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2011年高考第一轮复习:第二编 函数与基本初等函数


第二编
§ 2.1

函数与基本初等函数Ⅰ
函数及其表示

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2010· 佛山调研)下列四组函数中,表示同一函数的是 ( ) A.y=x-1 与 y= (x-1)2 x-1 B.y= x-1与 y= x-1 C.y=4lg x 与 y=2lg x2 x D.y=lg x-2

与 y=lg 100 解析 ∵y=x-1 与 y= (x-1)2=|x-1|的对应法则不同,故不是同一函数;y= x-1 x-1 (x≥1)与 y= (x>1)的定义域不同,∴它们不是同一函数;又 y=4lg x (x>0)与 y=2lg x-1 x x2(x≠0)的定义域不同,因此它们也不是同一函数,而 y=lg x-2(x>0)与 y=lg =lg x 100 -2 (x>0)有相同的定义域、值域与对应法则,故它们是同一函数. 答案 D ?1x+1, x≤0, ? 2.(2009· 临沂 3 月模拟)已知 f(x)=?2

?-(x-1)2, x>0, ?

使 f(x)≥-1 成立的 x 的取值范围是 A.[-4,2) C.(0,2] B.[-4,2] D.(-4,2]

(

)

?x≤0, ? 解析 ∵f(x)≥-1,∴?1 ?2x+1≥-1 ?
?x>0, ? 或? 2 ? ?-(x-1) ≥-1, ∴-4≤x≤0 或 0<x≤2,即-4≤x≤2. 答案 B

3. (2010· 茂名模拟)已知函数 f(x)=lg(x+3)的定义域为 M, g(x)= 等于 A.{x|x>-3} C.{x|x<2} 解析 M={x|x>-3},N={x|x<2}. ∴M∩N={x|-3<x<2}.
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1 的定义域为 N, M∩N 则 2-x ( )

B.{x|-3<x<2} D.{x|-3<x≤2}

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答案 B
2 ? x≤1, ?1-x , 1 4.(2008· 山东)设函数 f(x)=? 2 则 f?f(2)?的值为( ) ? ? ?x +x-2, x>1, ? 15 27 8 A. B.- C. D.18 16 16 9 1 1 15 解析 f(2)=4,f?4?=1- = . ? ? 16 16 答案 A 5.(2008· 陕西)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则 f(-3)等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1 =f(0)+f(1),∴f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2×(-1)×1 =f(-1)+f(1)-2,∴f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2×(-2)×1 =f(-2)+f(1)-4,∴f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2×(-3)×1 =f(-3)+f(1)-6,∴f(-3)=6. 答案 C 6.(2009· 吉林一模)已知函数 f(x)的定义域为[-1,5].在同一坐标系下,函数 y=f(x)的图象与 直线 x=1 的交点个数为 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.0 个或 1 个均有可能 解析 ∵f(x)的定义域为[-1,5],而 1∈[-1,5], ∴点(1,f(1))在函数 y=f(x)的图象上. 而点(1,f(1))又在直线 x=1 上, ∴直线 x=1 与函数 y=f(x)的图象至少有一个交点(1,f(1)). 根据函数的定义知,函数是一个特殊的映射,即对于定义域[-1,5]中的任何一个元素,在 其值域中只有唯一确定的元素 f(1)与之对应,故直线 x=1 与 y=f(x)的图象有且只有一个 交点. 答案 B

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 温州模拟)某出租车公司规定“打的”收费标准如下:3 千米以内为起步价 8 元(即 行程不超过 3 千米,一律收费 8 元),若超过 3 千米除起步价外,超过部分再按 1.5 元/千 米收费计价, 若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱, 该乘客下车时乘车里 程数为 7.4,则乘客应付的车费是________元. 解析 车费为 8+(7.4-3)×1.5=14.6≈15(元). 答案 15 ?3x, x≤1, ? 8.(2009· 北京文,12)已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=______________. ? ?-x, x>1, 解析 当 x≤1 时,3x=2,∴x=log32; 当 x>1 时,-x=2,∴x=-2(舍去). 答案 log32 x-4 9.(2009· 广东六校联考)函数 f(x)= 的定义域为________________. |x|-5 解析 要使 f(x)有意义,

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?x-4≥0 ?x≥4 ? ? 则? ,∴? , ? ? 5 ?|x|-5≠0 ?x≠± ∴f(x)的定义域为{x|x≥4 且 x≠5}. 答案 {x|x≥4 且 x≠5} 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2009· 阳江第一学期期末)求下列函数的定义域: 2 (1)y= 25-x +lgcos x; (2)y=log2(-x2+2x). 2 ? ?25-x ≥0 解 (1)由? , ? ?cos x>0

