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湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期末考试(理)数学试题


高二数学(理) 一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有项 是符合题目要求的). 1.已知复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 z ? ( A. ?3 ? 4i B. ?3 ? 4i C. 3 ? 4i )

D. 3 ? 4i ) D.既不充分也不必要条件

2.

在 ?ABC 中, “ sin A ?

? 3 ”是“ A ? ”的( 3 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

4.双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 12 4
C.2 D. 2 3



A.1

B. 3

5.已知三向量 a ? (2, ?1,3), b ? (?1, 4, ?2), c ? (3, 2, ?) 共面,则实数 ? 等于( A.2 B.3 C.4 D.5 )

?

?

?



6.曲线 y ? x3 ? 2x 在点 (1, ?1) 处的切线倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.135°

7.6 把椅子摆成一排,3 人就座,三人全相邻的坐法种数为( A.18 B.24 C.48 D.72



8.若函数 f ( x), g ( x) 满足

?1

? f ( x) g ( x)dx ? 0 ,则称 f ( x), g ( x) 为区间 ??1,1? 上的一组正交函数,给出三组

1

2 函数:① f ( x) ? sin x, g ( x) ? cos x ;② f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1 ;③ f ( x) ? x, g ( x) ? x 其中为区间

??1,1? 的正交函数的组数是(
A.0 B.1 C.2 D.3



9.如图,四个完全相同的长方体排成一个直四棱柱:每个长方体底面为边长 1 的正方形,侧棱 AB 长为 2,

??? ? ??? ? 是上底面上其余的八个点,则 P ( i ? 1, 2 ? ) AB ? AP ) 的不同值的个数为( i (i ? 1, 2? i


1

A.1

B.2

C.4 D.8

10.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆面积为 ? ,设 A、B 两 36 27


点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? y1 的值为(

A.

5 3

B.

10 3

C.

5 3

D.4

11.可导函数 f ( x) ( x ? R) 满足 f ?( x) ? f ( x) ,则当 a ? 0 时, f ( a ) 和 ea f (0) 大小关系为( A. f (a) ? e f (0)
a



B. f (a) ? e f (0)
a

C. f (a) ? e f (0)
a

D. f (a) ? e f (0)
a

12.设 a ? 0, b ? 0 ,下列命题一定正确的是( A.若 3 ? 2a ? 3 ? 3b ,则 a ? b
a b



a b B.若 3 ? 2a ? 3 ? 3b ,则 a ? b a b D.若 3 ? 2a ? 3 ? 3b ,则 a ? b

C.若 3 ? 2a ? 3 ? 3b ,则 a ? b
a b

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) ,若点 M 到该抛物线焦点 的距离为 4,则 OM ? ________. 14.类比平面几何中的定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB, AC 互相垂直,则三角形三边长之间满足

AB2 ? AC 2 ? BC 2 .若三棱锥 P ? ABC 的三个侧面 PBC, PAC, PAB 两两垂直,则三棱锥的侧面积与底
面积之间满足的关系为__________. 15.如果 定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不等的实数 x1 , x2 都有
3 ,给出函数:① y ? x ? 1 ;② x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称函数 f ( x) 为“ Z 函数”

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ?ln x , x ? 0 1 x y ? ( ) ;③ y ? ? ;④ y ? ? 2 ,以上函数为“ Z 函数”序号为________. 2 0, x ? 0 ? x ? x , x ? 0 ? ?

2

16.设函数 f ( x) ? ax2 ? e x (a ? R) 有且仅有一个极值点,则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题 :(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题 10 分) 已知 ( x ?

3 n 第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为 8 : 3 . ) 二项展开式中, x
3

(1)求 n 的值; (2)求展开式中 x 项的系数. 18.(本小题 10 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax( x ?1)2 ( x ? R) 有极大值 4. (1)求实数 a 的值; (2)求 函数 f ( x ) 的单调区间. 19.(本小题满分 12 分)如图,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,侧棱 A 1 A ? 底面 ABCD ,

AB / / DC, AB ? AD, AD ? CD ? 1, AA1 ? AB ? 2 , E 为棱 AA1 的中点.

