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湖北省黄冈中学2013年秋季高二数学(理)期末考试试题


湖北省黄冈中学 2013 年秋季高二数学(理)期末考试试题

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.下列结论不正确 的是 ( ... A.若 y ? ln 3 ,则 y? ? 0 C.若 y ? ? x ,则 y? ? ? ) B.若 y ?

1 1 ,

则 y? ? ? x 2 x

1 2 x

D.若 y ? 3x ,则 y? ? 3

2.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 计算得 K ?
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 ? 7.8 60 ? 50 ? 60 ? 50


参照附表一(见 Ⅰ 卷后) ,得到的正确 结论是( ..

A.在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为 “爱好该项运动与性别有关 ” B.在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为 “爱好该项运动与性别无关 ” C.有 99% 以上的把握认为 “爱好该项运动与性别无关 ” D.有 99% 以上的把握认为 “爱好该项运动与性别有关 ” 3.若曲线 y ? f ( x) 在点 P(5, f (5)) 处的切线方程是 y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f ?(5) =( A. 5 B. 4 C. 3 ) C. 6.4
?



D. 2

(2 X +1) 4.设 X ~ B(10, 等于( 0.8) ,则 D
A. 1.6 B. 3.2

D. 12.8
10

5.两变量 y 与 x 的回归直线方程为 y ? 2 x ? 3 ,若 A. 3 B. 4

? xi ? 17 ,则 ? y i 的值为(
i ?1
i ?1

10



C. 0 .4

D. 40

6.右图实线是函数 y ? f ( x)(0 ≤ x ≤ 2a) 的图象,它关于点 A(a, a ) 对称 . 如 果它是一条总体密度曲线,则正数 a 的值为( )
-1-

A.

2 2

B. 1

C. 2

D. 2

BC ? 1 , O 为 AB 的中点, 7. ABCD 为长方形,AB ? 2 , 在长方形 ABCD
内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 ( A. ) D. 1 ?

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

? 8

8.如图为函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象, f ?( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数,则不等式

x ? f ?( x) ? 0 的解集为(
A. (??, ? 3) C. ( 3, ??)

) B. (0, 3)
3

y

o

3

x

D. (??, ? 3)

(0, 3)

9.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 在 (0,1) 上为减函数,函数 g ( x) ? x2 ? a ln x 在 (1, 2) 上为增函数,则 a 的 值等于( A. 1 ) B. 2 C. 2 D. 3 )

10.已知 f ( x ) 为 R 上的可导函数,且对 ?x ? R ,均有 f ( x) ? f ?( x) ,则有( A. C.

e2014 f (?2014) ? f (0), f (2014) ? e2014 f (0) B. e2014 f (?2014) ? f (0), f (2014) ? e2014 f (0) D.

e2014 f (?2014) ? f (0), f (2014) ? e2014 f (0) e2014 f (?2014) ? f (0), f (2014) ? e2014 f (0)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.已知随机变量 X 服从正态分布 N (1, ? 2 ), P( x ? 2) ? 0.72 ,则 P( x ? 0) ? .

12.从 4 名女生和 2 名男生中选出 3 名组成课外学习小组,如果按性别比例分层抽样,则组成此课外学习 小组的概率是 . 13.若曲线 f ( x) ? ax 2 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 .

14.现有 10元、 20元、 50元人民币各一张, 100元人民币两张,从中至少取一张,共可组成不同的币值种 数是 .

15.设 f '' ( x) 是函数 y ? f ( x) 的导函数 f ' ( x) 的导数,定义:若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,且方
'' 程 f ( x) ? 0 有实数解 x0 , 则称点 ?x0 , f ( x0 )

? 为函数 y ?

f ( x) 的对称中心 .有同学发现 “任何一个三次

函数都有对称中心 ”,请你运用这一发现处理下列问题: 设 g ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,则 3 2 12


( 1)函数 g ( x) 的对称中心为 ( 2) g (

1 2 3 ) ? g( ) ? g( )? 2015 2015 2015

? g(

2014 )? 2015
-2-



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 一组数据 4 、 7 、 10 、 6 、 9 , n 是这组数据的中位数,设 f ? x ? ? ( ? x 2 ) n . ( 1)求 f ?x ? 的展开式中 x ?1 的项的系数; ( 2)求 f ?x ? 的展开式中系数最大的项和系数最小的项.

