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求数列通项公式的各种方法(非常全)


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教师: 学生: 时间: 年 月 日 段

课题:数列的通项公式
教学目标:掌握数列通项公式的求法 教学重难点:构造等差等比数列

一、教学内容:

a ? 一、利用 n

?<

br />
S1 ( n?1)

Sn ? Sn?1 ( n? 2)

例 1.若 S n 和 Tn 分别表示数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,对任意正整数
an ? ?2(n ? 1) , Tn ? 3Sn ? 4n .求数列 {bn } 的通项公式;

解: ? an ? ?2(n ? 1)

? a1 ? ?4

d ? ?2

Sn ? ?n2 ? 3n

?Tn ?3Sn ? 4 n ??3n 2 ?5n ……2



当 n?1时,T ?b ??3?5??8 1 1

当 n?2时,bn ?Tn ?Tn?1??6n?2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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? n ??6n?2. ……4 分 b

练习:1. 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列 {an}的通项 an 解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2) 当 a1=3 时,a3=13,a15=73 a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3
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2.设数列 ?an ? 的前 n 项的和
Sn ? 4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?
n 3 2n ? , n ? 1, 2,3,? ?,证明: ? Ti ? 2 Sn i ?1

4 1 2 a1 ? S1 ? a1 ? ? 22 ? 3 3 3 ,解得: a1 ? 2 解: (I)
把您的孩子当成我们的孩子

所以数列 所以:

4 4 1 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? ? a ? 2n?1 ? 4 ? a ? 2n ? n ?1 n 3 3 3 ?an ? 2n ?
an ? 2 ? ? a1 ? 21 ? ? 4n?1
n

是公比为 4 的等比数列

n n 得: an ? 4 ? 2

(其中 n 为正整数)

4 1 2 4 1 2 2 Sn ? an ? ? 2n?1 ? ? ? 4n ? 2n ? ? ? 2n?1 ? ? ? 2n?1 ? 1?? 2n ? 1? 3 3 3 3 3 3 3 (II)
Tn ? 2n 3 2n 3 ? 1 1 ? ? ? n?1 ? ?? n ? n?1 ? n Sn 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

所以:

?T ? 2 ? ? 2 ?
i ?1 i

n

3 ? 1 1 ? 3 ? n ?1 ? ? 1 ?1 2 ?1 ? 2

二、构造等差数列 例 2、 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2 , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

an ?1 an 3 a a 3 a a 2 ? n ? ,则 n ?1 ? n ? ,故数列 { n } 是以 1 ? ? 1 为 n ?1 n ?1 n n 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 an 3 3 首项,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 n ? 1 ? ( n ? 1) ,所以数列 {an } 的通项公式为 2 2 2 3 1 an ? ( n ? )2 n 。 2 2
解: an?1 ? 2an ? 3? 2 两边除以 2
n
n?1

,得

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2 转化为
n

an ?1 an 3 a ? n ? ,说明数列 { n } 是等差数列, n ?1 2 2 2 2n

an 3 ? 1 ? ( n ? 1) ,进而求出数列 {an } 的通项公式。 n 2 2 1 1 n ?1 例 3.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? an ? ( ) ,求 an 。 2 2 1 1 解:在 an ?1 ? an ? ( ) n ?1 两边乘以 2 n ?1 得: 2n?1 ? an?1 ? (2n ? an ) ? 1 2 2
再直接利用等差数列的通项公式求出

令 bn ? 2n ? an ,则 bn?1 ? bn ? 1 ,解之得: bn ? b1 ? n ? 1 ? n ? 1 所以 an ?
bn n ? 1 ? n 2n 2

三、累加法 例 4、 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

把您的孩子当成我们的孩子

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转 化 为 an?1 ? an ? 2n ? 1 , 进 而 求 出

(an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。
例 5、 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 解:由 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 得 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 则
n n

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3 ? n ? 1.
n

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 转 化 为 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 , 进 而 求 出
n n

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。
例 6、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 解: an?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 两边除以 3
n
n?1

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3



an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

把您的孩子当成我们的孩子

an an a a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 a2 a1 a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 n 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 转化为

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,进而求出 n ?1 3 3 3 3

(

an an ?1 an ?1 an ?2 an ?2 an ?3 a2 a1 a ? an ? ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ?2 ) ? ( n ?2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 ,即得数列 ? n ? 的通项公式,最后再求数列 n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ?3 ?