(1)证明 B1C1 ? CE ; (2)求二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值. 20.(本小题满分 12 分)衡阳市八中为了落实“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的 空地上修建一个占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场地,如图,点 M 在 AC 上,点 N 在 AB 上,且 P 点 在斜边 BC 上,已知 ?ACB ? 45 且 AC ? 30 米, AM ? x 米, x ??10,20? .
0

(1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)若在矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪. 已知:矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为

37 k 12k ,草坪的每平方米的造价为 ( k 为正常数) ,设 S S

总造价 T 关于 S 的函数为 T ? f (S ) ,试问:如何选 取 AM 的长,才能使总造价 T 最低.

3

21.(本小题满分 13 分)已知点 M ( x, y ) 是平面直角坐标系上的一个动点,点 M 到直线 x ? ?4 的距离等 于点 M 到点 D(?1, 0) 的距离的 2 倍,记动点 M 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)斜率为

1 的 2

直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点, 若直线 l 不过点 P (1, ) , 设直线 PA、PB 的斜率分别为 kPA、kPB , 求 kPA + kPB 的数值; (3)试问:是否存在一个定圆 N ,与以动点 M 为圆心,以 MD 为半径的圆相内 切?若存在,求出这个定圆的方程;若不存在,说明理由. 22.(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? xf ?( x) x ? 0 其中 f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数. (1)令 g1 ( x) ? g ( x), gn?1 ( x) ? g ( gn ( x)) n ? N * ,求 gn ( x) 的表达式并用数学归纳法证明; (2)若 f ( x) ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n ? N ,比较 g (1) ? g (2) ? ? ? g (n) 与 n ? f (n) 的大小,并加以证明.
*

3 2

参考答案 一选择题

4

题号 答案

1 C

2 A

3 C

4 C

5 C

6 B

7 B

8 C

9 A

10 D

11 A

12 B

二、填空题 13. 2 5 , ① ④ 14. S
2 ? ABC

? S 2? PBC ? S 2? PAC ? S 2? PAB
? e? ? 2?

15.

16. (0. ? ?) ? ?? ?

三、解答题
3 2 17. (1)由 Cn : Cn ? 8: 3 ,解得:n=10;

(2) Tk ?1 ? C10 ( x )
k

10 ? k

(?

3 k k 5? k ) ? (?3) k C10 x ,当 k=2 时, x3 项的系数为 405。 x

18. (1)a=27;

1, +?)增 (2) (??, )增(
19. 【解析】(方法一)

1 3

( , 1)减 ;

1 3

如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1), B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? (1) 易得 B1C1 ? (1,0, ?1), CE ? ( ?1,1, ?1) ,于是 B1C1 ? CE ? 0 ,所以 B1C1 ? CE .
?????? ? ???? ? ?? ? ? m?B1C ? 0, ? x ? 2 y ? z ? 0, (2) B1C ? (1, ?2, ?1), 设平面 B1CE 的法向量 m ? ( x, y, z ), 则 ??? ??? 即? 消去 x,得 ? ? ?m ? CE ? 0, ?? x ? y ? z ? 0,
?? y ? 2 z ? 0 ,不妨设 z ? 1 ,可得一个法向量为 m ? (?3, ?2,1).

???? ? 由(1)知 B1C1 ? CE ,又 CC1⊥B1C1,可得 B1C1 ? 平面CEC1 ,故 B1C1 ? (1,0, ?1) 平面 CEC1 的一个法向量.

?? ????? ?? ????? ?? ????? 21 m ? B1C1 ?4 2 7 . 于是 cos m, B1C1 ? ?? ????? ? ?? , 所以 sin m, B1C1 ? 7 7 14 ? 2 m ? B1C1

5

因此二面角 B1-CE-C1 的正弦值为

21 . 7

20. 解: (1)在 Rt ?PMC 中,显然 | MC |? 30 ? x , ? PCM

45° ,

tan PCM = 30 - x , ? | PM |=| MC | 仔
矩形 AMPN 的面积

????2 分

S =| PM | ? | MC | x(30 - x) , x ?[10, 20]
于是 200 #S

???4 分 ??????6 分

225 为所求.

