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2014年高考数学一轮全程总复习课件:第二章 函数、导数及其应用第十节导数概念、导数的运算(人教B版)


第十节 导数概念、导数的运算

1.物体的瞬时速度及函数f(x)在x=x0处的导数 (1)瞬时速度:若物体的运动方程为s=f(t),则物体在任意时刻 t的瞬时速度v(t),就是平均速度v(t,d)= 0时的极限.
f ?t ? d? ? f ?t ? d

在d趋于

(2)函数f(x)在x=x0处的导数:

①定义:设函数f(x)在包含x0的某个区间上有定义,如果比值
f ? x 0 ? d ? ? f ? x 0 ? 在d趋于0时(d≠0)趋于_____________ 确定的极限值 ,则称此 d

f′(x0) _______ 极限值 为函数f在x=x0处的导数或_____ 微商 ,记作_______. ②符号表示为
f ? x0 ? d ? ? f ? x0 ? d

→f′(x0) (d→0).

2.函数f(x)的导函数 (1)若x取定义域内的任意一点,则d趋于0时,比值 f ? x ? d ? ? f ? x ?
d

f′(x) 的极限值叫作f(x)的导函数,记作_______.

(2)符号表示为 f ? x ? d ? ? f ? x ? →f′(x) (d→0).
d

3.导数的实际意义

(1)物理意义:
若物体的运动方程为s=f(t),则f′(t)为物体在任意时刻t的

瞬时速度v(t) _____________.
(2)几何意义:

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x) (x0,f(x0)) 处的___________. 切线的斜率 相应地,切线方程为 上点__________
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) _____________________.

4.基本初等函数的导数公式 (1)(c)′=0. (2)(xα )′=α xα -1(α ≠0). (3)(ex)′=ex. (4)(ax)=ax(ln a)(a>0,a≠1).

(5)(ln x)′= 1 (x>0).
x

(6)(logax)′=

1 (a>0,a≠1,x>0). xln a

(7)(sin x)′=cos x.
(8)(cos x)′=-sin x.

(9)(tan x)′=

1 . 2 cos x sin x

(10)(cot x)′= ? 12 . (公式对函数定义域内的自变量x有效)

5.导数运算法则 (1)(cf(x))′=cf′(x);

f′(x)±g′(x) (2)(f(x)±g(x))′=_______________;
f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (3)(f(x)g(x))′=______________________;
f? x (4) ( 1 )? = ? ? ? 2 (f(x)≠0);

f ?x?
f (x)

?f ? x ??

(5) ( g(x) )? = f ? x ? g? ? x ? ? g ? x ? f ? ? x ? (f(x)≠0);
(f (x)) 2

(6)若y=f(u),u=g(x),则y′x=f′u·u′x.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( )

(2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).(
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(

)
) )

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( (5)若f(x)=a3+2ax-x2,则f′(x)=3a2+2x.( )

【解析】(1)错误.f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代 表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0))′是函 数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0. (2)错误.应先求f′(x),再求f′(x0). (3)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线,但其交点个数有无数个.

(4)错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点,但是y=0不是抛 物线y2=x的切线. (5)错误.求导是对自变量求导,要分清表达式中的自变量 .在 这里自变量是x而不是a,故f′(x)=-2x+2a. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

1.下列函数求导运算正确的个数为(
①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=

)

1 ; x ln 2

③(sin ? )′=cos ? ;④( 1 )′=x.
3 3 ln x

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

【解析】选A.由求导公式可判断①②;③sin ? 为一常数,所以
3

1 ? 1 1 x ?? (sin )? ? 0; ④( )? ? , 求导运算正确的只有 2 2 3 ln x x ? ln x ? ? ln x ? ?

②.故选A.

2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为( (A)2(x2-a2) (B)2(x2+a2)

)

(C)3(x2-a2)

(D)3(x2+a2)

【解析】选C.f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]

=3(x2-a2).

