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2.1.2指数函数及其性质 课件


2.1.2指数函数及其性质 指数函数及其性质

材料1:某种细胞分裂时,由 个分裂成 个分裂成2个 个 材料 某种细胞分裂时 由1个分裂成 个,2个 分裂成4个 一个这样的细胞分裂x次后 分裂成 个……一个这样的细胞分裂 次后 得 一个这样的细胞分裂 次后,得 y = 2 (x ∈ N )
x *

到的细胞分裂的个数y与 的函数图系上什么 的函数图系上什么? 到的细胞分裂的个数 与x的函数图系上什么

材料2:当生物死后 它机体内原有的碳 会按 它机体内原有的碳14会按 材料 当生物死后,它机体内原有的碳
确定的规律衰上,大约每经过 1 ? 年衰上为原 确定的规律衰上 大约每经过5730年衰上为原 大约每经过 ? 来的一半,这个时间称为‘‘半衰期” 根据 来的一半 这个时间称为‘‘半衰期”.根据 这个时间称为‘‘半衰期 此规律,人们获得了生物体内碳 含量 此规律 人们获得了生物体内碳14含量 与死 人们获得了生物体内碳 含量P与死 亡年数t之间的图系 这个图系式应该怎样表 亡年数 之间的图系,这个图系式应该怎样表 之间的图系 示呢? 示呢
P=? ? ?2?
t 5730

(t ≥ 0 )

?1? (t ≥ 0)与函数y= 2x 函数P 与函数y 函数P = ? ? ?2? * 有什么共同特征? x ∈N 有什么共同特征? 1
? 1 ?5730 如果用字母a 如果用字母a来代替数 ? 和2,那么 ? ?2? 示为形如 以上两个函数都可以表 y = ax 的函数, 其中自变量x上指数, 底数a上一个大图 的函数, 其中自变量x上指数, 底数a 0且不等图1的变量。 且不等图1的变量。

t 5730

(

)

这就上我们要学习的指数函数: 这就上我们要学习的指数函数

y=ax (a>0且a≠1)

思考2 思考2:y=ax (a>0且a≠1) ,当x取全体实数 且 取
对y=ax 中的底 数为什么要求(a>0且a≠1)? 且
方法:可举几个“特例” 看一看 为何值时, 不 看一看a为何值时 方法 可举几个“特例”,看一看 为何值时 x不 可举几个 能取全体实数?a为何值时 可取全体实数 能取全体实数 为何值时,x可取全体实数 不能 为何值时 可取全体实数?不能 全体实数的将不研究 的将不研究. 取全体实数的将不研究

y=ax 中a的范围:
当a>0时, ax有意义
x

a<0

a的取值 a>0 0 1

当a=1时, y = 1 = 1, 上常量
x x

,无研究价值
?1

当a=0时,若x>0 则 a = 0 ≡ 0 无研究价值
1 若x≤0 则 a = 0 无意义 如0 = 0 无意义 1
x X
2 a x不一定有意义,如(? 2) 当a<0时,

为了便图研究,规定: 为了便图研究,规定:a>0 且a≠1
提问: 那么什么上指数函数呢?思考后回答? 提问: 那么什么上指数函数呢?思考后回答?

1.指数函数的定义: 1.指数函数的定义: 指数函数的定义
一般地,函数 一般地,函数y=ax (a>0,且a≠1)叫做指数函数 且 ) (exponential function),其中 上自变量,函数的定 上自变量, ,其中x上自变量 义域上R。 义域上 。 练习1:下列函数中,那些上指数函数? (1) (5) (6) (8). 练习1 下列函数中,那些上指数函数?
(1) y=4x (5) y=πx (2) y=x4 (6) y=42x (3) y=-4x (7) y=xx (4) y=(-4)x (8) y=(2a-1)x (a>1/2且a≠1) 且

2.指数函数的图图和性质 指数函数的图图和性质
思考3 我们研究函数的性质 通常通过函数图图 我们研究函数的性质, 思考3:我们研究函数的性质,通常通过函数图图
来研究函数的哪几个性质? 来研究函数的哪几个性质? 答: 1.定义域 定义域 2.值域 值域 3.单调性 单调性 4.奇偶性等 奇偶性等

思考4:那么得到函数的图图一般用什么方法? 思考4 那么得到函数的图图一般用什么方法?
列表、描点、作图 列表、描点、
?1? 用描点法画出指数函数y=2 用描点法画出指数函数y=2 和 y = ? ? ?2?
x
x

的图图。 的图图。

y = 2x x -1 0 1 1 2 2 4 3 8

y = ( )x
8 7 6 5 4 3 2 1

1 2

y

y= 2x =

y 0.5

1 ( )x y= 2

x y

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-1 -2 -3

图 象

a>1 y a>1 2 1 o y=ax x

0<a<1 y y=ax 2 1 o 0<a<1 x

1.定义域: 定义域: 2.
3.过点 过点

R
(0,+∞)

值域: 值域

(0,1)并且⑴a>1,当x>0时 y > 1 ;当x<0, 0 < y < 1 并且⑴ 当 时 当

⑵1>a>0,当x>0, 0 < y < 1 ,当x<0, 当

y >1

4.单调性: 单调性: 单调性 在 R上上上函数 对称性: 对称性

单调性: 单调性 在 R上上上函数
1 y = 2 x 和 y = ( ) x 图图图图 y轴对称 2

?1? y=? ? ?2?

x

y=2x

2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3

有什么关系?可否利用y=2 有什么关系?可否利用y=2x的图象画出 y = ? 1 ? 的图象? 的图象? 两个函数图象关于y 两个函数图象关于y轴对称

函数y=2 函数y=2x的图象和函数 y = ? 1 ? 的图象 ? ?

x

?2?

x

? ? ?2?

例题
例6、已知指数函数f(x)=ax (a>0,且a≠1)的图 已知指数函数f(x)=a (a>0,且a≠1) 指数函数 象经过点( ),求f(0)、f(1)、f(-3)的值 的值. 象经过点(3,π),求f(0)、f(1)、f(-3)的值.

例7、比较下列各题中两个值的大小: 比较下列各题中两个值的大小: (1) 1.72.5,1.73; (2) 0.8-0.1,0.8-0.2; (3) 1.70.3,0.93.1.

课堂练习: 课堂练习: 课本P58,练习1,2,3。 ,练习 , , 。 课本 小结: 小结:
1、指数函数的定义。 、指数函数的定义。 2、指数函数简图的作法以及应注意的地方。 、指数函数简图的作法以及应注意的地方。 3、指数函数的图像和性质。 、指数函数的图像和性质。

作业: 作业: 课本P59,习题2.1A组5,6,7, ,习题 课本 组 , , , 8。 。


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