由总造价 T ? T1 ? T2 ,? T = 25k ( S +

216 S

) , 200 #S

225 .?10 分

? S+

216 S

? 12 6 ,??????????????????11 分 216 S

当且仅当 S =

即 S = 216 时等号成立,?????????12 分

此时 x(30 - x) = 216 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 , 所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低.????????14 分 21. (1) x ? 4 ? 2 ( x ? 1) ? y
2 2

化简即得。(1)

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

1 x ? m(注意 m ? 1 , 知道为什么吗?) , 与曲线方程联立方程组, 并消去 y 得. 2 1 3 (2)∵直线 l 的斜率为 ,且不过 P (1, ) 点, 2 2 1 ∴可设直线 l : y ? x ? m (且 m ? 1 ) . 2
方法是设直线 l 方程为 y ?

? x2 y 2 ? ?1 ? ?4 3 2 2 联立方程组 ? 得 x ? mx ? m ? 3 ? 0 . ?y ? 1 x ? m ? ? 2
又交点为 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,

6

x1 ? x2 ? ? m ? ? x1 x2 ? m 2 ? 3 . ∴? ? ? ? 0 ? ?2 ? m ? 2 ?
∴ k PA ? k PB

3 3 y2 ? 2? 2 ? x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 2m ? 3 ? 0 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 y1 ?

(3)答:一定存在满足题意的定圆 N , 理由 :∵动圆 M 与定圆 N 相内切, ∴两圆的圆心之间距离 MN 与其中一个圆的半径之和或差必为定值. 又 D(1, 0) 恰好的是曲线(椭圆) C 的右焦点,且 M 是曲线 C 上的动点, 记曲线 C 的右焦点为 F (1, 0) , 联想椭圆轨迹定义, MF ? MD ? 4 . ∴若定圆的圆心 N 与点 F 重合,定圆的半径为 4 时,则定圆 N 满足题意.

?定圆N的方程为(x-1)2 +y2 =16
22. 【解题指南】 (1)根据已知求得 g1(x),g2(x),g3(x),?,猜想 gn(x)的表达式并用数学归纳法证明.(2) 利用已知变形确立新函数,对新函数求导后,对参数分类确定函数单调性解决恒成立问题,从而求得实数 a 的取值范围.(3)利用特值法确定 g(1)+g(2)+?+g(n)与 n-f(n)的大小,用数学归纳法证明. 【解析】由题设得,g(x)= (1)由已知,g1 (x)= g3(x)= (x≥0). = ,

,g2(x)=g(g1(x))= .

,?,可得 gn(x)=

下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,g1(x)= ,结论成立. .

②假设 n=k 时结论成立,即 gk(x)= 那么,当 n=k+1 时, gk+1(x)=g(gk(x))= = =

,

即结论成立. 由①②可知,结论对 n∈N+成立.

7

(2)已知 f(x)≥ag(x)恒成立,即 ln(1+x)≥ 设φ (x)=ln(1+x)(x≥0),

恒成立.

则φ '(x)=

-

=

,

当 a≤1 时,φ '(x)≥0)(当且仅当 x=0,a=1 时等号成立), 所以φ (x)在有φ '(x)<0,所以φ (x)在(0,a-1]上单调递减, 所以φ (a-1)<φ (0)=0. 即 a>1 时,存在 x>0,使φ (x)<0,故知 ln(1+x)≥ 综上可知,a 的取值范围是(-∞,1]. (3)由题设得 g(1)+g(2)+?+g(n)= + +?+ n-f(n)=n-ln(n+1), 比较结果为 g(1)+g(2)+?+g(n)>n-ln(n+1). 证明如下: 上述不等式等价于 + +?+ 在(2)中取 a=1,可得 ln(1+x)> 令 x= ,n∈N+,则 <ln . <ln(n+1), ,x>0. , 不恒成立,

下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, <ln2,结论成立. ②假设 n=k 时结论成立, 即 + +?+ <ln(k+1).

那么,当 n=k+1 时, + +?+ + <ln(k+1)+ =ln(k+2),三

<ln(k+1)+ln 即结论成立.

由①②可知,结论对 n∈N+成立

8


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