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2015年5月北京市西城区高三文科二模数学试题及答案


北京市西城区 2015 年高三二模试卷



学(文科)
共 40 分)

2015.5

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x | x ? 1 ?

0} ,集合 B ? {x | x≤3} ,则 A (A) (?1,3) (B) (1,3]

B?(

) (D) [?1,3]

(C) [1,3)

2. 已知平面向量 a, b, c 满足 a ? (?1,1) ,b ? (2,3) ,c ? (?2, k ) , 若 (a ? b)//c , 则实数 k =( (A) 4 (C) 8 (B) ?4 (D) ?8



3. 设命题 p :函数 f ( x) ? e x?1 在 R 上为增函数;命题 q :函数 f ( x) ? cos 2 x 为奇函数. 则 下列命题中真命题是( (A) p ? q (C) (?p) ? (?q) ) (B) (?p ) ? q (D) p ? (?q )

4.执行如图所示的程序框图,若输入的 n ?{1, 2,3} , 则输出的 s 属于( (A) {1, 2} (B) {1, 3} (C) {2, 3} (D) {1, 3, 9} )

第 1页

共 13 页

5. 一个几何体的三视图中,正(主)视图和 侧(左)视图如图所示,则俯视图可以为(



(A)

(B)

(C)

(D)

6. 某生产厂商更新设备,已知在未来 x 年内,此设备所花费的各种费用总和 y(万元)与 x 满足函数关系 y ? 4 x 2 ? 64 ,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限 x 为( (A) 3 (C) 5 ) (B) 4 (D) 6

7. “ m ? 3 ”是“曲线 mx2 ? (m ? 2) y 2 ? 1为双曲线”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件



(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

8. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中,AB =

点 P 为对角线 AC1 上的动点, 2, BC = AA1 = 1 , )

点 Q 为底面 ABCD 上的动点(点 P , Q 可以重合) ,则 B1P + PQ 的最小值为(

(A) 2 (C)

(B) 3 (D) 2

3 2

第 2页

共 13 页

第Ⅱ卷(非选择题
10i ? ____. 3?i

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数

10. 抛物线 C:y 2 ? 4 x 的准线 l 的方程是____;以 C 的焦点为圆心,且与直线 l 相切的圆的 方程是____.

?1 x ? 1, ? , 11.设函数 f ( x) ? ? x 则 f [ f (2)] ? ____;函数 f ( x) 的值域是____. ? ?? x ? 2, x≤1.
12.在 ?ABC 中, 角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c , 若 a ? 7 , b ? 3 , c ? 2 , 则 A ? ____; ?ABC 的面积为____.

? y≥x, 5 ? 13. 若 x, y 满足 ? y≤2 x, 若 z ? x ? my 的最大值为 ,则实数 m ? ____. 3 ? x ? y≤1, ?
14. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2, O 为 AD 的中点,射线 OP 从 OA 出发,绕着点 O 顺时 针方向旋转至 OD ,在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x( x ?[0, π]) , OP 所经过的在正方形
ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x) 有以下三个结论:

1 ○ 2 ○ 3 ○

π 3; f( )? 3 2
π 函数 f ( x) 在区间 ( , π ) 上为减函数; 2

π 任意 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? f ( π ? x) ? 4 . 2

其中所有正确结论的序号是____.

第 3页

共 13 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

cos 2x(sin x ? cos x) cos x ? sin x

.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调增区间. 16. (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , an?1 ? 1 ? Sn (n ? N* ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; ( Ⅱ ) 若 数 列 {bn } 为 等 差 数 列 , 且 b1 ? a1 , 公 差 为
1 ? b1 ? b2 ? ? bn 的大小.
a2 . 当 n≥3 时 , 比 较 bn ?1 与 a1

17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, AE ? DE , CD ? 平面 ADE ,

AB ? 平面 ADE ,

CD ? DA ? 6 , AB ? 2 , DE ? 3 .
(Ⅰ)求 棱 锥 C ? A D E 的体积; (Ⅱ)求 证 : 平面 ACE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)在线段 DE 上是否存在一点 F ,使 AF // 平面 BCE ?若存在,求出 存在,说明理由.

EF ED

的值;若不

第 4页

共 13 页

18. (本小题满分 13 分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量(单位:台) ,并根据这 10 个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场, 在同型号电视机的销售中, 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场” . (Ⅰ)求在这 10 个卖场中,甲型号电视机的“星级卖场”的个数; (Ⅱ)若在这 10 个卖场中,乙型号电视机销售量的平均数为 26.7,求 a>b 的概率; (Ⅲ )若 a=1,记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ,根据茎叶图推断 b 为何值时, s 2 达 到最小值. (只需写出结论) (注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? n

? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn

的平均数)

19. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别为椭圆 E:

x2 y 2 + ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 A 为椭圆 E 的左顶 a 2 b2

点,点 B 为椭圆 E 的上顶点,且 | AB |? 2 . (Ⅰ)若椭圆 E 的离心率为
6 3

,求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ) 设 P 为椭圆 E 上一点, 且在第一象限内, 直线 F2 P 与 y 轴相交于点 Q . 若以 PQ 为 直径的圆经过点 F1 ,证明:点 P 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上.