?-5≤x≤5 ? 得? , π π ?2kπ-2<x<2kπ+2(k∈Z) ?
借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为 3π π π 3π [-5,- )∪(- , )∪( ,5]. 2 2 2 2 (2)-x2+2x>0,即 x2-2x<0,∴0<x<2, ∴函数的定义域为(0,2). 11.(13 分)(2009· 清远一模)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3 000 元时, 可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每 月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 3 600-3 000 解 (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,未租出的车辆数为 =12,所以这 50 时租出了 88 辆车. x-3 000? (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为 f(x)=?100- (x-150)- 50 ? ? x-3 000 ×50 50 x2 整理得 f(x)=- +162x-21 000 50 1 =- (x-4 050)2+307 050. 50 所以,当 x=4 050 时,f(x)最大, 最大值为 f(4 050)=307 050. 即当每辆车的月租金定为 4 050 元时, 租赁公司的月收益最大, 最大月收益为 307 050 元. 12.(14 分)(2010· 东莞模拟)已知 g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x)的最 小值为 1,且 f(x)+g(x)为奇函数,求函数 f(x)的表达式. 解 设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), 则 f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3, 又 f(x)+g(x)为奇函数, ∴a=1,c=3. b ∴f(x)=x2+bx+3,对称轴 x=- . 2 b 当- ≥2,即 b≤-4 时,f(x)在[-1,2]上为减函数, 2 ∴f(x)的最小值为 f(2)=4+2b+3=1. ∴b=-3.∴此时无解.

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b 当-1<- <2,即-4<b<2 时, 2 b b2 f(x)min=f?-2?=3- =1, ? ? 4 ∴b=± 2. 2 ∴b=-2 2,此时 f(x)=x2-2 2x+3, b 当- ≤-1,即 b≥2 时,f(x)在[-1,2]上为增函数, 2 ∴f(x)的最小值为 f(-1)=4-b=1. ∴b=3.∴f(x)=x2+3x+3. 综上所述,f(x)=x2-2 2x+3, 或 f(x)=x2+3x+3.

§ 2.2

函数的单调性与最大(小)值

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) b 1.(2010· 佛山模拟)若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx 在(0, x +∞)上是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 b 解析 ∵y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数, x b ∴a<0,b<0,∴y=ax2+bx 的对称轴方程 x=- <0, 2a ∴y=ax2+bx 在(0,+∞)上为减函数. 答案 B ?-x+3a, x<0, ? 2.(2010· 安庆一模)函数 f(x)=? x (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的 ? ?a , x≥0 取值范围是 ( ) 1 A.(0,1) B.?3,1? ? ? 1? 2? C.?0,3? D.?0,3? ? ? 解析 据单调性定义,f(x)为减函数应满足: ?0<a<1, ? 1 ? 即 ≤a<1. 0 3 ? ?3a≥a , 答案 B 3.(2009· 东莞一模)下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 A.y=sin x B.y=-log2x 1?x 1 C.y=?2? D.y=x- ? 2 π π? 解析 ∵y=sin x 在?-2,2?上是增函数, ? ∴y=sin x 在(0,1)上是增函数. 答案 A
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(

)

?x2+4x,x≥0, ? 4.(2009· 天津理,8)已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围 2 ? ?4x-x ,x<0.

是 ( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) ?(x+2)2-4, x≥0, ? 解析 f(x)=? 由 f(x)的图象可知 f(x)在(-∞, +∞)上是单调递增 2 ?-(x-2) +4, x<0, ? 函数,由 f(2-a2)>f(a)得 2-a2>a,即 a2+a-2<0,解得-2<a<1. 答案 C 5.(2010· 淮南调研)若函数 f(x)=x3 (x∈R),则函数 y=f(-x)在其定义域上是 ( ) A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数 解析 f(x)=x3 (x∈R),则函数 y=f(-x)=-x3 (x∈R)显然在其定义域内是单调递减的奇 函数. 答案 B 6.(2010· 温州一模)函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 ( ) ?-∞,3? ?3,+∞? A.? B.?2 2? ? 3? 3 ? C.?-1,2? D.?2,4? ? ? 3 3 25 解析 函数 f(x)的定义域是(-1,4), u(x)=-x2+3x+4=-?x-2?2+ 的减区间为?2,4?, ? ? 4 ? ? 3 ∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为?2,4?. ? ? 答案 D 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 珠海调研)若函数 f(x)=(m-1)x2+mx+3 (x∈R)是偶函数,则 f(x)的单调减区间是 __________. 解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴(m-1)x2-mx+3=(m-1)x2+mx+3, ∴m=0.这时 f(x)=-x2+3, ∴单调减区间为[0,+∞). 答案 [0,+∞) 4x 8 . (2010· 尾 一 模 ) 若 函 数 f(x) = 2 汕 在 区 间 (m,2m + 1) 上 是 单 调 递 增 函 数 , 则 x +1 m∈__________. 4(1-x2) 解析 ∵f′(x)= 2 ,令 f′(x)>0,得-1<x<1, (x +1)2 ∴f(x)的增区间为(-1,1). 又∵f(x)在(m,2m+1)上单调递增, ?m≥-1, ? ∴? ∴-1≤m≤0. ? ?2m+1≤1, ∵区间(m,2m+1)中 2m+1>m,∴m>-1. 综上,-1<m≤0. 答案 (-1,0] 9.(2009· 山东实验中学第一次诊断)已知定义域为 D 的函数 f(x),对任意 x∈D,存在正数 K, 都有|f(x)|≤K 成立,则称函数 f(x)是 D 上的“有界函数”.已知下列函数:①f(x)=2sin x;

