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2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解


2015 年全国高中数学联赛 山东赛区预赛试题详解
2015 年 9 月 6 日 一、填空题(本题共 10 小题,每小题 8 分,共 80 分) 1.复数 z 满足 z ? 5 ,且 ? 3 ? 4i ? z 是纯虚数,则 z ? _________________________________________________ . 解析:由已知得: ? 3 ? 4i

? z ? 3 ? 4i z ? 25 ,故 ? 3 ? 4i ? z ? ?25i , 于是 z ?

?25i 25i 3 ? 4i ?? ? ? ? 4 ? 3i ? ,因此 z ? ? ? 4 ? 3i ? . 3 ? 4i 3 ? 4i 3 ? 4i

2.方程 sin 4 x ? cos4 x ? 1 的解为 _________________________________________________ . 解析:由于 sin x ? cos x ? sin x ? cos x sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? ? cos 2 x ,
4 4 2 2 2 2 2 2

?

??

?

故 cos 2 x ? ?1,∴ 2 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? ,因此 x ? k? ?

?
2

?k ? Z ? .

法二:由己知得: sin 4 x ? 1 ? cos4 x ? 1,又 sin 4 x ? 1 ,∴ sin 4 x ? 1,cos 4 x ? 0 , ∴ sin x ? ?1,cos x ? 0 ,因此 x ? k? ? 3.设函数 f ? x ?

?
2

?k ? Z ? .

? x ? 1? ?

? sin x 的最大值是 M ,最小值是 N ,则 M ? N ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x ?1
2

2

解析:由已知得: f ? x ? ? 1 ?

2 x ? sin x 是奇函数,最大值与最小值是相反数, x2 ? 1

故 ? M ? 1? ? ? N ? 1? ? 0 ,∴ M ? N ? 2 . 4.如图, O 是半径为 1 的球的球心, 点 A, B, C 在球面上, OA, OB, OC 两两垂直,

E , F 分别是 ?AOB, ?AOC 对应的 AB, AC 的中点,
则点 E , F 在该球面上球面距离是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析:由已知得:面 OAB⊥面 OAC, 作 EM⊥OA 于 M,连接 MF,则 EM⊥MF 且 MF⊥OA, 由已知得:∠EOM=∠FOM=

? 2 ,∴ME=MF= ,EF=1, 4 2

故 ?EOF 是等边三角形,因此∠EOF=

? ? ,从而点 E , F 在该球面上球面距离是 . 3 3

5.已知 x, y ? ? 0, ?? ? 且满足 x3 ? y 3 ? ?xy ? 1,则 x 2 y 的最大值是 _________________________________________________ . 解析:∵ x ? y ? ?xy ? ? x ? y ? ?? x ? y ? ? 3xy ? ? ?xy ? ? x ? y ? ? 3xy ? x ? y ? ,
3 3 2 3

?

?

∴ ? x ? y ? ? 1 ? 3xy ? x ? y ? 1? ,∴ ? x ? y ? 1? ?? x ? y ? ? ? x ? y ? ? 1? ? 3xy ? x ? y ? 1? ,
3

2

?

?

∴ ? x ? y ? 1? ?? x ? y ? ? ? x ? y ? ? 1 ? 3xy ? ? 0 ,
2

?

?

∵ ? x ? y ? ? ? x ? y ? ? 1 ? 3xy ? 4 xy ? ? x ? y ? ? 1 ? 3xy ? xy ? ? x ? y ? ? 1 ? 1 ? 0 ,
2

∴ x ? y ? 1 ? 0 ,∴ y ? 1 ? x ,

?x x ? ? 2 ? 2 ? ?1 ? x ? ? x x 4 2 于是 x y ? 4 , ?1 ? x ? ? 4 ? ? ? 2 2 3 27 ? ? ? ?
当且仅当

3

x 2 1 4 ? 1 ? x 即 x ? , y ? 时等号成立,因此 x 2 y 的最大值是 . 2 3 3 27

6.将正整数列 ?1, 2,3,

? 中的所有完全平方数去掉后仍按原顺序构成数列 ?an ? ,

则 a2015 ? _________________________________________________ . 解析:依题意知:若 k ? an ? ? k ? 1?
2 2

? k ? N *? ,则 an ? n ? k ,

由 k ? 2015 ? k ? ? k ? 1?
2

2

? k ? N *? 解得: k ? 45 ,因此 a2015 ? 2060 .