3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=
1 3 3 2 t - t +2t, 那么速率为零的时刻是( 3 2

)

(A)0秒 (C)2秒末

(B)1秒末 (D)1秒末和2秒末

【解析】选D.s′=t2-3t+2,令s′=0,则t=1或t=2.

4.曲线f(x)=xln x在点x=1处的切线方程为(
(A)y=2x-2 (C)y=x-1 (B)y=2x+2 (D)y=x+1

)

【解析】选C.f′(x)=ln x+1,f′(1)=1,f(1)=0.切线方 程为y=1×(x-1),即y=x-1,故选C.

5.若函数y=(2x+1)4,则函数在点(0,1)处的切线的斜率是
___________. 【解析】y′=4·(2x+1)3·(2x+1)′=8(2x+1)3, 故f′(0)=8.即所求切线的斜率是8. 答案:8

考向 1

导数的概念及应用

【典例1】(1)若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a, b),则 lim f (x 0 ? h) ? f (x 0 ? h) 的值为(
h ?0

)

h

(A)f′(x0) (C)-2f′(x0)

(B)2f′(x0) (D)0
4 的导数. 2 x

(2)利用定义求函数 y ?

【思路点拨】(1)根据导数的定义,将极限符号内的表达式表

示成平均变化率的形式再求解.(2)先求Δy, ?y ,再求出当
?x

Δx→0时的极限值.

【规范解答】(1)选B.Δx=(x0+h)-(x0-h)=2h,
Δy=f(x0+h)-f(x0-h),所以
lim
h ?0

f ? x0 ? h ? ? f ? x0 ? h ? h 2h

f ? x0 ? h ? ? f ? x0 ? h ? = lim [ 2 ]
h ?0

= 2lim f ? x 0 ? h ? ? f ? x 0 ? h ? ? 2f ? ? x 0 ?, 故选B.
h ?0

2h

(2)Δy=

4

? x ? ?x ?

2

4?x ? 2x ? ?x ? 4 ? 2 ?? 2 , 2 x x ? x ? ?x ?

?y 2x ? ?x ? ?4 2 , 2 ?x x ? x ? ?x ?

∴ lim ?y ? lim [? 4
?x ?0

?x

?x ?0

8 ] ?? 3. 2 2 x x ? x ? ?x ?

2x ? ?x

【互动探究】在本例题(1)中,若f(x)= 1 x 3 ? 2x ? 2 012, 且
3

x0=e,其他条件不变, 求 lim f ? x 0 ? h ? ? f ? x 0 ? h ? 的值.
h ?0

h

【解析】∵f(x)= 1 x3+2x+2 012,∴f′(x)=x2+2,
3

故 lim
h ?0

f ? x0 ? h ? ? f ? x0 ? h ? h

? lim [ 2
h ?0

f ? x0 ? h ? ? f ? x0 ? h ? 2h



= 2lim f ? x 0 ? h ? ? f ? x 0 ? h ? ? 2f ?(x ) 0
h ?0

2h

=2f′(e)=2e2+4.

【拓展提升】定义法求函数的导数的三个步骤 一差:求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x).
f x ? ?x ? ? f ? x ? 二比:求平均变化率 ?y ? ? . ?x ?x

三极限:取极限,得导数y′=f′(x)= lim ?y .
?x ? 0

?x

【变式备选】

(1)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标
分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=__________;
?x ?0

lim

f ?1 +?x ?-f ?1? ?x

=__________(用数字作答).

【解析】f(0)=4,f(f(0))=f(4)=2.
+?x ?-f ?1? 由导数的定义得 lim f ?1 =f ? ?1? .
?x ?0

?x

当0≤x≤2时,f(x)=4-2x,f′(x)=-2,f′(1)=-2. 答案:2 -2

(2)求函数 y ? 【解析】?y ?

