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山东省聊城第三中学2014-2015学年高二下学期第三次质量检测数学(理)试题


聊城三中高二下学期第三次质量检测 理科数学试题
(试卷总分 150 分,共 21 题,考试时间 120 分钟) 一:选择题: (每题 5 分共 50 分)
1.复数

1? i 的共轭复数对应的点位于( 2?i
B.第二象限

) C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限
<

br />2. 已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ ~ B(n, p) , 且 E (? ) ? 7 ,D(? ) ? 6 , 则 p 等于 ( A.

6 7

B.

1 7

C.

3 7

D.

4 7

3、用反证法证明命题,“若 a, b, c 是三个连续的整数,那么 a, b, c 中至少有一个偶数”时, 下列假设正确的是() A.假设 a, b, c 中至多有一个偶数 C.假设 a, b, c 都是偶数 B.假设 a, b, c 中至多有两个偶数 D.假设 a, b, c 都不是偶数

4.已知函数 f(x)的导函数 f ?? x ? 的图像如左图所示,那么函数 f ?x ? 的图像最有可能的是

1 π 5. ? 4π cos 2 xdx =( 3 ?4
A.

)

1 2 2 2 B. C. D. ? 3 3 3 3 5 2 3 5 4 6.已知 (1? x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x ,则( a0 ? a2 ? a4 )(a1 ? a3 ? a5 ) 的值
等于( ) . A. 16 B. ? 32 C. 256 D. ? 256 7.位于西部地区的 A,B 两地,据多年的资料记载:A,B 两地一年中下雨天仅占 6%和 8%,而 同时下雨的比例为 2%,则 A 地为雨天时,B 地也为雨天的概率为( ) A.

1 3

B.

2 3

C. 0.12

D. 0.18

8. 7. 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为志愿者, 若用随机变量 ? 表示选出的志 愿者中女生的人数,则数学期望 E? 等于 A.

4 7

B.

5 7

C.

6 7

D.1

9.已知 (a ? 1) x ? 1 ? ln x ? 0 对于任意 x ? ? ,2? 恒成立,则 a 的最大值为( 2 A、0 B、1 C、 1 ? 2 ln 2 D、

?1 ? ? ?



? 1 ? ln 2 2
2S , a?b?c

10.设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r=

类比这个结论可知:四面体 S—ABC 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球半径为 R, 四面体 S—ABC 的体积为 V,则 R 等于( A. ) B.

V S1 ? S2 ? S3 ? S4 3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

2V S1 ? S2 ? S3 ? S4 4V S1 ? S2 ? S3 ? S4

C.

D.

二:填空题: (每题 5 分共 25 分)
11.

?

4 0

16 ? x 2 dx ?



12.若 ( x ?

1 2 x
3

) n 的展开式中的第 4 项为常数项,则展开式的各项系数的和为________

13. 某单位组织 4 个部门的职工旅游,规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 3 个景区中任 选一个,假设各部门选择每个景区是等可能的.则 3 个景区都有部门选择的概率是 . 14.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (2) ? 0,当x ? 0 时,有 则不等式 x f ( x) ? 0 的解集为
2

xf ?( x ) ? f ( x ) ? 0 恒成立, x2

__________.

15.①在回归直线方程 y ? 0.1 x ? 10 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 增加

0.1 个单位.
②在做回归分析时,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差。 ③某市去年高考考生成绩服从正态分布 N (500,50 ) ,现有 25 000 名考生,则考生成绩 在 550~600 分的人数约为 3397.
2

(参考数据:若 X ? N (? , ? 2 ) ,有 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826,

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974. )
④相关指数 R
2

=0.64 表示解释变量对预报变量的贡献率为 64 ﹪

其中正确结论的编号为:__________________

三:解答题
16.(本小题满分 12 分) 复数 z ? a ? bi(a, b ? R, a ? 0) , 满足 z ? 二、四象限的角平分线上. (Ⅰ)求复数 z ; (Ⅱ)若 z ?

10 ,且复数 (1 ? 2 i ) z 在复平面上对应的点在第

m?i (m ? R) 为纯虚数, 求实数 m 的值. 1? i

17.(本小题满分 12 分) 为调查某社区居民的业余生活状况,研究这一社区居民在 20:00-22:00 时间段的休闲方式 与性别的关系,随机调查了该社区 80 人,得到下面的数据表:

(I)根据以上数据,能否有 99%的把握认为“在 20:00-22:00 时间段居民的休闲方式与性 别有关系”? (II)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名在该社区的男性,设调查的 3 人在 这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量 X.求 X 的数学期望和方差. 附:

n(ad ? bc) 2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P( K 2 ? k)

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

k

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 中,a 1 ? ?

2 1 , 其前 n 项和 S n 满足 a n ? S n ? 计算 S 1 , ? 2 (n ? 2) , 3 Sn

S 2 , S 3 , S 4 ,猜想 S n 的表达式,并用数学归纳法加以证明.

