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创新设计高中数学必修一1.1.3 第2课时


第 2 课时
[学习目标]

补集及集合运算的综合应用

1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念,能正确运用补集的符号和表示

形式, 会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集, 并能解 答简单的应用题.

知识点一 全集 (1)定义:如果一个集合含有我们

所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集. (2)记法:全集通常记作 U. 思考 全集一定是实数集 R 吗? 答 全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化,如在实数范围内解不等式,全集为实 数集 R,而在整数范围内解不等式,则全集为整数集 Z. 知识点二 补集 文字语言 符号语言 图形语言 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作?UA ?UA={x|x∈U,且 x?A}

思考 设集合 A={1,2},那么相对于集合 M={0,1,2,3}和 N={1,2,3},?MA 和?NA 相等吗? 由此说说你对全集与补集的认识. 答 ?MA={0,3},?NA={3},?MA≠?NA. 由此可见补集是一个相对的概念, 研究补集必须在全集的条件下研究, 而全集因研究问题不 同而异,同一个集合相对于不同的全集,其补集也就不同. 知识点三 补集的性质 ①A∪(?UA)=U; ②A∩(?UA)=?; ③?UU=?,?U?=U,?U(?UA)=A; ④(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B); ⑤(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B).

题型一 简单的补集运算 例1 (1)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},则?UA 等于( B.{3,4,5} D.? )

A.{1,2} C.{1,2,3,4,5}

(2)若全集 U=R,集合 A={x|x≥1},则?UA=________. 答案 (1)B (2){x|x<1} 解析 (1)∵U={1,2,3,4,5},A={1,2}, ∴?UA={3,4,5}. (2)由补集的定义,结合数轴可得?UA={x|x<1}. 反思与感悟 1.根据补集定义,当集合中元素离散时,可借助 Venn 图;当集合中元素连续 时,可借助数轴,利用数轴分析法求解. 2.解题时要注意使用补集的几个性质:?UU=?,?U?=U,A∪(?UA)=U. 跟踪训练 1 已知全集 U={x|x≥-3},集合 A={x|-3<x≤4},则?UA=________. 答案 {x|x=-3,或 x>4} 解析 借助数轴得?UA={x|x=-3,或 x>4}. 题型二 补集的应用 例 2 设全集 U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},求实数 a 的值. 解 ∵?UA={5},∴5∈U,且 5?A. ∴a2+2a-3=5,解得 a=2,或 a=-4. 当 a=2 时,|2a-1|=3≠5,此时 A={3,2},U={2,3,5}符合题意. 当 a=-4 时,|2a-1|=9,此时 A={9,2},U={2,3,5},A?U,故 a=-4 舍去. 综上知 a=2. 反思与感悟 1.由?UA={5}可知 5∈U 且 5?A,A?U. 2.由?UA={5}求得 a 后需验证是否符合隐含条件 A?U, 否则会把 a=-4 误认为是本题的答 案. 3.解决此类问题的关键在于合理运用补集的性质,必要时对参数进行分类讨论,同时应注意 检验. 跟踪训练 2 若全集 U={2,4,a2-a+1},A={a+4,4},?UA={7},则实数 a=________. 答案 -2 解析 因为?UA={7},所以 7∈U 且 7?A,所以 a2-a+1=7,解得 a=-2 或 a=3. 当 a=3 时,A={4,7}与 7?A 矛盾,a=-2 满足题意,所以 a=-2. 题型三 并集、交集、补集的综合运算 例 3 已知全集 U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求?UA,?UB, (?UA)∩(?UB).

解 将集合 U,A,B 分别表示在数轴上,如图所示,

则?UA={x|-1≤x≤3}; ?UB={x|-5≤x<-1,或 1≤x≤3}; 方法一 (?UA)∩(?UB)={x|1≤x≤3}. 方法二 ∵A∪B={x|-5≤x<1}, ∴(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={x|1≤x≤3}. 反思与感悟 求解不等式表示的数集间的运算时, 一般要借助于数轴求解, 此方法的特点是 简单直观,同时要注意各个端点的画法及取到与否. 跟踪训练 3 设全集为 R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?R(A∪B)及(?RA)∩B. 解 把全集 R 和集合 A、B 在数轴上表示如下:

由图知,A∪B={x|2<x<10}, ∴?R(A∪B)={x|x≤2,或 x≥10}. ∵?RA={x|x<3,或 x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3,或 7≤x<10}. 题型四 利用 Venn 图解题 例 4 设全集 U={不大于 20 的质数},A∩?UB={3,5},(?UA)∩B={7,11},(?UA)∩(?UB)= {2,17},求集合 A,B. 解 U={2,3,5,7,11,13,17,19}, A∩(?UB)={3,5},∴3∈A,5∈A,且 3?B,5?B, 又(?UA)∩B={7,11}, ∴7∈B,11∈B 且 7?A,11?A. ∵(?UA)∩(?UB)={2,17}, ∴?U(A∪B)={2,17}. ∴A={3,5,13,19},B={7,11,13,19}. 反思与感悟 解决此类问题的关键是利用 Venn 图确定哪些元素在 A 中,哪些元素在 B 中, 哪些元素在 A∩B 中,哪些元素既不在 A 中也不在 B 中. 跟踪训练 4 全集 U={x|x<10, x∈N*}, A?U, B?U, (?UB)∩A={1,9}, A∩B={3}, (?UA)∩(?
UB)={4,6,7},求集合

A,B.