1 x

17. (本题满分 12 分) 黄冈中学学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有用过的球) , 3 个是 旧球(即至少用过一次的球) .每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放回. ( 1)设第一次训练时取到的新球个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; ( 2)在第一次训练时至少取到一个新球的条件下,求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

18. (本小题满分 13 分) 在淘宝网上,某店铺专卖黄冈某种特产 .由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销售量 y
2 1? x ? 5) (单位: 千克) 与销售价格 x(单位: 元 /千克, 满足: 当 1 ? x ? 3 时,y ? a ( x ? 3) ?

b , x ?1

;当 3 ? x ? 5 时, y ? ?70 x ? 490 .已知当销售价格为 2 元 /千克时,每日可售出该特 (a, b为常数) 产 700 千克;当销售价格为 3 元 /千克时,每日可售出 150 千克 . ( 1)求 a , b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; ( 2) 若该特产的销售成本为 1 元 /千克, 试确定销售价格 x 的值, 使店铺每日销售该特产所获利润 f ( x) 最大( x 精确到 0.01 元 /千克).

-3-

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四梭锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD,AD =2, AB= 1.点 M 线段 PD 的中点. ( I)若 PA= 2,证明:平面 ABM ⊥平面 PCD;

来源 :Z [ § xx § k. Co m]

( II)设 BM 与平面 PCD 所成的角为θ ,当棱锥的高变化时,求 sinθ 的最大 值.

20.(本小题满分 13 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,离心率为 , 在 x 轴负半 2 2 a b

轴上有一点 B,且 BF2 = 2 BF 1. ( I)若过 A,B,F2 三点的圆恰好与直线 x- 3 y- 3 = 0 相切,求椭圆 C 的方程; ( II)在( I)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M, N 两点,在 x 轴上是否存在点 P( m, 0) ,使得以 PM, PN 为邻边的平行 四边形是菱形?如果 存在,求出。的取值范围;如果不存在,说明理由.
[

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( ? ( 1)若 x ?

1 2

1 ax) ? x 2 ? ax ( a 为常数 , a ? 0 ) . 2

1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 ( 2)当 0 ? a ? 2 时,判断 f ( x ) 在 [ , ? ?) 上的单调性; 2 1 2 ( 3)若对任意 的 a ? (1, 2) ,总存在 .. ..x0 ? [ 2 , 1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a ) 成立,求实数

m 的取值范围 .

-4-

期末考试数学参考答案(理科)

1、答案: B 解析:若 y ? 2、答案: D

1 1 ,则 y ' ? ? 3 ,选 B 3 x 2 x

解析:由 K ? 7.8 ? 6.635 ,而 P( K 2 ? 6.635) ? 0.010 ,故由独立性检验的意义可知选 D. 3、答案: D 解析 f (5) ? 3, f ?(5) ? ?1,? f (5) ? f ?(5) ? 2 4、答案: C 解析: D(2x ?1) ? 4D(x) ?4 ?10 ?0.8 ?(1 ?0.8) ? 6.4 ,选 C; 5、答案: B 解析: x ?
10 1 10 xi ? 1.7,? y ? 2 ? 1.7 ? 3 ? 0.4 , ? yi ? 10 y ? 4 ? 10 i ?1 i ?1

2

6、答案: A 解析:曲线与 x 轴围成的面积为 1,?

1 2 ? 2a ? 2a ? 1,? a ? 2 2
? ,因此 2

7、答案:B

解析::长方形面积为 2,以 O 为圆心 ,1 为半径作圆,在矩形内部的部分 (半圆 )面积为

取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为

? ? , 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 ? 2 4

8、 答案: D 解析: 当 x ? (??, ? 3) 时, f ?( x) ? 0 , 则x?0, 故 (??, ? 3) 是解集的一部分; 同理 (0, 3) 也是解集的一部分 .故选 D. 9、答案:C 解析: f ( x ) 在 (0,1) 上单减,则

a a ? 1,? a ? 2, g ( x) 在 (1, 2) 上单增,则 g ?( x) ? 2 x ? ? 0 2 x

2 在 (1, 2) 上恒成立,即 a ? 2 x 恒成立,故 a ? 2. ,故 a ? 2 .