19. (本小题满分 12 分) 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 3 元,并且每件商品需向总店交 a (1 ? a ? 3) 元的 管理费,预计当每件商品的售价为 x(7 ? x ? 9) 元时,一年的销售量为 (10 ? x) 2 万件.

(1)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L( x ) ;

(2) 当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L( x ) 最大,并求出 L( x ) 的最大值.

20. (本小题满分 13 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有 甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性, 约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的 分布列与数学期望 E (? ) .

21.(本小题满分 14 分)

h( x ) , 已知函数 f ( x) ? e x (ax ? 2) ( e 为自然对数的底数, . 对于函数 g ( x ) , a ? R 为常数)
若存在常数 k , b ,对于任意 x ? R ,不等式 g ( x ) ? kx ? b ? h( x ) 都成立,则称直线

y ? kx ? b 是函数 g ( x ) , h( x ) 的分界线.
(Ⅰ)若 a ? ?1 ,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性;
2 (Ⅲ)设 a ? 2 ,试探究函数 g( x) ? ? x ? 4 x ? 2 与函数 f ( x ) 是否存在“分界线”?若存

在,求出分界线方程;若不存在,试说明理由.

聊城三中高二下学期第三次质量检测 理科数学答案
一.DBDAA DACCC 二.11. 4? 12.

1 32

13.

4 9
2

14. (??,?2) ? (0,2)

15.①③④

16.解: (Ⅰ)由

z ? 10

得: a ? b ? 10
2



???????????2 分

又复数 (1 ? 2i ) z = (a ? 2b) ? (b ? 2a )i 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上, 则 (a ? 2b) ? (b ? 2a ) ? 0 即 a ? 3b ② ?????????????4 分

由①②联立的方程组得 a ? 3, b ? 1 或 a ? ?3, b ? ?1 ??????????5 分 ∵ a ? 0, ∴ z ? 3 ? i ????????????????????????6 分 (Ⅱ)由(1)得

z ? 3 ? i ???????????????????????8 分

z?

m?i (m ? i )(1 ? i ) m ? 5 m ? 3 ? 3?i ? ? i 1? i 2 2 ??????????????10 分 = 2
m?i (m ? R) 1? i 为纯虚数,



z?

m??


5 2 ? ??????????? ???????????????????12 分

17.解: (I)根据样本提供的 2×2 列联表得:

80 ? (10 ?10 ? 10 ? 50) 2 80 ? ? = ? 8.889 >6.635; 60 ? 20 ? 20 ? 60 9
2

所以有 99%的把握认为“在 20:00-22:00 时间段居民的休闲方式与性别 有关。
k (Ⅱ)由题意得: X ~ B (3, ) ,且 P ( X ? k ) ? C 3 ( ) 3? k ( ) k , k ? 0,1,2,3

5 6

1 6

5 6

E( X ) ? 3?

5 5 5 1 5 ? , D? X ? ? 3 ? ? ? . ; 6 2 6 6 12

1 18.解:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=Sn+ +2. Sn

1 ∴Sn=- (n≥2). Sn-1+2 2 1 3 则有:S1=a1=- , S 2=- =- , 3 4 S1+2 1 4 1 5 S3=- =- , S4=- =- , 5 6 S2+2 S3+2 n+1 由此猜想:Sn=- (n∈N*). n+2 用数学归纳法证明: 2 ①当 n=1 时,S1=a1=- ,猜想成立. 3 k+1 ②假设 n=k(k∈N*)时猜想成立,即 Sk=- 成立, k+2 k+2 ?k+1?+1 1 1 那么 n=k+1 时,Sk+1=- =- =- =- . Sk+2 k+1 k+3 ?k+1?+2 - +2 k+2 即 n=k+1 时猜想成立. 由①②可知,对任意自然数 n,猜想结论均成立. 19 . 解 : ( 1 ) 由 题 得 该 连 锁 分 店 一 年 的 利 润 L ( 万 元 ) 与 售 价 x 的 解 : 函 数 关 系 式 为 L( x) ? ( x ? 3 ? a)(10 ? x) , x ? ?7 ,9 ? ,
2

( 2 ) L ( x) ? (3 x ? 2a ? 16)( x ? 10) ,
/

2a ? 16 或 x =10 , 3 2 a ? 16 22 ∵1≤ a ≤3 , ∴6≤ ≤ 3 3 2 a ? 16 5 ①当 ≤7 时 , 即 1≤ a ≤ 时 , 3 2
令 L/ ( x) ? 0 , 得 x ? 当

x ∈ 时 , L ' ( x ) ≤0 , L ( x ) 在 x ∈ 上 单 调 递 减 ,

故 L ( x ) m a x = L ( 7 ) = 36 ? 9 a , ②当

2 a ? 16 5 > 7 时 , 即 < a ≤3 时 , 3 2

? 2a ? 16 ? ? 2a ? 16 ? 时 , L '( x ) > 0; x ∈ ? ,9 ? 时 , L ' ( x ) < 0 , x ∈ ?7 , ? 3 ? ? ? 3 ?
∴ L ( x ) 在 x ∈ ?7 , 故 L ( x )max= L (