1 在x=1处的导数. x
1 1 1 ? 1 ? ?x ? ? 1 ? ?x 1 1 ? ?x

=

??x , 1 ? ?x (1 ? 1 ? ?x )

?y 1 ?? , ?x 1 ? ?x (1 ? 1 ? ?x ) ?y 1 1 ? lim [? ] ?? . ?x ?0 ?x ?x ?0 2 1 ? ?x (1 ? 1 ? ?x ) ∴f′(1)= ? 1 . 2 lim

考向 2

导数的运算

【典例2】求下列函数的导数: (1)y=(2x2-1)(3x+1). (2)y=x- sin x cos x .
2 2
3x 2 ? x x ? 5 x ? 9 (3)y= . x

(4)y=(3-2x)5. (5)y=sin(2x+ ? ).
3

【思路点拨】(1)可以先展开解析式,然后再求导或利用乘积
的求导法则进行求导. (2)将 sin x cos x 利用三角公式化简后,再求导.
2 2

(3)将根式化成幂的形式,再求导. (4)y=(3-2x)5是由y=μ5与μ=3-2x复合而成. (5)y=sin(2x+ ? )是由y=sin u,u=2x+ ? 复合而成.
3 3

【规范解答】(1)方法一:可以先展开解析式,然后再求导: y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, ∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′ =(6x3)′+(2x2)′-(3x)′-(1)′=18x2+4x-3. 方法二:可以利用乘积的求导法则进行求导: y′=(2x2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′ =4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3.

(2)先使用三角公式进行化简得 y=x- sin x cos x ? x ? 1 sin x,
2 2 2

∴y′= (x ? 1 sin x)? ? x? ? ( 1 sin x)? ? 1 ? 1 cos x.
2 2 2

(3)∵y=3x -x+5-9x , ∴y′=(3x )? ? x?+? 5? ?-(9x )?
1 3 ? 3 1 =3 ? x 2-+ 1 0-9 ? (? ) x 2 2 2

3 2

?

1 2

3 2

?

1 2

= 9 x (1 ? 12 ) ? 1.
2 x

(4)设μ=3-2x,则y=(3-2x)5是由y=μ5与μ=3-2x复合而成,
所以y′=y′μ·μ′x=(μ5)′·(3-2x)′ =5μ4·(-2)=-10μ4=-10(3-2x)4. (5)设y=sin u,u=2x+ ? ,
3

则y′=yu′·ux′=cos u·2=2cos(2x+ ? ).
3

【拓展提升】导数计算的原则和方法
(1)原则:先化简解析式,再求导. (2)方法: ①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; ②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简 单的分式函数,再求导; ③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;

④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; ⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求 导. ⑥复合函数:由外向内,层层求导.

【变式训练】求下列函数的导数:
(1)y=3xex-2x+e. (2)y=
ln x . x

(3)y= ( x ? 1)( 1 ? 1).
x

(4)y=

1

?1-3x ?

4

.

【解析】(1)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′
=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln 3·ex+3xex-2xln 2

=(3e)xln 3e-2xln 2.
ln x ? ?x-x?ln x (2) y?=( ln x )?=? 2 x x

1 x-ln x 1 -ln x =x = . x2 x2

(3)先化简,
1 1 ? 1 1 y= x ? x? ? 1 ? ? x 2 ? x 2, x x 1 3 ? ? 1 1 ∴y′= ? x 2 ? x 2 ? ? 1 (1 ? 1 ). 2 2 x 2 x

(4)设u=1-3x,则y=u-4, 则y′=yu′·ux′=-4u-5·(-3)=
12

?1-3x ?

5

.

考向 3

导数几何意义的应用

【典例3】(1)(2013·龙岩模拟)若曲线y=x2+ax+b在点P(0,
b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )

(A)a=1,b=1
(C)a=1,b=-1

(B)a=-1,b=1
(D)a=-1,b=-1

(2)(2012·广东高考)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程 为_________. (3)已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于 点P(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.

【思路点拨】(1)先由切线斜率求出a,再由点(0,b)在切线上 求出b.(2)因为点(1,3)为切点,故可由导数的几何意义求出 斜率后,再用点斜式写出切线方程.(3)因为直线l过原点,故 可根据导数的几何意义及斜率公式以及点 P既在曲线上又在切 线上,构造一个关于x0,y0的方程组求解.