7.把 1,2,3,4,5,6 这六个数随机排成一列组成一外数列,要求该数列恰好先增后减, 这样的数列共有 _________________________________________________ 个. 解析:按此数列中在数字 6 两边的个数可分为: 6 右边 1 个数时符合条件的数列有 C5 个,6 右边 2 个数时符合条件的数列有 C5 个, 6 右边 3 个数时符合条件的数列有 C5 个,6 右边 4 个数时符合条件的数列有 C5 个, 因此符合条件的数列共有 C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? 30 个.
1 2 3 4

1

2

3

4

8.设 a ? 1 ,若关于 x 的方程 a x ? x 无实根,则实数 a 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
x 解析:由 y ? a 和 y ? x 的图象可知:若 a ? x ? a ? 1? 无实根,则 a x ? x ? 0 恒成立,

x

设 f ? x ? ? a ? x ,则 f ' ? x ? ? a ln a ? 1 ,
x x

由 f ' ? x ? ? 0 得: x ? ? log a ln a ,由 f ' ? x ? ? 0 得: x ? ? log a ln a , 于是 f ? x ? 在 ? ??, ? log a ln a ? 上递减,在 ? ? log a ln a, ?? ? 上递增, ∴ f ? x ? 在 x ? ? log a ln a 处取得最小值 f ? ? log a ln a ? ?

1 ? log a ln a ? loga ? e ln a ? , ln a
1 1 ,∴ e . a ? e e

因此只须 f min ? x ? ? 0 ,即 log a ? e ln a ? ? 0 ,∴ e ln a ? 1 ,∴ ln a ? 9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 满足 A ? B ? C 且

sin A ? sin B ? sin C ? 3, cos A ? cos B ? cos C

则 ?B ? _________________________________________________ .(培优教程一试三角函数最后一节的习题 8) 解析:原式可化为: sin A ? 3 cos A ? sin B ? 3 cos B ? sin C ? 3 cos C ? 0 , ∵ sin A ?

?

? 3 cos A? ? ? sin B ?

? ? 3 cos B ? ? ?sin C ?

? ? 3 cos C ?

?

?? ?? ?? ? ? ? ? 2sin ? A ? ? ? 2sin ? B ? ? ? 2sin ? C ? ? 3? 3? 3? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? 2sin ? A ? ? ? 2sin ? B ? ? ? 2sin ?? A ? ? ? ? B ? ? ? 3? 3? 3? ? 3 ?? ? ? ??
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? A? ???B ? ? ? A? ???B ? ? ? A? ??? B ? ? ? A? ??? B ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? ? 4sin cos ?4sin ? cos 2 2 2 2 ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? A? ???B ? ? ? ? A? ??? B ? ? ? A? ??? B ? ?? 3? ? 3? 3? ? 3? 3? ? 3? ?cos ? ? ? 4sin ? ? cos ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ?

? ?8sin

C? 2

?
3 sin

A? 2

?
3 sin

B? 2

?
3



C? sin 2

?
3 sin

A? 2

?
3 sin

B? 2


?

? 3 ? 0 ,故角 A, B, C 中必有一个角为 , 3

又 A ? B ? C ,因此 B ? 10.已知集合 M ? ?1, 2, 最小数为 ? ,则 E? ?

?
3

,99? ,现随机选取集合 M 中 9 个元素做成子集,记该子集中的

_________________________________________________ .

8 解析:集合 M 中以正整数 k ?1 ? k ? 99 ? 为最小数的 9 元子集有 C99? k 个,

故 E? ? 1

8 8 8 8 C98 C97 C96 C95 ?2 ?3 9 ?4 ? 9 9 9 C99 C99 C99 C99
8 8 8 ? C8 ? C96 ? ? ? ?C97

8 C8 ? 91 9 C99
8 ? C8 ?? 8 ? ? C8 ?

?

1 8 8 ? C 8 ? C97 ? C96 ? 9 ?? 98 C99

8 8 ? C8 ? ? ? ?C96

?

1 9 9 C 9 ? C98 ? C97 ? 9 ? 99 C99

9 ? C9 ??

10 C100 ? 10 . 9 C99

二、解答题(本大题共 4 个小题,共 70 分,需写出详细的解答过程) 11.(本小题满分 15 分)求证:不存在这样的函数 f : z ? ?1, 2,3? 满足对任意的整数