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②f(x)= 1-x2;③f(x)=1-2x;④f(x)=

x ,其中是“有界函数”的是________.(写 x2+1

出所有满足要求的函数的序号) 解析 ①中|f(x)|=|2sin x|≤2,②中|f(x)|≤1; |x| 1 1 ④|f(x)|= 2 = ≤ (x≠0), 1 2 x +1 |x|+ |x| 1 当 x=0 时,f(x)=0,总之,|f(x)|≤ ; 2 ③f(x)<1,∴|f(x)|→+∞,故填①②④. 答案 ①②④ 三、解答题(共 40 分) 1 10.(13 分)(2010· 芜湖一模)判断 f(x)= 在(-∞,0)∪(0,+∞)上的单调性. x 解 ∵-1<1,f(-1)=-1<f(1)=1, ∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数. 1 ∵-2<-1,f(-2)=- >f(-1)=-1, 2 ∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增函数. ∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性. x 11.(13 分)(2010· 青岛调研)已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. (1)证明 任设 x1<x2<-2, 2(x1-x2) x1 x2 则 f(x1)-f(x2)= - = . x1+2 x2+2 (x1+2)(x2+2) ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1<x2,则 a(x2-x1) x1 x2 f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a (x1-a)(x2-a) ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1. x 12.(14 分)(2009· 宣城一模)f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f?y?=f(x)-f(y). ?? (1)求 f(1)的值; 1 (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f?x?<2. ? ? 解 (1)令 x=y,得 f(1)=0. 1 (2)由 x+3>0 及 >0,得 x>0, x 1 由 f(6)=1 及 f(x+3)-f?x?<2, ? ? 得 f[x(x+3)]<2f(6), 即 f[x(x+3)]-f(6)<f(6), x(x+3)? 亦即 f? ? 6 ?<f(6). 因为 f(x)在(0,+∞)上是增函数,

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x(x+3) 所以 <6, 6 -3-3 17 -3+3 17 解得 <x< . 2 2
? ? ? -3+3 17? ?. 综上所述,不等式的解集是?x|0<x< 2 ? ? ? ?

§2.3

函数的奇偶性

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1. (2010· 吉林模拟)已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 那么 a+b 的值是( ) 1 1 1 1 A.- B. C. D.- 3 3 2 2 ?a=1 ?a-1=-2a ? ? ? 解析 依题意得 ,∴? 3 , ? ?b=0 ? ?b=0 1 1 ∴a+b= +0= . 3 3 答案 B 2.(2009· 金华模拟)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 解析 ∵f(x)是偶函数且在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=f(-2)=0, 可画示意图如图所示,由图知 f(x)<0 的解集为(-2,2). 答案 D 1 3.(2009· 辽宁理,9)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f( )的 x 3 的取值范围是 ( ) 1 2? 1 2? A.?3,3? B.?3,3? ? ? 1 2 1 2 C.?2,3? D.?2,3? ? ? ? ? 1 解析 方法一 当 2x-1≥0,即 x≥ 时,因为 f(x)在[0,+∞)上单调递增,故需满足 2x 2 1 2 -1< ,即 x< , 3 3 1 2 所以 ≤x< . 2 3 1 1 1 当 2x-1<0,即 x< 时,由于 f(x)是偶函数,故 f(x)在(-∞,0]上单调递减,f?3?=f?-3?, ? ? ? ? 2 1 1 1 1 2 此时需满足 2x-1>- ,所以 <x< ,综上可得 <x< . 3 3 2 3 3 方法二 ∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-1|), 又∵f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,
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1 1 ∴不等式 f(2x-1)<f( )等价于|2x-1|< . 3 3 1 1 ∴- <2x-1< , 3 3 1 2 ∴ <x< . 3 3 答案 A f(x2)-f(x1) 4. (2009· 陕西文, 10)定义在 R 上的偶函数 f(x), 对任意 x1, 2∈[0, x +∞)(x1≠x2), 有 x2-x1 <0,则 ( ) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) f(x2)-f(x1) 解析 对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则 x2-x1 与 f(x2)-f(x1)异号, x2-x1 因此函数 f(x)在[0, +∞)上是减函数. f(x)在 R 上是偶函数, f(-2)=f(2), 又 故 由于 3>2>1, 故有 f(3)<f(-2)<f(1). 答案 A 5.(2009· 湖南示范性高中一模)函数 y=f(x)与 y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数, 2f(x) 对定义域中任意 x,有 f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,且 x≠0,g(x)≠1,则 F(x)= g(x)-1 +f(x) ( ) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 1 解析 由条件知 f(-x)=-f(x),g(-x)= , g(x) 2f(-x) -2f(x) ∴F(-x)= +f(-x)= -f(x) 1 g(-x)-1 -1 g(x) -f(x)· g(x)-f(x) f(x)g(x)+f(x) = = =F(x). 1-g(x) g(x)-1 答案 B - 6.(2009· 丽水模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2 x,则不等 1 式 f(x)<- 的解集是 ( ) 2 A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 1 -x 解析 当 x>0 时,1-2 =1- x>0 与题意不符, 2 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=1-2x, 又∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=1-2x, ∴f(x)=2x-1, 1 1 ∴f(x)=2x-1<- ,∴2x< ,∴x<-1, 2 2 1 ∴不等式 f(x)<- 的解集是(-∞,-1). 2 答案 A
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二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 福州模拟)已知函数 y=f(x)为奇函数,若 f(3)-f(2)=1,则 f(-2)-f(-3)=______. 解析 ∵f(x)为奇函数且 f(3)-f(2)=1, ∴f(-2)-f(-3)=f(3)-f(2)=1. 答案 1 8.(2010· 温州一模)设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如 图所示,则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