【规范解答】(1)选A.y′=2x+a,因为切线x-y+1=0的斜
率为1,所以2×0+a=1,即a=1.又(0,b)在直线x-y+1=0 上,因此0-b+1=0,即b=1. (2)y′=3x2-1,当x=1时,y′=2,此时斜率k=2,故所求切线 方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0. 答案:2x-y+1=0

(3)由直线l过原点,知k=

y0 ? x 0 ? 0 ?. x0

又点P(x0,y0)在曲线C上,y0=x03-3x02+2x0 因为y′=3x2-6x+2,故k=3x02-6x0+2. 又k= y0 ,故 y 0 =3x02-6x0+2
x0 x0
? y 0 ? x 03 ? 3x 0 2 ? 2x 0, 由①②得 ? ? y0 2 ? 3x ? 6x 0 ? 2, 0 ?x ? 0





所以3x02-6x0+2=x02-3x0+2,其中x0≠0,

解得x0= 3 .
2

所以y0=- 3, 所以 k= y0 =-1 ,
8

x0

4

3 3 所以直线l的方程为y=- x, 切点坐标为 ( ,- ) . 2 8

1 4

【互动探究】在本例题(2)中若曲线y=x3-x+3在“点(1,3)处” 改为“过点(1,3)”,其他条件不变,求此时的切线方程. 【解析】当点(1,3)是切点时,由本例(2)知,切线方程为 2x-y+1=0.

当点(1,3)不是切点时,设切点为(x0,x03-x0+3).又y′=
3x2-1,故斜率k=3x02-1,所求切线方程为y-(x03-x0+3)= (3x02-1)(x-x0),将点(1,3)代入解得x0= ? 1 或x0=1(舍),故
2

切点为 (? 1 , 27 ), 此时切线方程为 y ? 27 ? ? 1 (x ? 1 ),即
2 8 8 4 2

x+4y-13=0.

综上所述,切线方程为2x-y+1=0或x+4y-13=0.

【拓展提升】 1.求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程的步骤 (1)求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率. (2)①如果已知切点坐标和切线的斜率,切线方程为 y=y0+ f′(x0)(x-x0).

②如果切线平行于y轴,切线方程为x=x0.

2.求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程的步骤
(1)设切点A(xA,f(xA)),求切线的斜率k=f′(xA),写出切线 方程. (2)把P(x0,y0)的坐标代入切线方程,建立关于xA的方程,解 得xA的值,进而写出切线方程. 【提醒】求切线方程时,一定要分清所给点是不是切点 .

【变式备选】(1)若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂
直,则切线l的方程为( )

(A)4x-y-3=0
(C)4x-y+3=0

(B)x+4y-5=0
(D)x+4y+3=0

【解析】选A.与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0,即y=x4
在某一点的导数为4,而y′=4x3,即4x3=4,解得x=1,所以y=x4 在点(1,1)处导数为4,此点的切线方程为4x-y-3=0,故选A.

(2)已知函数f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是2x-
3y+1=0,则f(1)+f′(1)=_______. 【解析】依题意得2×1-3f(1)+1=0,即f(1)=1,由切线的 斜率 k ? 2 , 则f′(1)= 2 , 则f(1)+f′(1)= 5 .
3 3 3 5 答案: 3

【创新体验】导数中的新定义问题 【典例】(2012·浙江高考)定义曲线C上的点到直线l的距离的 最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线 l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则 实数a=_______.

【思路点拨】

【规范解答】曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为
d? 0?4 1 ? ? ?1?
2 2

? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2.

设曲线C1:y=x2+a上的点(x0,y0)到直线l:y=x的距离最短,则过 点(x0,y0)的切线平行于直线y=x.对应函数的导数为y′=2x, 由2x0=1得x0= 1 ,所以C1:y=x2+a上的点(x0,y0)为 ( 1 , 1 ? a),
2 2 4

由题意知 当a= ?

|

1 1 ? ?a | 9 7 2 4 ? 2, 解得 a ? 或a ? ? , 2 4 4 12 ? ? ?1?