x, y ,若 x ? y ??2,3,5? ,则 f ? x ? ? f ? y ? .
解析:假设存在这样的函数 f : z ? ?1, 2,3? , 则对任意正整数 n , f ? n ? 与 f ? n ? 2 ? , f ? n ? 3? , f ? n ? 5? 均不相同,…………(*) 由于函数值域中只有三个值,且 f ? n ? 占用了一个值, 因此 f ? n ? 2 ? , f ? n ? 3? , f ? n ? 5? 中至少有两个是相同的, 若 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 3? ,则 f ? n ? 为常数函数,函数值只有一个,与(*)式矛盾; 若 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 5? ,则 f ? n ? ? f ? n ? 3? ,与(*)式矛盾; 若 f ? n ? 3? ? f ? n ? 5? ,则 f ? n ? ? f ? n ? 2 ? ,与(*)式矛盾; 因此假设不成立,即不存在这样的函数 f . 法二:假设存在这样的函数 f : z ? ?1, 2,3? , 则对任意正整数 n , f ? n ? 与 f ? n ? 2 ? , f ? n ? 3? , f ? n ? 5? 均不相同,…………(*) 由于函数值域中只有三个值, 因此 f ? n ? , f ? n ? 2 ? , f ? n ? 3? , f ? n ? 5? 中至少有两个是相同的, ∵ f ? n ? ? f ? n ? 2 ? ∴ f ? n ? 3? ? f ? n ? 5 ? , ∵ f ? n ? ? f ? n ? 3? ∴ f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 5 ? , 又 f ? n ? ? f ? n ? 5? ,故必有 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 3? ,由此得: f ? n ? 3? ? f ? n ? 4 ? , ∴ f ? n ? 2? ? f

?? n ? 2? ? 2? ,与(*)式矛盾,

因此假设不成立,即不存在这样的函数 f . 12.(本小题满分 15 分)对任意的实数 x 和自然数 n ,

试比较 n sin 2 x 和 sin x sin nx 的大小. 解析:下面先证明 n sin x ? sin x sin nx ? sin x ? n sin x ? sin nx ? ? 0 .
2

当 sin x ? 0 时,结论显然成立; 当 sin x ? 0 时,下面用数学归纳法证明

sin nx ? n 成立; sin x
sin kx ? k 成立, sin x

当 n ? 1 时,结论显然成立;假设当 n ? k 时,结论成立,即

那么当 n ? k ? 1 时,

sin ? k ? 1? x sin kx cos x ? cos kx sin x sin kx ? ? cos kx ? cos x sin x sin x sin x

? cos kx ? cos x

sin kx ? 1 ? k ,因此当 n ? k ? 1 时结论成立; sin x

由数学归纳法可知:

sin nx ? n ,对任意自然数 n 都成立, sin x



sin x sin nx sin x sin nx 2 ? n即 ? n ,∴ n sin x ? sin x sin nx ? sin x sin nx , 2 2 sin x sin x

综上所述,对任意的实数 x 和自然数 n ,都 有 n sin 2 x ? sin x sin nx 成立. 13.(本小题满分 20 分)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ,不过原点的直线 l 和椭圆相交于两点 a 2 b2

A,B,⑴求△AOB 面积的最大值;⑵是否存在椭圆 C2 ,使得对于 C2 的每一条切线和椭圆

C1 均相交,设交于 A,B 两点,且△AOB 的面积恰取最大值?若存在,给出该椭圆,若不
存在,说明理由. 解析:⑴若直线 l 斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,代入到椭圆方程得:

?a k
2

2

? b2 ? x 2 ? 2a 2 kmx ? a 2 m2 ? a 2b2 ? 0 ,

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有 x1 ? x2 ? ? 故 AB ? 1 ? k
2

2a 2 km a 2 m2 ? a 2b 2 , , x x ? 1 2 a 2 k 2 ? b2 a 2 k 2 ? b2
2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

2ab a k 2 ? b2

1? k 2

a 2 k 2 ? b 2 ? m2 ,

原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

m 1? k 2
2

,于是△AOB 的面积为

S?AOB

1 ab ? AB d ? 2 2 2 2 a k ?b

m2 ? ? a 2 k 2 ? b2 ? m2 ? ab ab m ?a k ? b ? m ? ? 2 2 2 ? a k ?b 2 2
2 2 2 2

因此对任意的 k ,都有 S?AOB ?

ab ,等号成立当且仅当 a 2 k 2 ? b2 ? 2m2 ; 2

若直线 l 斜率不存在,设 l 的方程为 x ? x0 ,则 A、B 两点的坐标为 ? x0 , ? 于是△AOB 的面积为

? ?

b 2 ? a ? x0 2 ? , a ?