解析

由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象

关于坐标原点对称,由 y=f(x)在[0,5]上的图象,得它在[-5,0] 上的图象,如图所示.由图象知,使函数值 y<0 的 x 的取值 集合为(-2,0)∪(2,5). 答案 (-2,0)∪(2,5) 9.(2009· 山东理,16)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是 增函数,若方程 f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+ x2+x3+x4=________. 解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(4-x)=f(x).因此,函数 图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0,由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x).又因为 f(x)在区间 [0,2]上是增函数, 所以 f(x)在区间[-2,0]上也是增函数, 如图所示, 那么方程 f(x)=m(m>0) 在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2= -12,x3+x4=4,所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

答案 -8 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2010· 杭州模拟)设函数 f(x)=x2-2|x|-1 (-3≤x≤3), (1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域. (1)证明 ∵x∈[-3,3],∴f(x)的定义域关于原点对称. f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x), 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)解 当 x≥0 时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 当 x<0 时,f(x)=x2+2x-1 =(x+1)2-2, 即 f(x)=

?( x ? 1) 2 ? 2 ? ? ?( x ? 1) 2 ? 2 ?

(0 ? x ? 3) ( ?3 ? x ? 0 )

根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图. (3)解 函数 f(x)的单调区间为
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[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3]. f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数, 在[-1,0),[1,3]上为增函数. (4)解 当 x≥0 时,函数 f(x)=(x-1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(3)=2; 当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(-3)=2.故函数 f(x)的值域为[-2,2]. 11.(13 分)(2010· 湖州联考)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2 -x),求 f(x)的解析式. 解 ∵f(x)是奇函数,可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x), ∴-f(x)=xlg(2+x),即 f(x)=-xlg(2+x) (x>0). ? (x<0), ?-xlg(2-x) ∴f(x)=? ? ?-xlg(2+x) (x≥0). 即 f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R). a 12.(14 分)(2010· 舟山调研)已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 有 f(-x)=(-x)2=x2=f(x),∴f(x)为偶函数. a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R), x 若 x=± 1,则 f(-1)+f(1)=2≠0; ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述,当 a=0 时,f(x)为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)为非奇非偶函数. (2)设 2≤x1<x2, a a f(x1)-f(x2)=x2+ -x2- 1 x1 2 x2 x1-x2 = [x x (x +x )-a], x1x2 1 2 1 2 要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数, 必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4, 即 a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16, ∴a 的取值范围是(-∞,16].

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§2.4

指数与指数函数

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 3 6 4 3 4 1.(2010· 滨州一模)下列等式 6a3=2a; -2= (-2)2;-3 2= (-3)4×2中一定成立 的有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析 6 3 3 3 3 6a3= 6a≠2a; -2=- 2<0,

3 6 6 3 (-2)2= 22= 2>0,∴ -2≠ (-2)2;

4 4 4 4 -3 2<0, (-3)4×2>0,∴-3 2≠ (-3)4×2. 答案 A 2.(2009· 新乡模拟)函数 f(x)=ax-b 的图象如右图,其中 a、b 为常数,则下 列结论正确的是 ( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析 由图象得函数是减函数, ∴0<a<1. 又分析得,图象是由 y=ax 的图象向左平移所得, ∴-b>0,即 b<0.从而 D 正确. 答案 D 3.(2010· 菏泽联考)已知函数 y=4x-3×2x+3,当其值域为[1,7]时,x 的取值范围是( ) A.[2,4] B.(-∞,0] C.(0,1]∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 3?2 3 x x 2 x 解析 y=(2 ) -3×2 +3=?2 -2? + ∈[1,7], ? 4 3?2 ?1 25? x ∴?2 -2? ∈?4, 4 ?. ? 5 1 1 5 3 ∴2x- ∈?-2,-2?∪?2,2?. ? ? ? 2 ? ∴2x∈[-1,1]∪[2,4],∴x∈(-∞,0]∪[1,2]. 答案 D ?a (a≤b) ? 4.(2009· 温州模拟)定义运算:a*b=? , ?b (a>b) ? 如 1] ( ) A.R B.(0,+∞) C.(0,1] D.[1,+∞) x ? (x≤0) ?2 - 解析 f(x)=2x*2 x=? -x ,∴f(x)在(-∞,0]上是增函数,在(0,+∞)上是减函 ? (x>0) ?2 数,∴0<f(x)≤1. 答案 C

