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2014届高考数学一轮复习名师首选练习题:第7章 第3节《空间点、直线、平面之间的位置关系》


第七章

第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题 1.已知三个命题:①若点 P 不在平面 α 内,A、B、C 三点都在平面 α 内, 则 P、A、

B、C 四点不在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的
四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是 A.0 C.2 B.1 D.3 ( )

2.如图,α ∩β =l,A、B∈α ,C∈β ,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A、B、C 三点的平 面记作 γ ,则 γ 与 β 的交线必通过 A.点 A C.点 C 但不过点 M B.点 B D.点 C 和点 M ( )
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3.如图,在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形,则在下列命题 中,错误的为 A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、CC1 的中点,则在空间中与三条直 线 A1D1、EF、CD 都相交的直线 A.不存在 C.有且只有三条 B.有且只有两条 D.有无数条 ( ) ( )

5.如图,M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列四个命题: ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都平行. 其中真命题是 A.②③④ C. ①②④ B.①③④ D.①②③ ( )

6.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 CBD,E 是 CD 的中点,则异面 直线 AE、BC 所成角的正切值为 ( )

A. 2 C.2 二、填空题

B.

2 2

1 D. 2

7.如图,G、H、M、N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH 与 MN 是异 面直线的图形有________.

8.下列命题中正确的是________. ①若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线分别交平面 α 于 P、Q、R,则 P、Q、

R 三点共线;
②若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点,则这四条直线共面; ③空间中不共面的五个点一 定能确定 10 个平面; ④若 a 不平行于平面 α ,且 a?α ,则 α 内的所有直线与 a 异面. 9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦 值 为________. 三、解答题 10.如图所示,已知 E、F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AA1 和棱

CC1 的中点.试判断四边形 EBFD1 的形状.

11.如图,已知:E、F、G、H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、BC、CC1、C1D1 的中 点,证明:FE、HG、DC 三线共点.

12.如图所示,O1 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的上底面 A1B1C1D1 的中心,M 是对角线 A1C 和 截面 B1D1A 的交点. 求证:O1、M、A 三点共线.

详解答案

一、选择题 1.解析:当 A、B、C 三点都在平面 α 内,且三点共线时,P、A、B、C 四点在同一个 平面内,故①错误;三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交,但三条直线不在同一平面内, 故②错误;两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形,故③错误. 答案:A 2. 解析:∵AB?γ ,M∈AB, ∴M∈γ . 又 α ∩β =l,M∈l, ∴M∈β . 根据公理 3 可知,M 在 γ 与 β 的交线上. 同理可知,点 C 也在 γ 与 β 的交线上. 答案:D 3. 解析: 依题意得 MN∥PQ,MN∥平面 ABC,又 MN?平面 ACD,且平面 ACD∩平面 ABC =AC,因此有 MN∥AC,AC∥平面 MNPQ.同理,BD∥PN.又截面 MNPQ 是正方形,因此有 AC⊥
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BD,直线 PM 与 BD 所成的角是 45°.
答案:C 4.解析:在 EF 上任取一点 M.直线 CD 与点 M 确定的平面与直线 A1D1 交于点 N,则直线

MN 与三条直线都相交,由点 M 的任意性可知这样的直线有无数条.

答案:D 5.解析:由于两相交直线可确定一个平面,设 l 过 M 点,与 AB、B1C1 均相交,则 l 与

AB 可确定平面 α ,l 与 B1C1 可确定平面 β ,又 AB 与 B1C1 为异面直线,
∴l 为平面 α 与平面 β 的交线,如图所示.

GE 即为 l,故①正确.
由于 DD1 过点 M,DD1⊥AB,DD1⊥B1C1,BB1 为 AB、B1C1 的公垂线,DD1∥BB1,故②正确. 显然④正确. 过 M 点有无数个平面与 AB、B1C1 都相交,故③错误. 答案:C 6.解析:如图

连接 OE,则 OE∥BC,∠AEO 就是异面直线 BC 与 AE 所成的角(或补角),设正方形边长 为 2,则 OE=1,AO= 2,在 Rt △AOE 中,tan∠AEO= 答案:A 二、填空题
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2 = 2. 1

7.解析:①③中,GM∥HN,所以 G、M、N、H 四点共面,从而 GH 与 MN 共面; ②④中,根据异面直线的判定定理,易知 GH 与 MN 异面. 答案:②④ 8.解析:在①中,因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 上,又在平面 α 上,所以这三点必 在平面 ABC 与平面 α 的交线上,即 P、Q、R 三点共线,所以①正确; 在②中,因为 a∥b,所以 a 与 b 确定一个平面 α ,而 l 上有 A、B 两点 在该平面上,所以 l? α , 即 a、b、l 三线共面于 α ;同理 a、c、l 三线也 共面,不妨设为 β ,而 α 、β 有两条公共的直线 a、l,所 以 α 与 β 重合, 即这些直线共面,所以②正确; 在③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定 7 个平面,所以③错; 在④中,由题设知,a 和 α 相交,设 a∩α =P,如图,在 α 内过点 P 的直线 l 与 a 共面,所以④错. 答案:①②

9.解析:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,所以 AE 与 BC 所成的角即为 AD 与 AE 所成的角, 即是∠EAD.连接 DE, 在 Rt△ADE 中, 设 AD=a, 则 DE= 2 2 cos∠EAD= ,所以异面直线 AE 与 BC 所成角的 余弦值为 . 3 3 2 答案: 3 三、解答题 10.解:如图,取 BB1 的中点 M,连接 A1M、MF. ∵M、F 分别是 BB1、CC1 的中点, ∴MF 綊 B1C1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有 A1D1 綊 B1C1, ∴MF 綊 A1D1 . ∴四边形 A1MFD1 是平行四边形, ∴A1M 綊 D1F. 又 E、M 分别是 AA1、B B1 的中点, ∴A1E 綊 BM, ∴四边形 A1EBM 为平行四边形.∴EB 綊 A1M. ∴EB 綊 D1F. ∴四边形 EBFD1 是平行四边形. 又 Rt△EAB≌Rt△FCB, ∴BE=BF,∴四边形 EBFD1 为菱形. 11. 证明:连结 C1B,HE,FG,由题意知 HC1 綊 EB,∴四边形 HC1BE 是平行四边形.∴ 5 DE 5 a, tan∠EAD= = , 2 AD 2

HE∥C1B.

又 C1G=GC=CF=BF, 1 故 GF 綊 C1B, 2 ∴GF∥HE,且 GF≠HE, ∴HG 与 EF 相交. 设交点为 K, 则 K∈HG,

HG? 平面 D1C1CD,
∴K∈平面 D1C1CD. ∵K∈EF,EF? 平面 ABCD,∴K∈平面 ABCD.

∵平面 D1C1CD∩平面 ABCD=DC, ∴K∈DC,∴FE、HG、DC 三线共点. 12.证明:∵A1C1∩B1D1=O1,B1D1? 平面 B1D1A,A1C1? 平面 AA1C1C. ∴O1∈平面 B1D1A,O1∈平面 AA1C1C. ∵A1C∩平面 B 1D1A=M,A1C? 平面 AA1C1C, ∴M∈平面 B1D1A,M∈平面 AA1C1C, 又∵A∈平面 B1D1A,A∈平面 AA1C1C, ∴O1、M、A 在两个平面 B1D1A 和平面 AA1C1C 的交线上,由公理 3 可知 O1、M、A 三点共线.

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