S?AOB

2 2 2 b b x0 ? ? a ? x0 ? ab ,等号成立当且仅当 a 2 ? 2 x 2 ; 2 2 2 ? x0 ? a ? x0 ? ? ? 0 a a 2 2

综上所述,△AOB 面积的最大值是

ab ; 2

⑵设满足条件的椭圆 C2 的方程为 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 ,过椭圆 C2 上任一点 P ? x0 , y0 ? 的切线 a2 2 b2 2

方程为

x0 x y0 y ? ? 1,该切线与椭圆 C1 相交于 A,B 两点, a2 2 b2 2

2 2 ①当切线的斜率不存在时, y0 ? 0 , x0 ? a2 ,切线方程为 x ? x0 ,

由⑴知△AOB 面积取得最大值
2 2

ab 2 2 的充要条件是 a ? 2 x0 , 2 1 2 a ; 2

可得: a ? 2a2 ,解得: a2 ?
2

y0 2 ? b2 2 x0 b2 2 2 2? x ? a 1 ? m ? k ? ? ②当切线的斜率存在时, 0 ,纵截距 , 2 ? 2 ? ,切线的斜率 y0 a2 2 y0 ? b2 ?


a 2 k 2 ? b2 ?

a 2b2 4 x0 2 ? b2 ? 4 2 a2 y0

2a2 2b2 4

a2 2 2 ?b2 ? y02 ? b2 2 2b2 4 , 2 ? b ? ? 2b2 2 ? b 2 4 2 2 a2 y0 y0

由⑴知△AOB 面积取得最大值

ab 的充要条件是 a 2 k 2 ? b2 ? 2m2 , 2

2b2 4 2b2 4 1 2 2 ? 2 b ? b ? b 2 ? b2 ; 可得: 2 2 2 ,解得: 2 y0 y0 2
综上所述,存在椭圆 C2 :

x2 y 2 1 ? ? 符合题意,满足对于椭圆 C2 的每一条切线和椭圆 C1 a 2 b2 2
ab . 2
1 ? n ? N *? , an 2

都相交,设交点为 A,B,这时△AOB 的面积恰取最大值

14.(本小题满分 20 分)已知数列?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ?
3

⑴求证:当 n ? 2 时, an ? 3n ;⑵当 n ? 4 时,求 a9 n3 的整数部分 ? ? a9 n3 ? ?. 解析:由 a1 ? 1, an ?1 ? an ?

1 ? 0 可知:数列 ?an ? 是正项递增数列, an 2

⑴当 n ? 2 时, a2 ? 2, a2 ? 8 ,满足 an ? 3n ,
3 3 3 假设当 n ? k ? k ? 2, k ? N *? 时命题成立,即 ak ? 3k ,则当 n ? k ? 1 时,

a

3 k ?1

? 1 ? 3 1 ? ? ak ? 2 ? ? ak 3 ? 3 ? 3 ? 6 ? ak 3 ? 3 ? 3k ? 3 ? 3 ? k ? 1? , ak ? ak ak ?

3

故当 n ? k ? 1 时命题成立, 由数学归纳法知:对任意正整数 n ? 2 , an ? 3n 都成立;
3

⑵由⑴知当 n ? 2 时, a9 n3 当 n ? 4 时,
3 3

?

?

3

? 3 ? 9n3 ? 27n3 ,故 a9 n3 ? 3n ,……………………(*)

1 1 ? 且 n ? 2 n ? n ? n ?1 , 3 an 3n 3 1 ? 6 ,依次代入 1, 2,3, 3 an an
, n ,然后累加可得:

由 an ?1 ? an ? 3 ?

? 1 1 1 1 1 an ?13 ? a13 ? 3n ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? a1 a2 a3 a4 a5 ? 1 1 1 ? ? 1 1 ? a13 ? 3n ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? a1 a2 a3 ? ? a4 a5
1 1 ?1 1 ? 1 ? 3n ? ?? ? ? ? ? 2 3 ?4 5

? ?

1 ? ? 1 1 1 ? 6? 6? 6? 3 ? ? an ? ? a1 a2 a3

? ?

1 ? ? an 6 ?

1 ? 1 ? 1 1 ? 6 ?? 6 ? 6 ? 3 ? an ? a1 ? a2 a3
? 1 ? ? n2 ?

1 ? ? an 6 ?

1? 1? 1 1 ? ? ?1? ? 2 ? 2 ? n? 9?2 3

1 1 ? 1 1 ? 1 ? 3n ? ?? ? ? ? ? 2 3 ? 4? 3 5? 4
1 1 ? 1 ? 3n ? ?? ? ? 2 3
3 3

?

1? 1 1 ? ? ? ? ?1? 9 ? ? 1 ? 2 2 ? 3 n ? n ?1 ? ? 1

?

1 ? ? ? n ?1? n ? ?

?

1? 1? n ? 3 ? 1 ? ?1 ? ? ? 3n ? 5 ? n , 9? n?
3 3 2 3 2 3

?

∴ an ? an?1 ? 3n ? 5 ? n , a9 n3 ? 27n ? 3n ? 5 ? 27n ? 3n ? 9n ? 1 ? ? 3n ? 1? , ∴ a9 n3 ? 3n ? 1,………………………………………………………………………(**) 因此由(*)与(**)两式可得: ? ? a9 n3 ? ? ? 3n .


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