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1 ,则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) 2x+1 A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 1 解析 令 u(x)=2x+1,则 f(u)= .因为 u(x)在(-∞,+∞)上单调递增且 u(x)>1,而 f(u) u 1 1 = 在(1,+∞)上单调递减,故 f(x)= x 在(-∞,+∞)上单调递减,且无限趋于 0,故 u 2 +1 无最小值. 答案 A 1 x2 6.(2010· 湖州联考)函数 y= · (2a-3)- 的部分图象大致是如图所示的四个图象的一个, 2π 3 根据你的判断,a 可能的取值是 ( ) 5.(2009· 珠海模拟)若函数 f(x)=

A.

1 2

3 B. 2

C.2

D.4

解析 函数为偶函数,排除①②,又函数值恒为正值,则排除④,故图象只能是③,再根 据图象先增后减的特征可知 2a-3>1,即 a>2,符合条件的只有 D 选项,故选 D. 答案 D 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) - - 7.(2009· 青岛一模)若 f(x)=a x 与 g(x)=ax a (a>0 且 a≠1)的图象关于直线 x=1 对称,则 a =________. - 解析 g(x)上的点 P(a,1)关于直线 x=1 的对称点 P′(2-a,1)应在 f(x)=a x 上, - ∴1=aa 2.∴a-2=0,即 a=2. 答案 2 - 8.(2010· 济宁调研)设函数 f(x)=a |x| (a>0 且 a≠1),若 f(2)=4,则 f(-2)与 f(1)的大小关系 是__________. 1 - 解析 由 f(2)=a 2=4,解得 a= , 2 |x| ∴f(x)=2 ,∴f(-2)=4>2=f(1). 答案 f(-2)>f(1) 5-1 9.(2009· 江苏)已知 a= ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的大小 2 关系为________. 5-1 解析 ∵0<a= <1,∴函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数.又∵f(m)>f(n),∴m<n. 2 答案 m<n 三、解答题(共 40 分) 1 1 10.(13 分)(2010· 临沂月考)已知对任意 x∈R,不等式 2 >?2?2x2-mx+m+4 恒成立,求 2x +x ? ? 实数 m 的取值范围. 1 1 解 由题知:不等式?2?x2+x>?2?2x2-mx+m+4 对 x∈R 恒成立,∴x2+x<2x2-mx+m ? ? ? ? +4 对 x∈R 恒成立. ∴x2-(m+1)x+m+4>0 对 x∈R 恒成立. ∴Δ=(m+1)2-4(m+4)<0. ∴m2-2m-15<0.∴-3<m<5.
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11. 分)(2009· (13 中山一模)若函数 y=a2x+2ax-1(a>0 且 a≠1)在 x∈[-1,1]上的最大值为 14, 求 a 的值. 解 令 ax=t,∴t>0, y=t2+2t-1=(t+1)2-2, 则 其对称轴为 t=-1.该二次函数在[-1, +∞)上是增函数. 1 ①若 a>1,∵x∈[-1,1],∴t=ax∈?a,a?, ? ? 故当 t=a,即 x=1 时,ymax=a2+2a-1=14, 解得 a=3(a=-5 舍去). ②若 0<a<1,∵x∈[-1,1], 1 1 ∴t=ax∈?a,a?,故当 t= ,即 x=-1 时, ? ? a 1 ?2 1 1 y max=?a+1? -2=14.∴a= 或- (舍去). ? 3 5 1 综上可得 a=3 或 . 3

?cx+1 (0<x<c) ? 12.(14 分)(2009· 宁波模拟)已知函数 f(x)=? x ? ?2-c2+1 (c≤x<1)
(1)求常数 c 的值; 2 (2)解不等式 f(x)> +1. 8 解 (1)依题意 0<c<1,∴c2<c, 9 9 1 ∵f(c2)= ,∴c3+1= ,c= . 8 8 2 1 1 x+1 (0<x< ) 2 2 (2)由(1)得 f(x)= 1 - 2 4x+1 ( ≤x<1) 2

9 满足 f(c2)= . 8

? ? ?



2 +1 得 8 1 1 2 2 1 当 0<x< 时, x+1> +1,∴ <x< , 2 2 8 4 2 1 2 1 5 - 当 ≤x<1 时,2 4x+1> +1,∴ ≤x< . 2 8 2 8 2 5 综上可知: <x< , 4 8 由 f(x)> ∴f(x)>
? ? ? 2 2 5? +1 的解集为?x| <x< ?. 8 4 8? ? ? ?

