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2013年北京海淀高一数学期末试题


海淀区高一年级第一学期期末练习


学校 班级


2013.01

姓名

成绩

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. (1)已知集合 U ? {x ? Z 0 ≤ x ?

7} , A ? {1, 2,3} , B ? {5, 4,3, 2,1} ,则 A (A) ? (B) {1, 2,3} (C) {1, 2,3, 4,5}
U

B=





(D) {0,1, 2,3,6} ( )

1 (2)已知 a ? 31.2 , b ? 1.20 , c ? ( )?0.9 ,则 a, b, c 的大小关系是 3

(A) b ? c ? a

(B) c ? b ? a

(C) c ? a ? b

(D) a ? c ? b ( )

(3)已知向量 a ? ( x,1) , b ? (4, x) ,若向量 a 和 b 方向相同,则实数 x 的值是 (A) ?2 (B) 2 (C) 0 (D)
8 5

(4)已知向量 a, b 满足 | a |? 2 , | b |? 1 ,且 a ? (a ? b) ? 3 ,则 ? a, b ?? ( (A) 60? (B) 75? (C) 90?



(D) 120? ( )

(5)函数 y ? ln x2 的部分图象可能是

(A)

(B)

(C)

(D) ( )

(6)如图所示,点 C 在线段 BD 上,且 BC ? 3CD ,则 AD ? (A) 3 AC ? 2 AB (C)
4 1 AC ? AB 3 3

(B) 4 AC ? 3 AB
1 2 (D) AC ? AB 3 3

π π (7)函数 f ( x) ? x sin x ? 1 在 (? , ) 上的零点个数为 2 2

( (D) 2



(A) 5

(B) 4

(C) 3

(8)已知动点 P 1 ( x1 ,cos x1 ) , P 2 ( x2 ,cos x2 ) , O 为坐标原点,则当 ?1 ≤ x1 ≤ x2 ≤1 时,下列说法正确的 是 ( )

(A) OP 1 有最小值 1 (C) OP 1 ? OP 2 ? 0 恒成立

(B) OP 1 有最小值,且最小值小于 1 (D)存在 x1 , x2 使得 OP 1 ? OP 2 ?2

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上. (9)如果 cos ? ?
1 ,且 ? 为第四象限角,那么 tan ? 的值是 2

.

π (10)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ? (0 ? ? ? ) 个单位,得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,则 ? 的值 2



. .

(11)已知直角三角形 ABC 的直角顶点 C (1,1) ,点 A(?2,3) , B(0, y) ,则 y ?
π 3 (12)已知 sin( ? ? ) ? ,则 tan ? ? sin ? ? 2 5
?lg x, x ? 0 (13)已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f (100) ? ?10 , x ? 0

.

1 ; f ( f ( )) ? 2

.

(14)已知数集 X ={x1 ,x2 ,

, xn } (其中 xi ? 0, i ? 1,2,

,若对任意的 xk ? X ( k ? 1, 2, , n ,n ? 3 )

, ,n )

都存在 xi , x j ? X ( xi ? x j ) ,使得下列三组向量中恰有一组共线:①向量 ( xi , xk ) 与向量 ( xk , x j ) ; ②向量 ( xi , x j ) 与向量 ( x j , xk ) ; ③向量 ( xk , xi ) 与向量 ( xi , x j ) ,则称 X 具有性质 P. 例如 {1, 2, 4} 具有性质 P. (ⅰ)若 {1,3, x} 具有性质 P,则 x 的取值为________; (ⅱ)若数集 {1,3,x1 ,x2 } 具有性质 P,则 x1 ? x2 的最大值与最小值之积为_______.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题共 10 分)
π? ? 已知函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? 的部分图象如图所示. 2? ?

(Ⅰ)写出函数 f ( x) 的最小正周期及其单调递减区间; (Ⅱ)求 f ( x) 的解析式.

(16) (本小题共 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(3,3) , B(5,1) , P(2,1) ,点 M 是直线 OP 上的一个动点. (Ⅰ)求 PB ? PA 的值; (Ⅱ)若四边形 APBM 是平行四边形,求点 M 的坐标; (Ⅲ)求 MA ? MB 的最小值.

(17) (本小题共 10 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c ,且函数 f ( x ? 1) 是偶函数. (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ( x ?[?1, 2] )的最小值为 1,求函数 g ( x) 的最大值.

(18)(本小题共 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: ①对任意的实数 x, y ,有 f ( x ? y ? 1) ? f ( x ? y ? 1) ? f ( x) f ( y) ; ② f (1) ? 2 ; ③ f ( x) 在 [0,1] 上为增函数. (Ⅰ)求 f (0) 及 f (?1) 的值; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并证明; (Ⅲ) (说明:请在(ⅰ) 、 (ⅱ)问中选择一问解答即可。若选择(ⅰ)问并正确解答,满分 6 分;选 择(ⅱ)问并正确解答,满分 4 分) (ⅰ)设 a, b, c 为周长不超过 2 的三角形三边的长,求证: f (a), f (b), f (c) 也是某个三角形三边 的长; (ⅱ)解不等式 f ( x) ? 1 .


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