{an } 的通项公式。
四、累乘法 例 7、 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.
n

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 an?1 ? 2(n ? 1)5 ? an 转 化 为

an ?1 ? 2(n ? 1)5n , 进 而 求 出 an

an an?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an?1 an?2 a2 a1

把您的孩子当成我们的孩子

例 8、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 , 解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan 用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) ② ①



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an ?

an an?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . an?1 an?2 a2 2



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 , a2 ? a1 , 则 又知 a1 ? 1 , a2 ? 1 , 则 代入③得 an ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ? 所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2
n! . 2

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转 化 为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) , 进 而 求 出 an

an an ?1 a ? ?? ? 3 ? a2 ,从而可得当 n ? 2时,an 的表达式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 an ?1 an ? 2 a2

五.构造等比数列 an?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n) 例 9、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式; 解:? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ),

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。

? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ?1(n ? N * ).
把您的孩子当成我们的孩子

练习.

已知数列 {a n } 满足 a n ? 2a n ?1 ? 2 n ?(n ? 2) ,且 a 4 ? 81 。 1

(1)求 a 1,a 2,a 3 ; (2)求数列 {a n } 的通项公式。 解: (1) a 1 ? 5,a 2 ? 13,a 3 ? 33

(2) a n ? 2a n ?1 ? 2 n ? 1 ? a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1) ? 2 n

?

an ?1 2
n

?

a n ?1 ? 1 2
n ?1

?1?

an ?1 2n

? n ?1

∴ a n ? (n ? 1)2 n ? 1 六、待定系数法 例 10、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n ) ④

将 an?1 ? 2an ? 3? 5n 代 入 ④ 式 , 得 2an ? 3? 5n ? x ? 5n?1 ? 2an ? 2x ? 5n , 等 式 两 边 消 去 2an , 得

3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 x ? 5n ,两边除以 5 n ,得 3 ? 5x ? 2 x, 则x ? ?1, 代入④式得 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) ⑤
由 a1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5n ? 0 ,则

an ?1 ? 5n?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 a1 ? 51 ? 1 为首项, n an ? 5

以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) ,从而可知数列

{an ? 5n } 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n } 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。
例 11 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) 将 an?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 代入⑥式,得
n



3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)

把您的孩子当成我们的孩子

整理得 (5 ? 2 x) ? 2n ? 4 ? y ? 3x ? 2n ? 3 y 。

令?

?x ? 5 ?5 ? 2 x ? 3x ,则 ? ,代入⑥式得 ?y ? 2 ?4 ? y ? 3 y


an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,

an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 得 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,则 ? 3, an ? 5 ? 2n ? 2
n

故 数 列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是 以 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为 首 项 , 以 3 为 公 比 的 等 比 数 列 , 因 此

an ? 5 ? 2n ? 2 ? 13? 3n?1 ,则 an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为 an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) , 从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列, 进而求出数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 的通项公式, 最后再求数列 {an } 的 通项公式。 例 12 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) 将 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得 ⑧

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn ? 2 yn ? 2z ,
2 2

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ? x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ⑨
把您的孩子当成我们的孩子

由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0



an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 故数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 为以 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 2, 2 an ? 3n ? 10n ? 18

为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ,从而可知数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 是等比数列,
进而求出数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

例 13、构造数列 ?an?1 ? ?an ? ,使其为等比数列。 an?2 ? pan?1 ? qan 例:已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3 , an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求 ?a n ? 的通项公式。 解:设 an?2 ? ?an?1 ? ? ?an?1 ? ?an ? ,即 an?2 ? ?? ? ? ?an?1 ? ??an , 则 an?2 ? ?? ? ? ?an?1 ? ??an , 与 an?2 ? 3an?1 ? 2an 比较后的得

? ? ? ? 3, ?? ? ?2 .
? ? ? ?2, ? ? 1 或 ? ? ?1, ? ? 2 .