第 5页

共 13 页

20. (本小题满分 13 分) 1? x 已知函数 f ( x ) ? ,其中 a ? R . 1 ? ax 2 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
4 1

(Ⅱ)当 a ? 0 时,证明:存在实数 m ? 0 ,使得对任意的 x ,都有 ?m ≤ f ( x) ≤ m 成立; (Ⅲ)当 a ? 2 时,是否存在实数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? a) 仅有负实数解? 当 a ? ? 时的情形又如何?(只需写出结论)
2 1

第 6页

共 13 页

北京市西城区 2015 年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.C 2.D 6.B 3.D 7.A 4.A 8.C

2015.5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 1 ? 3i 11. ? 13.2
5 2
[?3, ??)

10. x ? ?1 12.

( x ? 1)2 ? y 2 ? 4

π 3

3 3 2

14.○ 1 ○ 3

注:第 10,11 题第一问 2 分,第二问 3 分. 第 14 题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,得 cos x ? sin x ? 0 , 分 即 tan x ? 1 , 分 解得 x ? kπ ? 分 ?????? 2 ?????? 1

π , 4

?????? 4

π 所以函数 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? kπ ? , k ? Z} . 4
分 (Ⅱ)解: f ( x) ?

?????? 5

cos 2x(sin x ? cos x) cos x ? sin x

?


(cos 2 x ? sin 2 x)(sin x ? cos x) cos x ? sin x

?????? 7

? (cos x ? sin x)(sin x ? cos x)

? sin 2 x ? 1 ,
第 7页 共 13 页

?????? 9



π π ? 2kπ≤2x≤ ? 2kπ , 2 2 π π 得 ? ? kπ≤x≤ ? kπ , 4 4
由 ? 分 又因为 x ? kπ ?

?????? 11

π , 4 π π π π ? kπ, ? kπ) , k ? Z . (或写成 [? ? kπ, ? kπ) ) 4 4 4 4
?????? 13

所以函数 f ( x ) 的单增区间是 (?



16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为 an ?1 ? 1 ? Sn , 所以当 n≥2 时, an ? 1 ? Sn ?1 , 1 ○ 2 ○

由 ○ 1 ○ 2 两式相减,得 an?1 ? an ? an , 即 an ?1 ? 2an (n≥2) , 分 因为当 n ? 1 时, a2 ? 1 ? a1 ? 2 , 所以 分 所以 分 所以数列 {an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 所以 an ? 2n?1 . 分 (Ⅱ)解:因为 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , 分
第 8页 共 13 页

??????3

a2 ?2, a1

??????4

an ?1 ? 2 ( n ? N* ) . an

??????5

??????7

??????9

所以 bn ?1 ? 2n ? 1 , 1 ? b1 ? b2 ? 分

? bn ? 1 ?

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 ? 1 , 2

?????? 11

因为 (n2 ? 1) ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) , 分 由 n≥3 ,得 n(n ? 2) ? 0 , 所以当 n≥3 时, bn?1 ? 1 ? b1 ? b2 ? 分
? bn .

??????12

?????? 13

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:在 RtΔADE 中, AE ? 分 因 为 CD ? 平 面 ADE, 所以棱锥 C ? ADE 的 体 积 为 VC ? ADE ?

AD2 ? DE 2 ? 3 3 .

??????1

1 3

SΔADE ? CD ?

1 AE ? DE ? ? CD ? 9 3 . 3 2
??????4

分 (Ⅱ)证明:因为 CD ? 平 面 ADE, AE ? 平 面 ADE, 所以 CD ? AE . 分 又因为 AE ? DE , CD 所 以 AE ? 平 面 C D E. 分 又因为 AE ? 平面 ACE , 所以平面 ACE ? 平面 CDE . 分 (Ⅲ)结论:在线段 DE 上存在一点 F ,且 分 解:设 F 为线段 DE 上一点, 且 ???????8 ??????5

DE ? D ,
??????7

EF ED 1 3

?

1 3

,使 AF // 平面 BCE .???????9

EF ED

?