7 时,直线l与曲线C1相交,不合题意,故舍去. 4

9 答案: 4

【思考点评】 1.方法感悟 本题充分体现了等价转化的思想在解题中的应用,即利用定义 将曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离转化为圆心到直线 的距离减去半径,曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离转化为曲

线C1上与l平行的切线与l的距离,再利用导数研究曲线C1的切
线问题,最终根据两距离相等构造方程求出a的值,这种“等

价转化”的思想是解决数学问题的重要思想.

2.技巧提升 对待新定义问题,应该首先仔细审题,把新定义的规定理解透 彻,提取定义中等量关系和数量关系或定义中的关键词语,如 本题定义中的关键词为“最小值”,然后结合所学知识进行分 析求解.

1.(2013·南平模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足
f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(1)=( )

(A)-1

(B)-2

(C)1

(D)2

【解析】选B.f′(x)=2f′(1)+2x,令x=1,得f′(1)=

2f′(1)+2,∴f′(1)=-2.

2.(2012·辽宁高考)已知P,Q为抛物线x2=2y上的两点,点P,Q
的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线 交于点A,则点A的纵坐标为( (A)1 (C)-4 (B)3 (D)-8 )

【解析】选C.因为点P,Q的横坐标分别为4,-2,代入抛物线
方程得P,Q的纵坐标分别为8,2.由x2=2y,则 y ? x 2 , 所以y′=x, 所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,-2,所以过点 P,Q的抛物线的切线方程分别为y=4x-8,y=-2x-2,联立方程组 解得x=1,y=-4,故点A的纵坐标为-4.
1 2

4 3.(2013·泉州模拟)曲线 y ? 1 x 3 ? x 在点 (1, ) 处的切线与坐 3 3

标轴围成的三角形的面积为(

)
2 3

?A?

1 9

? B?

2 9

?C?

1 3

?D?

【解析】选A.∵y′=x2+1,
4 处的斜率为2. ∴切线在点 (1, ) 3 4 ∴切线方程为: y ? ? 2 ? x ? 1? , 3

其与x,y轴的交点分别为 (0, ? 2 ),( 1 ,0).
3 3

∴三角形的面积为 1 ? | ? 2 | ? 1 ? 1 .
2 3 3 9

4.(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切
线方程为__________. 【解析】函数的导数为y′=3ln x+1+x·
3 =3ln x+4,所以在 x

点(1,1)处的切线的斜率为k=4,所以切线方程为y-1=4(x-1), 即y=4x-3. 答案:y=4x-3

5.(2013·福州模拟)如图所示,函数y=f(x)的图象在点P处的
切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=______.

【解析】由图易知,P点的坐标为(5,3),即f(5)=3,
由导数的几何意义知,f′(5)=-1, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2

1.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横 坐标为xn,则x1·x2·?·xn的值为( (A) 1
n

)

(B) 1 (D)1

n ?1

(C)

n n ?1

【解析】选B.对y=xn+1(n∈N*)求导得y′=(n+1)xn,令x=1得在
点(1,1)处的切线的斜率k=n+1,在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),由切线与x轴的交点横坐标为xn,不妨设y=0, 所以 x n ? n ,则x1·x2·?·xn= 1 ? 2 ? 3 ? …? n ? 1 ? n
n ?1 2 3 4 n ? 1 故选B. , n ?1 n ?1

2.若方程kx-ln x=0有两个不等实数根,则k的取值范围是___. 【解析】令y=kx,y=ln x.若方程kx-ln x=0有两个不等实数 根,则直线y=kx与曲线y=ln x有两个不同的交点.故直线y=kx 应介于x轴和曲线y=ln x过原点的切线之间.设曲线y=ln x过原 点的切线的切点为(x0,ln x0).又f′(x0)= 1 , 故切线方程为
x0

y-ln x0= 1 ? x ? x 0 ?,将原点代入得x0=e,此时f′(x0)= 1 ? 1,
x0
x0 e

故所求k的取值范围是 (0, 1 ).
e 1 答案: (0, ) e


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