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高三-高考真题理科数学(1)


2016 年高考真题 理科数学 (北京卷)

理科数学
考试时间:____分钟
题型 得分 单选题 填空题 简答题 总分

单选题 (本大题共 8 小题,每小题____分,共____分。)

1.已知集合 A. B. C. D.



,则

()

2.若



满足

,则

的最大值为()

A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 3.执行如图所示的程序框图,若输入的 值为 1,则输出的 值为()

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.设 , 是向量,则“ ”是“ ”的()

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知 , ,且 ,则()

A.

B.

C.

D. 6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()

A.

B.

C. D. 7.将函数 ,若 位于函数 图象上的点 向左平移 ( ) 个单位长度得到点

的图象上,则()

A.

, 的最小值为

B.

, 的最小值为

C.

, 的最小值为

D.

, 的最小值为

8.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意 取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则 就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则() A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球 D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

填空题 (本大题共 6 小题,每小题____分,共____分。)

9.设 ,若复数 _______________. 10.在 的展开式中,

在复平面内对应的点位于实轴上,则

的系数为__________________.(用数字作答) 与圆 交于 A,B 两点,则

11.在极坐标系中,直线 ______. 12.已知 为等差数列, 为其前 项和,若



,则

_______..

13.双曲线





)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线, _______________.

点 B 为该双曲线的焦点,若正方形 OABC 的边长为 2,则

14.设函数

.

①若 ②若

,则

的最大值为______________;

无最大值,则实数 的取值范围是________.

简答题(综合题) (本大题共 6 小题,每小题____分,共____分。)



ABC 中,

.

15.求 16.求

的大小; 的最大值.

A、B、C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分 学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时);

17.试估计 C 班的学生人数; 18.从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记 为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; 19.再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25 (单位:小时),这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 数据的平均数记为 如图,在四棱锥 , , , ,试判断 和 的大小,(结论不要求证明) 平面 , , , ,表格中

中,平面

.

20.求证: 21.求直线 22.在棱

平面 与平面 上是否存在点

; 所成角的正弦值; ,使得 平面 ?若存在,求 的值;若不存

在,说明理由.

设函数 23.求 , 24.求 的值; 的单调区间.

,曲线

在点

处的切线方程为



已知椭圆 C: ,

( 的面积为 1.

)的离心率为







25.求椭圆 C 的方程; 26.设 求证: 设数列 A: , 的椭圆 上一点,直线 为定值. ,? ( ).如果对小于 ( )的每个正整数 都有 与 轴交于点 M,直线 PB 与 轴交于点 N.

< ,则称 组成的集合.

是数列 A 的一个“G 时刻”.记“

是数列 A 的所有“G 时刻”

27.对数列 A:-2,2,-1,1,3,写出 28.证明:若数列 A 中存在 29.证明:若数列 A 满足 . 使得 >

的所有元素; ,则 ; 的元素个数不小于

≤1(n=2,3, ?,N),则

答案
单选题 1. C 2. 填空题 9. . 10. 60.11. 2 12. 6 13. 2 14. , 简答题 15. (1) 16. (2) . 17. (1)40; 18. (2) 19. . ; ; . C 3. B 4. D 5. C 6. A 7. A 8. B

20. 见解析; 21.



22. 存在, 23. (Ⅰ) 24. (2) 25. 的单调递增区间为 . , ;

(1)



26. 详见解析. 27. (1) 28. 详见解析; 29. 详见解析. 的元素为 和 ;

解析
单选题 1.

由 2.

,故选 C

作出如图可行域,则当 z=2x+y 经过点 P 时,取得最大值,而 P(1,2),所以最大值为 4, 故选 C.

3. 输入 ,则 , ,否, ,选 B. ; , ,否, , ,此时 ,输

进入循环体, 出 4. ,则

,故是既不充分也不必 要条件,故选 D 5.

A:由

,得

,即

,A 不正确;

B:由

及正弦函数

的单调性,可知

不一定成 立;

C:由



,得

,故

,C 正确;

D:由 6.

,得

,不一定大于 1,故

不一定成立,故选 C.

分析三视图可知,该几何体为一三棱锥

,其体积

,故选 A.

7.

个单位,故选 A 8. 解:取两个球共有 4 种情况: ①红+红,则乙盒中红球数加 1 个; ②黑+黑,则丙盒中黑球数加 1 个; ③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加 1 个; ④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加 1 个. 设一共有球 2a 个,则 a 个红球,a 个黑球,甲中球的总个数为 a,其中红球 x 个,黑球 y 个,x+y=a. 则乙中有 x 个球,其中 k 个红球,j 个黑球,k+j=x; 丙中有 y 个球,其中 l 个红球,i 个黑球,i+l=y; 黑球总数 a=y+i+j,又 x+y=a,故 x=i+j 由于 x=k+j,所以可得 i=k,即乙中的红球等于丙中的黑球. 故选 B. 填空题 9. ,故填: 10. .

根据二项展开的通项公式 11.

可知,

的系数为

,故填:

.

因此 AB=2,故填 2 12. ∵ ∴ 13. 是等差数列,∴ , , , ,

,故填:6.

14. 如图作出函数 ,由 与直线 ,知 的图象,它们的交点是 是函数 的极大值点, , ,

①当

时,

,因此

的最大值是



②由图象知当

时, 有最大值是 ;只有当 ,因此 无最大值,∴所求 的范围是

时,由 ,故填: ,



简答题 15. (1)根据余弦定理公式求出 cosB 的值,进而根据 B 的取值范围求 B 的大小;

16.

17. (1)由已知可得,抽出的 20 名学生中,来自 C 班的学生有 8 名,根据分层抽样方法,C 班的学生

18.

19.

20. (1)

21.

22. 设 是棱 上一点,则存在 使得 . 平面 ,所以 平面 当且仅当 , .

因此点 因为



,解得

.[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

所以在棱 23.

上存在点

使得

平面

,此时

.

24.

从而 综上可知, ,

. ,故 的单调递增区间为 .

25.

(1)

26. (2)由(Ⅰ)知, ,

27. (1)G(A)的元素为 2 和 5. 28.

29.

设 则 对 如果 从而 又因为 是 ,记 ,取 且 . 中的最大元素,所以 , .

,记

.

. ,则对任何 .

. .

从而对任意

,特别地,


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