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§2.5

对数与对数函数

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2009· 湖南文,1)log2 2的值为 A.- 2 解析 B. 2 1 C.- 2 1 D. 2

(

)

1 1 log2 2=log22 = . 2 2 答案 D 2.(2009· 广东文,4)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x) = ( ) 1 - A. x B.2x 2 2 1 C.log x D.log2x 2 解析 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数是 f(x)=logax,又 f(2)=1,即 loga2=1,所以 a =2,故 f(x)=log2x,故选 D. 答案 D 1 3.(2009· 辽宁文,6)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=?2?x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1).则 ? ? f(2+log23)= ( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 24 12 8 8 解析 因为 2+log23<4,故 f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23).又 3+log23>4, 1 1 1 1 故 f(3+log23)=?2?3+log23=?2?3·= . ? ? ? ? 3 24 答案 A 4.(2009· 韶关第一学期期末)已知 0<x<y<a<1,m=logax+logay,则有 ( ) A.m<0 B.0<m<1 C.1<m<2 D.m>2 解析 m=logaxy,∵0<x<y<a<1,∴0<xy<a2<1. ∴m>logaa2=2. 答案 D 5.(2010· 烟台一模)函数 y=f(x)的图象如下图所示,

1 则函数 y=log f(x)的图象大致是 2

(

)

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6.(2010· 绍兴模拟)函数 y=loga|x+b| (a>0,a≠1,ab=1)的图象只可能是

(

)

解析 由 a>0,ab =1 可知 b>0, 又 y=loga|x+b|的图象关于 x=-b 对称, 由图象可知 b>1,且 0<a<1,由单调性可知,B 正确. 答案 B 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2009· 江苏,11)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范 围是(c,+∞),其中 c=__________________________. 解析 ∵log2x≤2,∴0<x≤4.又∵A?B,∴a>4, ∴c=4. 答案 4 1 8.(2009· 嘉兴第一学期期末)计算:[(-4)3] +log525=________. 3 解析 原式=(-4)1+log552=-4+2=-2. 答案 -2 9.(2009· 台州第一学期期末)已知 0<a<b<1<c,m=logac,n=logbc,则 m 与 n 的大小关系是 ________. m 解析 ∵m<0,n<0, =logac· cb=logab<logaa=1,∴m>n. log n 答案 m>n 三、解答题(共 40 分) 1 1 10.(13 分)(2010· 巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列:log89,log79,log 3,log 29, 2 2 1?3 ?1?π ? , ?2? ?2? . 1 2 解 log 29=(-log29)2=log29, 2 在同一坐标系内作出 y=log8x,y=log7x,y=log2x 的图象如图所示,当 x=9 时,由图象 知 log29>log79>log89>1=log88,∴log29>log79>log89>1, 2

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即 log 1 9 ? log 7 9 ? log 8 9 ? 1 .
2 2

∵ y ? ( ) x 在 R 上是减函数, ∴1> ( ) 3 > ( ) π >0. 又 log 3<0, 综上: log 1 9 ? log 7 9 ? log 8 9( ) ? ( ) π ? log 1 3 .
2 3 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

? 2

11.(13 分)(2009· 邵阳模拟)若函数 y=lg(3-4x+x )的定义域为 M.当 x∈M 时,求 f(x)=2x 2 -3×4x 的最值及相应的 x 的值. 解 y=lg(3-4x+x2),∴3-4x+x2>0, 解得 x<1 或 x>3,∴M={x|x<1,或 x>3}, + f(x)=2x 2-3×4x=4×2x-3×(2x)2. x 令 2 =t,∵x<1 或 x>3, ∴t>8 或 0<t<2. 2 4 ∴f(t)=4t-3t2=-3?t-3?2+ (t>8 或 0<t<2). ? ? 3 由二次函数性质可知: 4 当 0<t<2 时,f(t)∈?0,3?, ? ? 当 t>8 时,f(x)∈(-∞,-160), 2 2 4 当 2x=t= ,即 x=log2 时,f(x)max= . 3 3 3 2 4 综上可知:当 x=log2 时,f(x)取到最大值为 ,无最小值. 3 3 x 12.(14 分)(2009· 四平期末)已知函数 f(x)=3 ,f(a+2)=18,g(x)=λ·ax-4x 的定义域为[0,1]. 3 (1)求 a 的值; (2)若函数 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数 λ 的取值范围. + 解 方法一 (1)由已知得 3a 2=18?3a=2?a=log32. (2)由(1)得 g(x)=λ·x-4x,设 0≤x1<x2≤1, 2 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以 g(x1)-g(x2)=(2x1-2x2)(λ-2x2-2x1)>0 恒成立,即 λ<2x2+2x1 恒成立. 由于 2x2+2x1>20+20=2, 所以,实数 λ 的取值范围是 λ≤2. + 方法二 (1)由已知得 3a 2=18?3a=2?a=log32. x x (2)由(1)得 g(x)=λ· -4 , 2 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以有 g′(x)=λln 2·x-ln 4·x 2 4 x 2 x =ln 2[-2· ) +λ· ]≤0 成立. (2 2 设 2x=u∈[1,2],上式成立等价于-2u2+λu≤0 恒成立.因为 u∈[1,2],只需 λ≤2u 恒成 立,所以实数 λ 的取值范围是 λ≤2.