10、答案: C 解析:构造函数 F ( x) ?

f ( x) f ?( x)e x ? f ( x)e x f ?( x) ? f ( x) ? ,求导得 F ( x ) ? ? ? 0 ,故函数 F ( x) 是定 ex (e x ) 2 ex

义在 R 上的减函数,故 F (?2014) ? F (0) ? F (2014) ,即

f (?2014) f (0) f (2014) 2014 ? 0 ? ,即 e f (?2014) ? f (0), f (2014) ? e2014 f (0) ?2014 2014 e e e 11、答案: 0.28 解析: P( x ? 0)= P( x ? 2)=1 ? P( x ? 2) ? 0.28 3 1 3 12、答案: 解析:抽样比为 ? ,故应抽取女生 2 人,男生 1 人,所以组成此课外学习小组的概 6 2 5
率是
2 1 C4 ? C2 3 ? 3 5 C6

-5-

(-?,0) 解析: 2ax ? 13、答案:

1 ? 0 有正实数解,即 2ax 2 ? 1 ? 0 有正实数解,? a ? 0 x

14、答案:23 解析:除 100 元人民币以外每张均有取和不取 2 种情况,100 元人民币的取法有 3 种情况, 再减去全不取的 1 种情况,所以共有 23 ? 3 ? 1 ? 23 种 .
1 15、答案: ( ,1) ; 2014 2

解析:

1 1 5 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 3x ? ,则 3 2 12

1 1 又 f ? ( x) ? x2 ? x ? 3 , f ?? ( x) ? 2x ?1 .令 f ?( x) ? 0 得 x ? .故函数 f ( x) 的对称中心为 ( ,1) . 2 2 1 设 P( x0 , y0 ) 在 f ( x) 上可知 P 关于对称点 ( ,1) 的对称点 P(1 ? x0 , 2 ? y0 ) 也在函数 f ( x) 上, 2 ∴f (1 ? x0 ) ? 2 ? y0 .∴f ( x0 ) ? f (1 ? x0 ) ? y0 ? (2 ? y0 ) ? 2 .

∵f (

1 2 )? f ( )? 2015 2015

? f(

2014 )? 2015

1 2014 ? ? ? f ( 2015) ? f ( 2015 )? ? ? ?

2008 ? ? 2007 ??f( )? f ( ) 2015 ? ? 2015 ?

? 2?1007 ? 2014 .

16、解: 设圆心为 C (a, b) ,半径为 r ,依题意, b ? ?4a . 设直线 l2 的斜率 k2 ? ?1 ,过 P, C 两点的直线斜率 k PC ,因 PC ? l2 ,故 kPC ? k2 ? ?1,

k PC ? ∴

3 ? (?4a) ? 1 ,解得 a ? ?1, b ? 4 . r ?| PC |? 2 . ?2 ? a

所求圆的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 4)2 ? 2 . 17、解: ( 1)由 f ( x) 的图象经过 P( 0, 2) ,知 d=2,所以 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2,

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. 由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知

? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.
?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
故所求的解析式是 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2. ( 2) f ?( x) ? 3x ? 6x ? 3.
2

令3x 2 ? 6x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2x ? 1 ? 0.

解得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2. 当 x ? 1 ? 2, 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0; 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0. 故 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2 的单调增区间为 (??,1 ? 2) 和 (1 ? 2 ,??) , 单调减区间为 (1 ? 2 ,1 ? 2 ) .
-6-

18、 ( 1)解:依题意有:这组数据的中位数是 7,即 n ? 7 ,
r r 故 f ( x ) 的展开式中 Tr ?1 ? C7 由 3r ? 7 ? ?1 可知 r ? 2 , 故展开式中 x ?1 的 ( x?1 )7?r (?x2 )r ? C7 (?1)r x3r ?7 ,

2 项的系数为 C7 ?? 1? ? 21 2

. . . . . . .6 分

( 2) f ?x ? 的展开式中共 8 项,其中第 4 项和第 5 项的二项式系数最大, 而第 5 项的系数等于第 5 项二项式系数,故第 5 项的系数最大,
4 ?1 即最大项为 T5 ? C 7 x

? ? ?? x ?
3 4

2 4

? 35 x 5 ,

第 4 项的系数等于第 4 项二项式系数的相反数,故第 4 项的系数最小,
3 ?1 即最小项为 T4 ? C 7 x

? ? ?? x ?

2 3

? ?35 x 2
. . . . . . . 1分

. . . . . . . 12 分

19、解: ( 1) ? 的所有可能取值为 0, 1, 2.