??????10

第 9页

共 13 页



1 过点 F 作 FM //CD 交 CE 于 M ,则 FM = CD . 3
因为 CD ? 平 面 ADE, AB ? 平 面 ADE, 所以 CD //AB . 又 因 为 C D? 3 A B 所以 MF ? AB , FM //AB , 所以四边形 ABMF 是平行四边形, 则 AF //BM . 分 又因为 AF ? 平面 BCE , BM ? 平面 BCE , 所 以 AF // 平面 BCE . 分 ??????14 B M A D F EF ??????12 C

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:根据茎叶图, 得甲组数据的平均数为 分 由茎叶图,知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为 5 . 分 (Ⅱ)解:记事件 A 为“a>b” , 分 因为乙组数据的平均数为 26.7, 所以 ??????5 ??????4

10 ? 10 ? 14 ? 18 ? 22 ? 25 ? 27 ? 30 ? 41 ? 43 ? 24 , 10

??? 2

10 ? 18 ? 20 ? 22 ? 23 ? 31 ? 32 ? (30 ? a) ? (30 ? b) ? 43 ? 26.7 , 10
??????7

解得 a ? b ? 8 . 分

所以 a 和 b 取值共有 9 种情况,它们是:(0,8) ,(1,7) ,(2, 6) ,(3,5) ,(4, 4) ,(5,3) ,
( 6 , 2, ) (7,1) , (8,0) ,

??????8


第 10 页 共 13 页

其中 a>b 有 4 种情况,它们是: (5,3) , (6, 2) , (7,1) , (8,0) , 所以 a>b 的概率 P( A) ? 分 (Ⅲ)解:当 b=0 时, s 2 达到最小值. 分

??????9 分 ??????10

4 . 9

??????13

19.(本小题满分 14 分)
(Ⅰ)解:设 c ? a2 ? b2 , 由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,且 分 解得 a ? 3 , b ? 1 , c ? 2 . 分 所以椭圆 E 的方程为 分 (Ⅱ)解:由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,所以椭圆 E 的方程为 ??????4
c 6 ? , a 3

??????2

x2 ? y2 ? 1 . 3
x2 y2 ? ?1, 2 a 4 ? a2

??????5

则 F1 (?c,0) , F2 (c, 0) , c ? a2 ? b2 ? 2a2 ? 4 . 设 P( x0 , y0 ) , 由题意,知 x0 ? c ,则直线 F1 P 的斜率 k F P ? 1 分 直线 F2 P 的斜率 k F2 P ?

y0 , x0 ? c

?????? 6

y0 , x0 ? c
y0 ( x ? c) , x0 ? c

所以直线 F2 P 的方程为 y ?

当 x ? 0 时, y ?

? y0c ,即点 Q(0, ? y0c ) , x0 ? c x0 ? c

第 11 页

共 13 页

所以直线 F1Q 的斜率为 k F Q ? 1 分

y0 , c ? x0

??????8

因为以 PQ 为直径的圆经过点 F1 , 所以 PF1 ? FQ 1 . 所以 kF1P ? kF1Q ? 分
2 2 化简,得 y0 ? x0 ? (2a2 ? 4) ,

y0 y ? 0 ? ?1 , x0 ? c c ? x0

??????10

1 ○

又因为 P 为椭 圆 E 上一点,且在第一象限内, 所以
2 2 x0 y0 ? ? 1 , x0 ? 0 , y0 ? 0 , a2 4 ? a2

2 ○

1 ○ 2 ,解得 x0 ? 由○ 分 所以 x0 ? y0 ? 2 ,

1 2 a2 , y0 ? 2 ? a , 2 2

??????12

即点 P 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上. 分

?????? 14

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 a ? ?

1 4

时,函数 f ( x) ?

1? x , 1 2 1? x 4
??????2

求导,得 f ?( x) ?

? x 2 ? 2 x ? 4 ?( x ? 1) 2 ? 3 ? , 1 2 2 1 4(1 ? x ) 4(1 ? x 2 ) 2 4 4

分 因为 f (1) ? 0 , f ?(1) ? ? 分
第 12 页 共 13 页

4 , 3

??????3

所以函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . ??????4 分 (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x ) ? 求导,得 f ?( x) ? 分 令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x1 ? 1 ? 1 ? 分 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:

1? x 的定义域为 R . 1 ? ax 2
, ??????5

ax 2 ? 2ax ? 1 (1 ? ax 2 ) 2

1 a

? 0 , x2 ? 1 ? 1 ?

1 a

?1,

?????? 6

x
f ?( x ) f ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0

( x1 , x2 )

x2
0

( x2 , ??)
+ ↗ ?????? 8

?


分 所以函数 f ( x ) 在 (??, x1 ) , ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减. 又因为 f (1) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x ) ?

1? x 1 ? ax
2

? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x ) ?

1? x 1 ? ax 2

?0,

所以当 x≤1 时, 0≤f ( x)≤f ( x1 ) ;当 x ? 1 时, f ( x2 )≤f ( x) ? 0 . 记 M ? max{ | f ( x1 ) |, | f ( x2 ) | } ,其中 max{ | f ( x1 ) |, | f ( x2 ) | } 为两数 | f ( x1 ) | ,

| f ( x2 ) 中最大的数, |
综上, 当 a ? 0 时, 存在实数 m ? [ M , ??) , 使得对任意的实数 x , 不等式 ?m≤f ( x)≤m 恒成立. 分 (Ⅲ)解:当 a ? ? 有负实数解.
第 13 页 共 13 页

??????10

1 2

与 a ? 2 时,不存在实数 k ,使得关于实数 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? a) 仅


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