当 ? ? ?1, ? ? 2 时, an?2 ? an?1 ? 2?an?1 ? an ?,?an?1 ? an ?是以 a 2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的 等比数列。? an?1 ? an ? 2 n
? an ? ?an ? an?1 ? ? ?an?1 ? an?2 ? ? ? ? ?a2 ? a1 ? ? a1
? 2 n?1 ? 2 n?2 ? ? ? 2 ? 1
? 2 n ? 1 ( n ? 2 ).

经验证,n=1 时适合上式,? an ? 2 n ? 1. 同理,当 ? ? ?2, ? ? 1 时,也得到 an ? 2 n ? 1 . 综上知 an ? 2 n ? 1 .
七、对数变换法
n 5 例 14、 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3 ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

把您的孩子当成我们的孩子

5 5 解 : 因 为 an?1 ? 2 ? 3n ? an,a1 ? 7 , 所 以 an ? 0,an?1 ? 0 。 在 an?1 ? 2 ? 3n ? an 式 两 边 取 常 用 对 数 得

lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2



设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y)

11 ○

将⑩式代入 ○ 式,得 5lg an ? n lg3 ? lg 2 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) ,两边消去 5lg an 并整理,得 11

(lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ,则

lg 3 ? ?x ? 4 ?lg 3 ? x ? 5 x ? ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○式,得 lg an ?1 ? 11 由 lg a1 ? 得 lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○式, 12 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 4 16 4

lg an ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4

所以数列 {lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? n? ? } 是以 lg 7 ? 为首项,以 5 为公比的等比数列,则 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg an ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 4 16 4 4 16 4

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )5 ? lg(7
5 n ?1 1 4 1 16 1 4 n ?1 1 1 1 n 1 1

? lg(3 ? 3 ? 2 4 ) ?2
?1 5n?1 ?1 4

n 4

1 16

1

?3

5n?1 ? n 4

?3

5n?1 ?1 16 5
n?1

)

? lg(75 n ?1 ? 3

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)
把您的孩子当成我们的孩子

则 an ? 7

5n?1

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



5 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3n ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 {lg an ? n? ? } 4 16 4 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? 4 16 4 lg an ?1 ?
八、迭代法
3( 例 15、已知数列 {an } 满足 an?1 ? an n?1)2 ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

3( 3n? 解:因为 an?1 ? an n?1)2 ,所以 an ? an?12
n

n?1

3( ? [an?n?1)?2 ]3n?2 2

n? 2

n?1

32 (n?1)?n?2(n?2)?(n?1) ?a n?2 3(n?2)?2n?3 32 (n?1)?n?2(n?2)?(n?1) ? [a ] n?3 33(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1) ?a n?3 ?? 3n?1?2?3??( n?2)?( n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1) ?a 1 n(n?1) 3n?1?n!2 2 ? ?a 1

n(n?1) n?1?n!2 2 ? 又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 53 。
3( 评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 an?1 ? an n?1)2 两边取常用对数
n



lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an





lg an ?1 ? 3(n ? 1)2n lg an



















n(n?1) n ( n ?1) 3n?1 ?n!?2 n?1?n!2 2 lg an lg an?1 lg a3 lg a2 ? 2 ,从而 an ? 5 。 lg an ? ? ? ?? ? ? lg a1 ? lg 53 lg an?1 lg an?2 lg a2 lg a1
九、数学归纳法 例 16、已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

把您的孩子当成我们的孩子

解:由 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 及 a1 ? ,得 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?

(2n ? 1) 2 ? 1 由此可猜测 an ? ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1) 2 (2 ?1 ? 1) 2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1) 2 9 (2k ? 1) 2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1) 2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
*

评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项,进而猜出数列的通项公式,最后再用 数学归纳法加以证明。
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十、换元法 例 17、已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16
1 2 (bn ? 1) 24

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 即 4bn?1 ? (bn ? 3)2

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数列,因此 2

所 以 {bn ? 3} 是 以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为 首 项 , 以

1 1 1 1 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2 2 an ? 2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3 1 3 bn ? 形式,从而 2 2

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化 bn ?1 ?