2



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§ 2.6

一次函数、二次函数与幂函数

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2009· 菏泽重点中学阶段性练习)下列函数: 1 3 ①y= 3;②y=3x-2;③y=x4+x2;④y= x2, x 其中幂函数的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 -3 解析 ∵①中 y=x ;④中 y=x 符合幂函数定义;而②中 y=3x-2,③中 y=x4+x2 不 3 符合幂函数的定义. 答案 B 9 2.(2010· 淄博一模)函数 f(x)=|x| (n∈N*,n>9)的图象可能是 ( ) n

9 9 解析 ∵f(-x)=|-x| =|x| =f(x), n n ∴函数为偶函数,图象关于 y 轴对称,故排除 A、B. 1 1 令 n=18,则 f(x)=|x| ,当 x≥0 时,f(x)=x ,由其在第一象限的图象知选 C. 2 2 答案 C 3.(2009· 湖北理,9)设球的半径为时间 t 的函数 R(t).若球的体积以均匀速度 c 增长,则球 的表面积的增长速度与球半径 ( ) A.成正比,比例系数为 c B.成正比,比例系数为 2c C.成反比,比例系数为 c D.成反比,比例系数为 2c 4 解析 ∵V= πR3(t),∴V′(t)=4πR2(t)· R′(t)=c. 3 c ∴R′(t)= .∵S(t)=4πR2(t), 4πR2(t) c 2c ∴S′(t)=8πR(t)R′(t)=8πR(t)· 2 = . 4πR (t) R(t) 答案 D 4.(2009· 云浮联考)函数 f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1 的定义域被分成了四个不同的单调区间,
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则实数 a 的取值范围是 ( ) 2 1 3 A.a> B. <a< 3 2 2 1 1 C.a> D.a< 2 2 解析 f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1 是由函数 f(x)=-x2+(2a-1)x+1 变化得到,第一步保留 y 轴右侧的图象,再作关于 y 轴对称的图象.因为定义域被分成四个单调区间,所以 f(x) =-x2+(2a-1)x+1 的对称轴在 y 轴的右侧, y 轴右侧有两个单调区间, 使 对称后有四个 2a-1 1 单调区间.所以 >0,即 a> . 2 2 答案 C 5.(2009· 山东实验中学第一次诊断)若 0<a<1,x>y>1,则下列关系式中正确的个数是( ) x y a a ①a >a ②x >y ③logax>logay ④logxa>logya A.4 B.3 C.2 D.1 解析 ∵0<a<1,x>y>1, ∴y=ax 递减,故①不正确;y=xa 递增,故②正确; y=logax 递减,故③不正确. ∵logxa<0,logya<0, ∴logxa>logya?logax<logay,正确. 综上,②④正确. 答案 C 1 6.(2010· 莆田调研)已知函数 y=log (x2-2kx+k)的值域为 R,则实数 k 的取值范围是( ) 2 A.(0,1) B.(-∞,0]∪[1,+∞) C.[0,1) D.k=0 或 k≥1 2 解析 要满足题意,t=x -2kx+k 要能取到所有正实数,抛物线要与坐标轴有交点, ∴Δ=4k2-4k≥0.解得 k≥1 或 k≤0. 答案 B 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 1 ? ? 7.(2010· 临沂一模)当 α∈?-1,2,1,3?时,幂函数 y=xα 的图象不可能经过第________象 ? ? 限. 解析 当 x>0 时,y>0,故不过第四象限; 当 x<0 时,y<0 或无意义. 故不过第二象限.综上,不过二、四象限.也可画图观察. 答案 二、四 8.(2009· 吉林省实验中学一模)函数 y=x+2 x在区间[0,4]上的最大值 M 与最小值 N 的和 M +N=________. 解析 令 t= x∈[0,2],∴y=t2+2t=(t+1)2-1, 在 t∈[0,2]上递增. ∴当 t=0 时,N=0,当 t=2 时,M=8.∴M+N=8. 答案 8 9.(2009· 泰安二模)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,则实数 m 的取值范围是__________. 解析 ∵0<0.71.3<0.70=1,1.30.7>1.30=1, ∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m<(1.30.7)m, ∴幂函数 y=xm 在(0,+∞)上单调递增,故 m>0. 答案 (0,+∞) 三、解答题(共 40 分) - - 10.(13 分)(2010· 新疆和田联考)已知函数 f(x)=(m2-m-1)· 5m 3,m 为何值时, x f(x):(1)是正比例函数;(2)是反比例函数; (3)是二次函数;(4)是幂函数.
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(1)若 f(x)是正比例函数, 4 则-5m-3=1,解得 m=- , 5 4 此时 m2-m-1≠0,故 m=- . 5 (2)若 f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1, 2 2 则 m=- ,此时 m2-m-1≠0,故 m=- . 5 5 (3)若 f(x)是二次函数,则-5m-3=2, 即 m=-1,此时 m2-m-1≠0,故 m=-1, (4)若 f(x)是幂函数,则 m2-m-1=1, 即 m2-m-2=0,解得 m=2 或 m=-1. 4 综上所述,(1)当 m=- 时,f(x)是正比例函数. 5 2 (2)当 m=- 时,f(x)是反比例函数. 5 (3)当 m=-1 时,f(x)是二次函数. (4)当 m=2 或 m=-1 时,f(x)是幂函数. 11. 分)(2009· (13 汕头模拟)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的 压力,加速城市之间的流通.根据测算,如果一列火车每次拖 4 节车厢,每天能来回 16 次;如果每次拖 7 节车厢,则每天能来回 10 次,每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一 次函数, 每节车厢一次能载客 110 人, 试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最 多? 并求出每天最多的营运人数.(注:营运人数指火车运送的人数) 解 设这列火车每天来回次数为 t 次,每次拖挂车厢 n 节, ? ? ?16=4k+b, ?k=-2, 则设 t=kn+b.由? 解得? ?10=7k+b ?b=24. ? ? ∴t=-2n+24. 设每次拖挂 n 节车厢每天营运人数为 y, 则 y=tn×110×2=440(-n2+12n), 当 n=6 时,总人数最多为 15 840 人. 答 每次应拖挂 6 节车厢才能使每天的营运人数最多为 15 840 人. 12.(14 分)(2009· 杭州学军中学第七次月考)已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. 解 (1)?x∈R,f(x)<bg(x)??x∈R,x2-bx+b<0 ?(-b)2-4b>0?b<0 或 b>4. (2)F(x)=x2-mx+1-m2, Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4. 2 5 2 5 ①当 Δ≤0,即- ≤m≤ 时,则必需 5 5 m ≤0 2 2 5 ?- ≤m≤0. 5 2 5 2 5 - ≤m≤ 5 5