设 “第一次训练时取到 i 个新球(即 ? ? i ) ”为事件 Ai ( i ? 0, 1, 2) .因为集训前共有 6 个篮球,其 中 3 个是新球, 3 个是旧球,所以

P( A0 ) ? P(? ? 0) ? P( A1 ) ? P(? ? 1) ?

C32 1 ? , 2 C6 5
1 1 C3 C3 3 ? , 2 C6 5

. . . . . . .3 分 . . . . . . . 4分 . . . . . . . 5分

P( A2 ) ? P(? ? 2) ?

C32 1 ? . 2 C6 5

所以 ? 的分布列为(注:不列表,不扣分)

?
P

0

1

2

1 5 1 3 1 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5

3 5

1 5
. . . . . . .6 分

( 2)设 “从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球 ”为事件 B . 则 “第二次训练时恰好取到一个新球 ”就是事件 A1B ? A2 B .而事件 A1B 、 A2 B 互斥, 所以, P( A 1B ? A 2 B) ? P( A 1B) ? P( A2 B) .由条件概率公式,得

3 C1C1 3 8 8 P( A1 B) ? P( A1 ) P( B | A1 ) ? ? 2 24 ? ? ? 5 C6 5 15 25 1 C1C1 1 1 1 P( A2 B) ? P( A2 ) P( B | A2 ) ? ? 1 25 ? ? ? . 5 C6 5 3 15
所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

P( A1 B ? A2 B) ?

8 1 29 + = 25 15 75
-7-

那么在第一次训练时至少取到一个新球的条件下,第二次训练时恰好取到一个新球的概率

P?

29 4 29 ? = 75 5 60

20、解: ( 1)因为 x=2 时, y =700; x=3 时, y=150,所以

?b ? ? 150 解得 a ? 400, b ? 300 ?2 ? ? a ? b ? 700
300 ? 2 (1 ? x ? 3) ?400( x ? 3) ? 每日的销售量 y ? ? ; . . . . . . .5 分 x ?1 ? ??70 x ? 490(3 ? x ? 5) ( 2)由( I)知, 当 1 ? x ? 3 时: 300 每日销售利润 f ( x) ? [400( x ? 3) 2 ? ]( x ? 1) ? 400( x ? 3)2 ( x ?1) ? 300 x ?1 3 2 ? 400( x ? 7 x ? 15x ? 9) ? 300 ( 1 ? x ? 3 )
f '( x) ? 400(3x2 ?14 x ? 15) ,

5 或 x ? 3 时 f '( x) ? 0 3 5 5 当 x ? (1, ) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单增;当 x ? ( ,3) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单减. 3 3 5 5 32 . . .9 分 ? x ? 是函数 f ( x) 在 (1,3] 上的唯一极大值点, f ( ) ? 400 ? ? 300 ? 700 ; 3 3 27
当x? 当 3 ? x ? 5 时:每日销售利润 f ( x) ? (?70 x ? 490)( x ? 1) = ?70( x2 ? 8x ? 7)

5 f ( x) 在 x ? 4 有最大值,且 f (4) ? 630 ? f ( ) . 3 5 综上,销售价格 x ? ? 1.67 元 /千克时,每日利润最大. 3
19.(本小题满分 12 分)

. . . . . . . . . 12 分 . . . . . . . . . . 13 分'

PA ? 平面 ABCD ,? PA ? AD . 解析: (Ⅰ )证明:∵ ∵ 点 M 为线段 PD 的中点, PA= AD =2, ? PD ? AM . AB ? 平面 PAD ,? PD ? AB . 又∵ ? PD ? 平面 ABM .
又 PD ? 平面 PCD , ∴ 平面 ABM ⊥ 平面 PCD .………………( 4 分) (Ⅱ )设点 B 到平面 PCD 的距离为 d . ∵ AB∥ CD, ∴ AB∥ 平面 PCD. ∴ 点 B 到平面 PCD 的距离与点 A 到平面 PCD 的距离相等 . 过点 A 在平面 PAD 内作 AN⊥ PD 于 N, 平面 PCD ,? AN ? 平面 PCD . ?平面 ABM ⊥ 所以 AN 就是点 A 到平面 PCD 的距离. 设棱锥的高为 x ,则 d ? AN=

2x 4 ? x2

.

