块从高为 h1 的 A 处滑下,不能滑到高为 h2 的 B 点 由于不知道 θ2、θ1 的具体数值,无法判定 A B h1 θ 图7 得 分
2

2 1 θ
1

h2

二、填空题(共 40 分,每小题 5 分)把答案填在题中的横线上,或按题目
要求作图.

12.如图 8 所示,质量为 m 的物体,静止在倾角为θ 的斜 面底端.物体与斜面间的动摩擦因数为μ ,斜面长为 L.现对
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L m θ 图8

物体施平行于斜面向上的拉力,使物体由静止开始运动.要使物体能够到达斜面顶端,拉力 至少需对物体做的功为 .

13. 某一星球的第一宇宙速度为υ , 质量为 m 的宇航员在这个星球表面受到的重力为 G, 由此可知这个星球表面的重力加速度是 ;星球的半径是 .

14. 以初动能 Ek 竖直向上抛出质量为 m 的小球, 小球运动中受到的空气阻力大小恒定. 球 落回抛出点时的动能为抛出时的

7 ,则小球上升的最大高度为 9



15.从某一高度处水平抛出一个质量为 m 的小球,不计空气阻力,落地时小球所受的 重力的功率为 P.落地的水平位移为 s.则小球抛出 时的初速度的大小是 . H B h O 图9 A

16.如图 9 所示,高为 H 的光滑滑梯,滑梯的 下端水平,距地面的高度为 h.小孩从 A 处由静止 开始滑下,由 B 处滑出滑梯后落到水平地面上的 P 点,OP=d.设 h 和 d 已知,则小孩从 B 滑出的速 度为 ,高度 H= .

P

17.质量为 m=60kg 的同学,双手抓住单杠做引体向上,他的重心的速率随时间变化 的图像如图 10 所示.取 g =10m/s2,由图像可知 t=0.4s 时他受到单杠的作用力的大小 是 ;t =1.1s 时他受到单杠的作用力的大小是 .

18.如图 11 所示,行星 A 和 B 绕恒星 C 做匀速圆周运动,圆半径之比为 4:1.某一时 刻 A、B、C 在一条直线上,B 经过时间 t 绕恒星 C 运动一周.则要使 A、B、C 重新在一条 直线(B 在 A、C 中间)上,至少要经过的时间是 υ /cms-1
40 30 20 10 0



A

B C

0.5

1.0

1.5

2.0

t/s 图 11

图 10

19.在绕地球飞行的航天飞船内,有两个形状基本相同的物体 A 和 B.要用实验粗略地 比较 A、B 质量的大小,实验的原理和方法是 .
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三、证明和计算题(共 66 分)解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步
骤,只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位. 得 分 20. (13 分)天文观测发现宇宙空间中存在一些双星系统.某双星系统的 A、 B 两颗星的质量分别为 MA 和 MB, A、 B 相距为 d, 它们绕同一点 O 做匀速圆周运动,如图 12 所示.试证明此双 星系统的运动周期 T ? A

4? 2 d 3 .G 为万有引力常量. G(M A ? M B )

O B

图 12

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得 分

21. (17 分) 质量为 m 的飞机沿跑道加速, 开始飞离跑道的水平速度为 v0. 飞 离跑道后的运动轨迹如图 13 所示,已知飞机的水平位移为 L 时,沿竖直方向

的位移为 h.若飞机上升过程中飞机水平分速度保持υ 不计空气阻力.求

0

不变,竖直向上的升力大小恒定, y h

(1)从飞离跑道到上升 h 高的过程中,飞机的升力多大? (2)到达高度 h 时,飞机的速度多大?

O 图 13

L

x

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得 分

22. (17 分)重物 A 和滑块 B 用细线跨过定滑轮相连,A 距地面高为 H,B 可 在细线牵引下沿水平足够长的木板上滑动,如图 14 所示.滑块 B 上面固定了

了一个力传感器,可以测定细线对滑块的拉力,C 为运动传感器,可以测定滑块运动的υ -t 图像.从某时刻起释放滑块 B,测得滑块 B 所受拉 力 F 随时间 t 变化的图像和滑块 B 的υ -t 图像,如 图 15 所示. (取 g=10m/s2)
A B C

图 14
F/N 10 2.4

υ /ms-1

0

0.6

1.4

t/s

0 图 15

0.6

1.4

t/s

(1)由图可知,滑块与长木板间的动摩擦因数是多少? (2)试通过分析讨论,当增大滑块 B 的质量时,它的υ -t 图像可能如何变化.并在 υ -t 图中用铅笔线画出.

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得 分

23. (19 分)如图 16 所示, 长 L 的细绳一端固定于 A 点, 另一端系一小球.水 平 x 轴的原点 O 位于悬点 A 的正下方

L 处.现在 x 轴正方向上某处钉一钉子 2

P,再将球拉到细绳处于水平的位置,由静止释放,要使球下摆后可绕钉子 P 在竖直平面内 转动一周.已知细绳能承受的最大拉力为球重的 7 倍,不计空气阻力.求钉子 P 应钉在 x 轴上的位置坐标范围. A
L 2

L

O

P 图 16

x

第 24 届北京市高中力学竞赛预赛试卷参考答案 (北京四中杯)
(参考答案如有不妥,可由本赛区阅卷指导组负责修订)

一、选择题(共 44 分,每小题 4 分) 题号 答案 1 D 2 ABD 3 BD 4 A 5 B 6 A 7 C 8 C

2011 年 5 月 8 日 9 C 10 BC 11 A

每小题全选对的得 4 分,选对但不全的得 2 分,错选或不答的均得 0 分.

