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第十章排列组合和二项式定理(第9课)组合(3)


高中数学教案

第十章排列组合和二项式定理(第 9 课时)

王新敞



题:

10 3 组合 (三)
王新敞
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教学目的: 1 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质; 2.能够解决一些组合应用问题,提高合理选用知识的能力

教学重点:组合应用问题 教学难点:组合应用问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解 排列、组合问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先 要考虑如何选出符合题意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进 行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如 果不需要,是组合问题;否则是排列问题. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路 通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、 组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质, 抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察, 有些同学之所以学习中感 到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不上,而是因为平时做事、考 虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常 理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实际情 况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说 明问题.久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高. 排列、组合问题解题方法比较灵活,问题思考的角度不同,就会得到不同 的解法.若选择的切入角度得当,则问题求解简便,否则会变得复杂难解.教学 中既要注意比较不同解法的优劣,更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行 认识思考,才能得到最优方法. 教学过程: 一、复习引入: 1 分类计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法
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中有 m 1 种不同的方法,在第二类办法中有 m 2 种不同的方法,??,在第 n 类 办法中有 m n 种不同的方法 那么完成这件事共有 N ? m 1 ? m 2 ? ? ? m n 种不
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同的方法

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2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m 1
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种不同的方法,做第二步有 m 2 种不同的方法,??,做第 n 步有 m n 种不同的 方法,那么完成这件事有 N ? m 1 ? m 2 ? ? ? m n 种不同的方法
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3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被 取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 ..... 元素的一个排列 .... 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排
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列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 A n 表示
m

m

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5.排列数公式: A n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1) ( m , n ? N , m ? n ) 6 阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0 ! ? 1 .
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?

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7.排列数的另一个计算公式: A n =

m

n!
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(n ? m )!

8 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素并成一
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组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
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9.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素的所有组合的 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 C n 表示. ...
An
m m

m

10.组合数公式: C nm ?

?

n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1) m!

Am

或C n?
m

n! m ! ( n ? m )!

(n, m ? N , 且 m ? n)

?

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11 组合数的性质 1: C n ? C n
m
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n?m

.规定: C n ? 1 ;
0 m ?1
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12.组合数的性质 2: C n ? 1 = C n + C n

m

m

二、讲解范例: 例 1.100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品 从这 100 件产品中任意抽出 3 件. (1)一共有多少种不同的抽法;
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(2)抽出的 3 件都不是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (4)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的取法有多少种? 解: (1) C 1 0 0 ? 1 6 1 7 0 0 ; (2) C 9 8 ? 1 5 2 0 9 6 ; (3) C 2 C 9 8 ? 2 ? 4 7 5 3 ? 9 5 0 6 ;
3 3 1 2

(4)解法一: (直接法) C 2 C 9 8 ? C 2 C 9 8 ? 9 5 0 6 ? 9 8 ? 9 6 0 4 ;
1 2 2 1

解法二: (间接法) C 1 0 0 ? C 9 8 ? 1 6 1 7 0 0 ? 1 5 2 0 9 6 ? 9 6 0 4 .
3 3

例 2.从编号为 1,2,3,?,10,11 的共 11 个球中,取出 5 个球,使得这 5 个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法? 解: 分为三类: 奇 4 偶有 C 6 C 5 ; 1 ∴一共有 C 6 C 5 + C 6 C 5 + C 6 ? 236 .
1 4 3 2 5 1 4

3 奇 2 偶有 C 6 C 5 ;

3

2

5 奇 1 偶有 C 6 ,

5

例 3.现有 8 名青年,其中有 5 名能胜任英语翻译工作;有 4 名青年能胜任德 语翻译工作(其中有 1 名青年两项工作都能胜任) ,现在要从中挑选 5 名青年承 担一项任务,其 中 3 名从事英语翻译工作,2 名从事德语翻译工作,则有 多少种不同的选法? 解:我们可以分为三类: ①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有 C 4 C 3 ; ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有 C 4 C 3 ; ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有 C 4 C 3 , ∴一共有 C 4 C 3 + C 4 C 3 + C 4 C 3 =42 种方法. 例 4.甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙 不值周六,问可以排出多少种不同的值周表 ? 解法一: (排除法) C 6 C 4 ? 2 C 5 C 4 ? C 4 C 3 ? 42 .
2 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 2 3 2 3 1 2 2

解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有 C 4 C 3 ;
2 2

另一类为甲不值周一,但值周六,有 C 4 C 4 ,
1 2

∴一共有 C 4 C 4 + C 4 C 3 =42 种方法.
1 2

2

2

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例 5.6 本不同的书全部送给 5 人,每人至少 1 本,有多少种不同的送书方法? 解:第一步:从 6 本不同的书中任取 2 本“捆绑”在一起看成一个元素有 C 62 种 方法; 第二步:将 5 个“不同元素(书) ”分给 5 个人有 A 5 种方法. 根据分步计数原理,一共有 C 62 A 5 =1800 种方法
5
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5

三、课堂练习: 1.有两条平行直线 a 和 b ,在直线 a 上取 4 个点,直线 b 上取 5 个点,以这些 点为顶点作三角形,这样的三角形共有( )
A . 70 B .80

C .82

D .84

2. 1 2 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则 不同的分配方案有 ( )种
A . C12C 8 C 4
4 4 4

B . 3C 1 2 C 8 C 4

4

4

4

C . C 1 2 C 8 A3

4

4

3

D .