解 方法一 根据题意作出 Venn 图如图所示.

由图可知 A={1,3,9},B={2,3,5,8}. 方法二 ∵(?UB)∩A={1,9}, (?UA)∩(?UB)={4,6,7}, ∴?UB={1,4,6,7,9}. 又∵U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},∴B={2,3,5,8}. ∵(?UB)∩A={1,9},A∩B={3},∴A={1,3,9}.

补集思想的应用 例 5 已知集合 A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若三个 集合至少有一个集合不是空集,求实数 a 的取值范围. 解 假设三个方程均无实根,则有 Δ1=a -4<0, ? ? ?Δ2=4+4a<0, ? ?Δ3=4a2-8<0, 解得- 2<a<-1, ∴当 a≤- 2或 a≥-1 时,三个方程至少有一个方程有实根. 即 a 的取值范围为{a|a≤- 2或 a≥-1}. 反思与感悟 对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手 的数学问题,在解题时,调整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这时能化 难为易,化隐为显,从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略,也是处理问题的间 接化原则的体现. 跟踪训练 5 已知集合 A={x|x2-4ax+2a+6=0},B={x|x<0},若 A∩B≠?,求 a 的取值 范围. 解 因为 A∩B≠?,所以 A≠?, 即方程 x2-4ax+2a+6=0 有实数根, 所以 Δ=(-4a)2-4(2a+6)≥0, 即(a+1)(2a-3)≥0,
?a+1≥0, ?a+1≤0, ? ? 所以? 或? ? ? ?2a-3≥0 ?2a-3≤0,
2

?-2<a<2, ? 即?a<-1, ? ?- 2<a< 2.

3 解得 a≥ 或 a≤-1.① 2 又 B={x|x<0}, 所以方程 x2-4ax+2a+6=0 至少有一个负根. 若方程 x2-4ax+2a+6=0 有根,但没有负根, Δ≥0, ? ? 则需有?x1+x2=4a≥0, ? ?x1x2=2a+6≥0, 3 解得 a≥ . 2

3 所以方程至少有一负根时有 a< .② 2 由①②取公共部分得 a≤-1. 即当 A∩B≠?时,a 的取值范围为{a|a≤-1}.

1.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,2,4},则集合?UM 等于( A.{1,2,4} C.{2,5} 答案 D 2.已知全集 U=R,集合 A={x|1≤2x+1<9},则?UA 等于( A.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x≤0 或 x≥4} 答案 D 解析 因为 U=R,A={x|0≤x<4}, 所以?UA={x|x<0 或 x≥4}. B.{x|x≤0 或 x>4} D.{x|x<0 或 x≥4} ) B.{3,4,5} D.{3,5}

)

3.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={2,3,5,6},集合 B={1,3,4,6,7},则集合 A∩(?UB) 等于( A.{2,5} C.{2,5,6} 答案 A 解析 由题意知,?UB={2,5,8}, 则 A∩(?UB)={2,5},选 A. 4.已知全集 U=Z,集合 A={0,1},B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表 示的集合为( A.{-1,2} C.{0,1} 答案 A ) B.{-1,0} D.{1,2} ) B.{3,6} D.{2,3,5,6,8}

解析 图中阴影部分表示的集合为(?UA)∩B,因为 A={0,1}, B={-1,0,1,2}, 所以(?UA)∩B ={-1,2}. 5.已知全集 U={2,0,3-a2},P={2,a2-a-2},且?UP={-1},求实数 a 的值. 解 ∵?UP={-1},∴-1∈U,且-1?P,0∈P. 3-a =-1, ? ? 2 ∴?a -a-2≠-1, ? ?a2-a-2=0,
2

解得 a=2.

经检验,a=2 符合题意,故实数 a 的值为 2.

1.补集定义的理解 (1)补集是相对于全集而存在的, 研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如, 当研究数的运算性质时,我们常常将实数集 R 当做全集. (2)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算,还是一种数学思想. (3)从符号角度来看,若 x∈U,A?U,则 x∈A 和 x∈?UA 二者必居其一. 求两个集合的并集与交集时,先化简集合,若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集 的定义直观观察或用 Venn 图表示出集合运算的结果;若是用描述法表示的数集,可借助数 轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示. 2.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘 掉空集的情形. 3.不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集.