在 Rt △ ABM 中, BM ?

AB2 ? AM 2 ? AB2 ? (
-8-

PD 2 AD2 ? AP2 x2 ) ? 1? ? 2? . 2 4 4

[来源:Z+ xx + k.Co m]

2x
? sin ? ?

d ? BM

4 ? x2 x2 2? 4

?

4x 32 ? 12x 2 ? x 4

?

4 32 12 ? 2 ? x 2 x

.

因为 12 ? 故 sin ? ?

2 32 32 ? x 2 ? 12 ? 2 32 ? 2 2 ? 2 ,当且仅当 2 ? x 2 ,即 x ? 4 32 时,等号成立 . 2 x x

?

?

4 32 12 ? 2 ? x 2 x

?

?2

4 2?2

?

2

? 2 2 ?2.

………………( 12 分)

20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ )? e ?

c 1 ? ,? a ? 2c . a 2

又 BF2 ? 2BF ,? BF2 ? 4c, AF2 ? 2c . 1

1 BF2 ,? ?BAF2 ? 90? . 2 所以过 A 、 B 、 F2 三点的圆的圆心为 ?? c,0? ,半径为 2c. | -c - 3 | ? 2c .所以 c ? 1 . 由圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,得 2 ? AF1 ? AF2 ? 2c ?
所以 a ? 2,

b? 3.
x2 y2 ? ? 1 .………………………………( 5 分) 4 3

所以,所求椭圆方程为

(Ⅱ )设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程,得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

PM ? ( x1 ? m, y1 ), PN ? ( x2 ? m, y2 ) ,
2 当 PM , PN 能构成菱形时, | PM |? | PN | ,即 ( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? y2 ? y12 ,

? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ? 2m) ? ? 2m ?

3 2 3 2 ( x1 ? x 2 ) ,即 x1 ? x 2 ? 2m ? ( x1 ? x 2 ) . 4 4

k2 1 ( x1 ? x 2 ) ,即 m ? . 4 3 ? 4k 2
1
1 ? (0, ) . 4 1 4

而m ?

3 ?4 k2

所以存在 m ? (0, ) ,使得 PM , PN 为邻边的平行四边形为菱形 .

………( 13 分)

-9-

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a .( 1)由已知,得 f ?( 1 ) ? 0 且 2 ? 、解: f ( x ) ? ? 2 x ? a ? 21 1 1 2 1 ? ax ? ax 2 2
a2 ? 2 ? 0 ,? a 2 ? a ? 2 ? 0 , a ? 0 ,? a ? 2 . 2a
( 2)当 0 ? a ? 2 时,

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) 1 a2 ? 2 , ? ? ? ? 0 ,? ? 2a 2 2a 2a 2 2a

?当 x ?

a2 ? 2 1 2ax 1 时, x ? ? 0 ,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 [ , ? ?) 上是增函数. ? 0 .又 2 1 ? ax 2 2a
1 2
1 2 1 a) ? 1 ? a , 2

( 3) a ? (1, 2) 时,由(Ⅱ )知, f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f (1) ? ln( ? 于是问题等价于:对任意的 a ? (1, 2) ,不等式 ln( ? 记 g (a) ? ln( ?

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立 . 2

1 1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) , (1 ? a ? 2 ) 2 2 1 a ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] , 则 g ?(a ) ? 1? a 1? a ?a ? 0 , ? g (a) 在区间 (1, 2) 上递减,此时, g (a) ? g (1) ? 0 , 当 m ? 0 时, g ?(a) ? 1? a
由于 a ? 1 ? 0 ,? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,
2

故必有 m ? 0 , ? g ?(a ) ? 若

2ma 1 [a ? ( ? 1)] . 1? a 2m

1 1 ? 1 ? 1 ,可知 g (a) 在区间 (1, min{2, ? 1}) 上递减, 2m 2m

在此区间上,有 g (a) ? g (1) ? 0 与 g (a) ? 0 恒成立矛盾, 故

1 ? 1 ? 1 , 这 时 g ?(a) ? 0 , g (a) 在 (1, 2) 上 递 增 , 恒 有 g (a) ? g (1) ? 0 , 满 足 题 设 要 求 , 2m

?m ? 0 1 1 ? ,即 m ? ,所以,实数 m 的取值范围为 [ , ? ?) . ?? 1 4 4 ?1 ? 1 ? ? 2m

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