? 2a ? 16 ? ? 2a ? 16 ? 上 单 调 递 增 ; 在 ∈ ,9 ? 上 单 调 递 减 , x ? 3 ? ? ? ? 3 ?
2 a ? 16 4 (7 ? a ) 3 )= 3 27

答 : 当 1≤ a ≤

5 ,每件商品的售价为 7 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最 2

大 值 为 36 ? 9 a 万 元 ;

2 a ? 16 5 < a ≤3 每 件 商 品 的 售 价 为 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最 3 2 4 (7 ? a ) 3 大值为 27 1 2 20 解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 . 3 3
当 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),

?1? 则 P(Ai)= C ? ? ? 3?
i 4

i

? 2? ? ? . ? 3?
2 2 2 4

4 ?i

8 ?1? ? 2? 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)= C ? ? ? ? ? . ? 3 ? ? 3 ? 27
设 “ 这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 ” 为事件 B ,则 B = A3∪A4.由于 A3 与 A4 互斥,故
3 4

?1? ? 2? ?1? 1 P(B)=P(A3)+P(A4)= C ? ? ? ? +C4 . 4? ? ? ? 3? ? 3? ? 3? 9
3 4

所以,这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 P(ξ=0)=P(A2)=

1 . 9

8 40 17 ,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= ,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)= . 27 81 81
ξ 0 2 4

所以 ξ 的分布列是

40 17 P 81 81 8 40 17 148 随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)=0× +2× +4× = . 27 81 81 81
21.(Ⅰ)若 a ? ?1 ,则 f ? x ? ? e
x

8 27

? ? x ? 2? ,

? f ' ? x ? ? ex ? ?x ?1? ,……………1 分

由 f ' ? x? ? 0 得 x ? 1 又 f ' ? x? ? 0 得 x ? 1 ; f ' ? x? ? 0 得 x ? 1 ,

? f ? x ? 在 ? ??,1? 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减; ? f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值 f ?1? ? e ,无极小值.…………………………………… 3 分
(Ⅱ) f ' ? x ? ? e
x

? ax ? a ? 2? ,……………………………………………………… 4 分
2 ; a 2 ; a

①当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 得 ax ? ? a ? 2,? x ? ?1 ? 由 f '( x) ? 0 得 ax ? ? a ? 2,? x ? ?1 ?

函数 f ( x ) 在区间 ? ?1 ?

? ?

2 2? ? ? , ?? ? 上是增函数,在区间 ? ??, ?1 ? ? 上是减函数………6 分 a a? ? ?

②当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 对 ?x ? R 恒成立, 此时函数 f ( x ) 是区间 R 上 的增函数;………………………………………………7 分 ③当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 得 ax ? ? a ? 2,? x ? ?1 ? 由 f '( x) ? 0 得 ax ? ? a ? 2,? x ? ?1 ? 函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ?1 ?
2

2 ; a

2 ; a

? ?

2? 2 ? ? 上是增函数,在区间 ? ?1 ? , ?? ? 上是减函数.……9 分 ? a? a ? ?
x

(Ⅲ)若存在,则 ? x ? 4x ? 2 ? kx ? b ? e

? 2x ? 2? 恒成立,

令 x ? 0 ,则 2 ? b ? 2 ,所以 b ? 2 ,………………………………………………11 分
2 因此: ? x ? 4 x ? 2 ? kx ? 2 对 x ? R 恒成立,即 x ? ? k ? 4? x ? 0 对 x ? R 恒成立,

2

由 ? ? 0 得到 k ? 4 , …………………………………………………………………… …12 分 现在只要判断 e 设 ? ? x? ? e
x x

? 2x ? 2? ? 4x ? 2 是否恒成立,

? 2x ? 2? ? ? 4x ? 2? ,则 ? ' ? x? ? ex ? 2x ? 4? ? 4 ,
x

①当 x ? 0 时, e ? 1,2x ? 4 ? 4,? ' ? x ? ? 0, ②当 x ? 0 时,

0 ? ex ? 1,2x ? 4 ? 4,? ' ? x ? ? 0, ……………………………………………………13 分
所以 ? ? x ? ? ? ? 0? ? 0 ,即 e
2

x

? 2x ? 2? ? 4x ? 2 恒成立,

所以函数 g ? x ? ? ? x ? 4x ? 2 与函数 f ( x ) 存在“分界线” ,且方程为

y ? 4 x ? 2 ………………14 分


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