一、选择题 1.已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)等于( A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4} 答案 D 解析 ∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B={1,2,3}, ∴?U(A∪B)={4}. 2.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},则 A∩(?UB)等于( A.{4,5} C.{1,6} 答案 A 解析 ?UB={2,4,5,7},所以 A∩(?UB)={4,5}. B.{2,4,5,7} D.{3} ) )

故选 A. 3.设全集 U={a,b,c,d,e},集合 M={a,c,d},N={b,d,e},那么(?UM)∩(?UN)等 于( A.? C.{a,c} 答案 A 解析 ∵M∪N=U, ∴(?UM)∩(?UN)=?U(M∪N)=?. 4.已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围是( A.{a|a≤1} C.{a|a≥2} 答案 C 解析 由于 A∪(?RB)=R,则 B?A,可知 a≥2.故选 C. 5.设全集是实数集 R,M={x|-2≤x≤2},N={x|x<1},则(?RM)∩N 等于( A.{x|x<-2} C.{x|x<1} 答案 A 解析 由题意可知?RM={x|x<-2 或 x>2}, 故(?RM)∩N={x|x<-2}. 6.设全集 U 是实数集 R, M={x|x<-2, 或 x>2}, N={x|1≤x≤3}.如图所示, 则阴影部分所表示的集合为( A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤3} C.{x|x≤2,或 x>3} D.{x|-2≤x≤2} 答案 A 解析 阴影部分所表示的集合为?U(M∪N)=(?UM)∩(?UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<1 或 x>3} ={x|-2≤x<1}.故选 A. 二、填空题 7.已知全集 U={-1,0,1,2,3},集合 M={x|x 为不大于 3 的自然数},则?UM=_______. 答案 {-1} 解析 ∵M={0,1,2,3},∴?UM={-1}. 8.已知集合 A={x|-2≤x<3},B={x|x<-1},则 A∩(?RB)=_______. 答案 {x|-1≤x<3} ) B.{x|-2<x<1} D.{x|-2≤x<1} ) B.{a|a<1} D.{a|a>2} ) ) B.{d} D.{b,e}

解析 因为 B={x|x<-1},则?RB={x|x≥-1},所以 A∩(?RB)={x|-2≤x<3}∩{x|x≥-1} ={x|-1≤x<3}. 9.设 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(?UA)∩B={3,7},(?UB)∩A={2,8},(?UA)∩(?UB)={1,5,6},则 集合 A=________,B=________. 答案 {2,4,8,9} {3,4,7,9} 解析 (?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={1,5,6}, 所以 A∪B={2,3,4,7,8,9}, 又(?UA)∩B={3,7},(?UB)∩A={2,8},所以 A∩B={4,9},所以 A={2,4,8,9},B={3,4,7,9}. 10.已知集合 A={x|-4≤x≤-2},集合 B={x|x-a≥0},若全集 U=R,且 A??UB,则 a 的取值范围为________. 答案 {a|a>-2} 解析 ?UB={x|x<a},如图所示.

因为 A??UB,所以 a>-2. 三、解答题
?3x+2>0, ? 11.已知全集 U=R,A={x||3x-1|≤3},B={x|? },求?U(A∩B). ?x-2<0 ?

2 4 解 由|3x-1|≤3,则-3≤3x-1≤3,得- ≤x≤ . 3 3 2 4 所以 A={x|- ≤x≤ }. 3 3
?3x+2>0, ? 2 由? 得- <x<2. 3 ? x - 2<0 , ?

2 所以 B={x|- <x<2}, 3 2 4 A∩B={x|- <x≤ }, 3 3 2 4 所以?U(A∩B)={x|x≤- 或 x> }. 3 3 12.已知集合 A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}. (1)分别求?R(A∩B),(?RB)∪A; (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵A∩B={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}, ∴?R(A∩B)={x|x<3,或 x≥6}. ?RB={x|x≤2,或 x≥9},

又 A={x|3≤x<6}, ∴(?RB)∪A={x|x≤2,或 3≤x<6,或 x≥9}.
?a≥2, ? (2)∵C?B,∴? 解得 2≤a≤8. ?a+1≤9, ?

故实数 a 的取值范围为{a|2≤a≤8}. 13.已知 A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}. (1)当 m=1 时,求 A∪B; (2)若 B??RA,求实数 m 的取值范围. 解 (1)m=1,B={x|1≤x<4}, A∪B={x|-1<x<4}. (2)?RA={x|x≤-1,或 x>3}. 1 当 B=?时,即 m≥1+3m,得 m≤- ,满足 B??RA, 2 当 B≠?时,要使 B??RA 成立,
?m<1+3m, ?m<1+3m, ? ? 则? 或? 解得 m>3. ?1+3m≤-1 ?m>3, ? ?

综上可知,实数 m 的取值范围是 1? ? ?m|m>3,或m≤- ?. 2? ?


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