二、填空题(共 40 分,每小题 5 分)

(sin? ? ? cos? ) ; 12. mgL

G m? 2 13. ; ; m G
17. 618N;600N ;

8E k 14. ; 9m g
18.

m g2 s 15. ; P
19. 根据 m ?

16. d

d2 g ? h; , 4h 2h

8t ; 7

F , a

用基本相同的力分别推 A、B 物体,观察其加速度的大小,加速度大的质量小.
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三、证明、计算题(共 66 分) (解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤, 只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位.)

20.(13 分)证明: (3 分)A、B 做匀速圆周运动的向心力是它们之 间的万有引力 A rA O rB B

F ?G

M AM B d2

(6 分) 设 A、 B 做圆周运动的半径分别为 rA 和 rB, AOB 在同一直线上,A、B 运动的周期 T 相同,根据牛顿 第二定律 对A有

G

M AM B 4? 2 ? M rA A d2 T2 M AM B 4? 2 ? M rB B d2 T2



对B有 (2 分) 而

G

② ③

rA+rB=d

(2 分) 联立①②③得

rA ?

M Bd MA ? MB
4? 2 d 3 G(M A ? M B )

T?

21.(17 分)解: (1) (9 分) (5 分)上升 h 的过程中 水平分运动 竖直分运动 L=υ 0 t ① ②

h?

1 2 at 2

求得加速度

2 2h? 0 a? L2

(2 分)设升力为 F,由牛顿第二定律
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F-mg=ma (2 分)升力的大小
2 2h? 0 F ? m( g ? 2 ) L



(2) (8 分) (5 分)飞机上升高度为 h 的过程中,只有升力和重力做功,由动能定理

2h? 2 1 1 2 m? 2 ? m? 0 ? m h( g ? 2 0 ) ? m gh 2 2 L
(3 分)飞机的速度大小为 22.(17 分)解: (1) (5 分) (2 分)滑块 B 开始受细线拉力和滑动摩擦力做匀加速运动,在 0.6s 时 A 触地, 之后水平方向只在滑动摩擦力作用下做匀减速运动,在 1.4s 时停下. (3 分)滑块 B 做匀减速运动的加速度的大小

??

L2 ? 4h 2 ?0 L

a2 ?
由 得动摩擦因数 (2) (12 分)

2.4 ? 3 m/s2 0.8
μ=0.3.

μmBg=mBa2

(4 分)设滑块 B(包括力传感器)的质量为 mB,重物的质量为 mA. 滑块 B 做匀加速运动的加速度

a1 ?

m A g ? ?mB g (m A ? mB )

(5 分)若 mAg-μmBg>0,即 mB ?

mA

?

,当 m B 增大时,加速度 a1 减小,由于

重物 A 下落的高度 H 一定,则加速运动的时间延长,而最大速度减小.A 触地后仍做匀减速 运动,加速度 a2 的大小不变,然后停下. υ -t 图像如图所示 . (3 分)若 mAg-μmBg≤0,即 mB≥ 始终保持静止. 0 23.(19 分)解: (6 分)设小球的质量为 m,钉子 P 的坐标为 x1 时,下摆的小球刚好能绕钉子 P
第 10 页 共 12 页 0.6

mA ?

滑块 B
2.4

v/cms-1

1.4

t/s

沿半径为 r1 的圆周通过最高点,设通过最高点的速度为υ 1.

mg ? m

?12
r1
A
L 2

L υ r1 P x1 x
1

L 1 mg ( ? r1 ) ? m?12 2 2
由几何关系,有

L ( L ? r1 ) 2 ? x12 ? ( ) 2 2

O

解得

x1 ?
r1 ?

7 L 6
L 3
2 ?12

(3 分)

小球在竖直平面内做圆周运动,通过最低点时细绳的拉力最大,有

F1m ? m g ? m
mg (
解得

r1

L 1 2 ? r1 ) ? m?12 2 2

F1m ? 3mg ?

mgL ? 6mg <7mg,满足要求. r1

(5 分)将钉子向右移动时,随小球做圆周运动的半径减小,细绳的最大拉力增 大,设钉子 P 的位置坐标为 x2 时,下摆的小球绕钉子 P 沿半径为 r2 的圆周运动,通过最低 点的速度为υ 2,此时细绳刚好不断. L 2 A ?2

7mg ? mg ? m

r2

L 2

L 1 2 mg ( ? r2 ) ? mv 2 2 2
由 图 的 几 何 关 系 , 有

O υ
2

x2

P r2 x

L ( L ? r2 ) ? x ? ( ) 2 2
2 2 2

解得

x2 ?
r2 ?

5 L 4
L 4

(2 分)

因为 r2<r1,则小球仍可通过最高点.

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(3 分) 钉子 P 点的位置坐标范围为

5 L 4

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