C 12C 8 C 4 A3
3

4

4

4

3. 5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同分法的种数为 C .1 2 0 A . 480 B . 240 D .96 4.已知甲、乙两组各有 8 人,现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛,比赛成 员的组成共有 种可能 5.在一次考试的选做题部分,要求在第 1 题的 4 个小题中选做 3 个小题,在第 2 题的 3 个小题中选做 2 个小题,第 3 题的 2 个小题中选做 1 个小题,有 种 不同的选法 6.从 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字,从 2,4,6,8 中任取 2 个数字,一共 可以组成 个没有重复数字的五位数 7.正六边形的中心和顶点共 7 个点,以其中三个点为顶点的三角形共有 个 8.从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛 (1)如果 4 人中男生和女生各选 2 人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有 种选法; (4)如果 4 人中必须既有男生又有女生,有 种选法 9.在 200 件产品中,有 2 件次品 从中任取 5 件, (1) “其中恰有 2 件次品”的抽法有 种; (2) “其中恰有 1 件次品”的抽法有 种; (3) “其中没有次品”的抽法有 种; (4) “其中至少有 1 件次品”的抽法有 种 10.某科技小组有 6 名同学,现从中选出 3 人去参观展览,至少有 1 名女生入选
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时的不同选法有 1 6 种,求该科技小组中女生的人数 答案:1. A 2. A 6. A5 C 5 C 4 ? 7 2 0 0
5 3 2

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3. B

4.
3

?C ?
4 8

2

? 4900

5. C 3 C 4 C 2 ? 2 4
2 3 1

7. C 7 ? 3 ? 3 2
2

8.⑴ C 5 C 4 ? 6 0
2 2 3

⑵C7 ? 21
4

⑶C9 ? C7 ? 91
4 4

⑷C9 ? C 4 ? C5 ? 120
4 4 4

9.⑴ C 1 9 8 ? 1 2 7 4 1 9 6
5

⑵ 2 C198 ? 1 2 4 2 3 4 1 1 0
5 5

⑶ C198 ? 2 4 1 0 1 4 1 7 3 4 ⑷ C 200 ? C198 ? 1 2 5 5 0 8 3 0 6 10. 女生的人数是 2 思路:分 n ? 3 和 3 ? n ? 4 两种情况讨论 四、小结 :排列、组合问题解题方法比较灵活,问题思考的角度不同,就会得 到不同的解法.若选择的切入角度得当, 则问题求解简便, 否则会变得复杂难解. 教学中既要注意比较不同解法的优劣,更要注意提醒学生体会如何对一个问题 进行认识思考,才能得到最优方法 五、课后作业: 1.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个
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解:正方体有 8 个顶点,任取 4 个顶点的组合数为 C 8 ? 7 0 个,
4

其中四点共面的情况分 2 类:构成表面的有 6 组;构成对角面的有 6 组, 所以,能形成四面体 7 0 ? 1 2 ? 5 8 (个) . 2.以一个正方体的 8 个顶点连成的异面直线共有 对 解:由上题可知以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 58 个,每个四面体的 四条棱可以组成 3 对异面直线,因此以一个正方体的 8 个顶点连成的异面直线 共有 3×58=174 对
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另解: 3 ? 2 C 4 C 4 ? ? C 4 C 4 ? 1 0 ? ? ? 1 7 4 对
3 1 2 2

?

?

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3.⑴6 本不同的书全部送给 5 人,有多少种不同的送书方法? ⑵5 本不同的书全部送给 6 人,每人至多 1 本,有多少种不同的送书方法? ⑶5 本相同的书全部送给 6 人,每人至多 1 本,有多少种不同的送书方法? 答案:⑴ 5 ? 15625 ;⑵ A 6 ? 720 ;⑶ C 6 ? 6 .
6

5

5

六、板书设计(略)
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七、课后记: 第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有 32 支 球队有幸参加,他们先分成 8 个小组循环赛,决出 16 强(每队均与本组其他队 赛一场,各组一、二名晋级 16 强) ,这支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后
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决出冠亚军, 此外还要决出第三、 四名, 问这次世界杯总共将进行多少场比赛? 答案是: 8 C 42 ? 8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 64 ,这题如果作为习题课应如何分析 解:可分为如下几类比赛: ⑴小组赛,每组有 C 4 场,8 个小组共有 8 C 4 场; ⑵8 个小组的第一、二名组成 16 强,根据抽签规则,将每两个小组的第一与第 二名共 4 个队组成新的组,可分为 4 组,在每一个新的组中的第一与第二名交 叉比赛有 2 场,可以决出 8 强,共有 4*2=8 场; ⑶4 个小组的第一、二名组成 8 强,根据抽签规则,将每两个小组的第一与第 二名共 4 个队组成新的组,可分为 2 组,在每一个新的组中的第一与第二名交 叉比赛有 2 场,可以决出 4 强,共有 2*2=4 场; ⑷2 个小组的第一、二名组成 4 强,4 强中的第一与第二名交叉比赛有 2 场,可 以决出 2 强; ⑸2 强比赛 1 场确定冠亚军,4 强中的另 2 队比赛 1 场决出第三、四名
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2

2

综上,共有 8 C 42 ? 8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 64 场

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