可知数列 {bn ? 3} 为等比数列,进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

十一、倒数法
1 1 , 先求出 , 再求得a n . a n a n?1 an

数列有形如 f (an , an?1 , an an?1 ) ? 0 的关系,可在等式两边同乘以

?1? an 1.构造数列 ? ? ,使其为等差数列。 (形式: a n ?1 ? ) pan ?1 ? an ?
例 18、已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 式。
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?1? an ,求证: ? ? 是等差数列,并求 ?a n ? 的通向公 3a n ? 1 ? an ?

解: ? a n ?1 ?

an 1 1 1 1 ,? ? ? 3 ,即 ? ? ?3. a n ?1 a n a n ?1 a n 3a n ? 1

?1? ? ? ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列。 ? an ?
?

1 ? 3n ? 2, an

an ?

1 3n ? 2

.

?1 ? an 2. 构造数列 ? ? ? ? ,使其为等比数列。 a n ?1 ? ( ) pan ? q ? an ?
例 19、在数列 ?a n ? 中,已知 a1 ? 2, a n ?1 ?

2a n ,求证:数列 ?a n ? 的通项公式。 an ? 1

解:由 a1 ? 2, a n ?1 ?
1 a n ?1

2a n 可知,对 n ? N , an ? 0 . an ? 1

?

?

1 1 1 ? ,即 ?1 ? 2 2a n an?1

? 1? 1 ? ? 1? . ?a ? 2? n ?

又? a 1 ? 1, ?

1 1 ?1 ? ? . a1 2

?1 ? 1 1 ? 数列 ? ?1? 是首项为 ? ,公比为 的等比数列. 2 2 ? an ?
?

1 1?1? ?1 ? ? ? ? an 2?2?
2n 2n ? 1

n ?1

?1? ? ?? ? . ?2?

n

? an ?

例 20、设数列 {an } 满足 a1 ? 2, a n ?1 ?

an (n ? N), 求 a n . an ? 3
1 1 1 , 得1 ? 3 ? ? . a n ? a n ?1 a n a n ?1

解:原条件变形为 an?1 ? an ? 3 ? an?1 ? an .两边同乘以

∵( 3

1 1 1 1 1 1 ? )? ? ,? ? ? 3n?1 an 2 an?1 2 an 2
2 . 2 ? 3 n ?1 ? 1

∴ an ?

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四、课堂答疑: 五、课后小结:

六、课后作业: 七、学生评价: ○特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○差 学生签字: 八、教师评定: 1、学生上次作业评价: 2、学生本次上课情况评价: ○好 ○ 较好 ○ 一般 ○差 ○好 ○ 较好 ○ 一般 ○差 教师签字:
龙文教育教务处:
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学生作业:
教师: 1、 学生: 时间: 2012 年 月 日 在数列{ an }中, a 1 =1, (n+1)· a n ?1 =n· an ,求 an 的表达式。

2、已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是 S n ? n(2n ? 1)an ,试求通项公式 an 。 3

3、已知数 {an } 的递推关系为 a n ?1 ?

2 a n ? 4 ,且 a1 ? 1 求通项 an 。 3

4、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

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5、已知数列{ an }中 a1 ? 1 且 a n ?1 ?

an (n? N ) ,求数列的通项公式。 , an ? 1

6、已知数列 {a n } 的前 n 项和 S?n 1n ) ,其中 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. n ( ?b (1)求数列 {a n } 的通项公式;

7、已知等差数列{an}的首项 a1 = 1,公差 d > 0,且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、 第三项、第四项. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;

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8、已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

10、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ?N* ) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ;

11、已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 0 , bn ? an an?1 ( n ? N * ) ,且 {bn } 是以 q 为公比 的等比数列. (I)证明: an?2 ? an q 2 ; (II)若 cn ? a2 n?1 ? 2a2 n ,证明数列 {cn } 是等比数列;

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12、设数列{an}的前项的和 Sn= (Ⅰ)求 a1;a2;

1 ? (an-1) (n ? N ). 3

(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列.

14、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1 . (Ⅰ)写出数列 ?an ? 的前 3 项 a1 ,a 2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.

15. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。

, 16、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。

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17、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 ,

18、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 ,

19、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2(n ? 1)5n ? a n,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。

20、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ,a 1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。

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21、 已知数列 {a n } 满足 an?1 ? 3an 4 , a 1 ? 7 ,求数列 {a n } 的通项公式。

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