? ? ?

2 5 2 5 ②当 Δ>0,即 m<- 或 m> 时,设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1<x2). 5 5 ?m≥1 ? m 若 ≥1,则 x1≤0,即? 2 ?m≥2; 2 ?F(0)=1-m2≤0 ?
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?m≤0 ? m 若 ≤0,则 x2≤0,即? 2 2 ?F(0)=1-m2≥0 ?
2 5 ?-1≤m<- ; 5 综上所述:-1≤m≤0 或 m≥2.

§2.7

函数与方程

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2010· 临沂模拟)设 f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 1 2 - 解析 ∵f(-1)=3 1-(-1)2= -1=- <0, 3 3 0 2 f(0)=3 -0 =1>0, ∴f(-1)· f(0)<0,∴有零点的区间是[-1,0]. 答案 D 1 2.(2009· 天津理,4)设函数 f(x)= x-ln x(x>0),则 y=f(x) ( ) 3 1 A.在区间? e,1?,(1,e)内均有零点 ? ? 1 ? B.在区间?e,1?,(1,e)内均无零点 ? 1 C.在区间?e,1?内有零点,在区间(1,e)内无零点 ? ? 1 ? D.在区间? e,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点 ? 1 解析 因为 f? e?· ? ? f(1) 11 1 ?1 1 1 =?3·-lne?·3-ln 1?= ?3e+1?>0, ? e ?? ? 3? ? 1 ? 因此 f(x)在?e,1?内无零点. ? 1 ?1 e-ln e?=e-3<0. 又 f(1)· f(e)=?3×1-ln 1?·3· ? ?? ? 9 因此 f(x)在(1,e)内有零点. 答案 D 3.(2009· 福建文,11)若函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f(x)可以是 ( ) 2 A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1) 1 x C.f(x)=e -1 D.f(x)=ln?x-2? ? ? 1 1 3 1 解析 ∵g(x)=4x+2x-2 在 R 上连续且 g( )= 2+ -2= 2- <0, )=2+1-2=1>0. g( 4 2 2 2 1 1 设 g(x)=4x+2x-2 的零点为 x0,则 <x0< , 4 2 1? 1 1 1 0<x0- < ,∴?x0-4?< . ? 4 4 4
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1 又 f(x)=4x-1 零点为 x= ;f(x)=(x-1)2 零点为 x=1; 4 1 3 f(x)=ex-1 零点为 x=0;f(x)=ln?x-2?零点为 x= . ? ? 2 答案 A + 4.(2010· 三明联考)方程|x2-2x|=a2+1 (a∈R )的解的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵a∈R+,∴a2+1>1.而 y=|x2-2x|的图象如图,∴y=|x2-2x|的 图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点. ∴方程有两解. 答案 B 5.(2009· 杭州质检)方程|x|(x-1)-k=0 有三个不相等的实根,则 k 的取值范围是 ( ) 1 ? 1? A.?-4,0? B.?0,4? ? ? 1 1 C.?-4,+∞? D.?-∞,4? ? ? ? ? 解析 本题研究方程根的个数问题,此类问题首选的方法是图 象法即构造函数利用函数图象解题,其次是直接求出所有的根. 本题显然考虑第一种方法.如图,作出函数 y=|x|·(x-1)的图象, 由图象知当 k∈ (?

(

)

1 ,0) 时,函数 y=k 与 y=|x|(x-1)有 3 个不同的交点, 4

即方程有 3 个实根. 答案 A 1 ?1 6.(2009· 怀化调研)设 f(x)=x3+bx+c (b>0) (-1≤x≤1),且 f?-2?· 2?<0,则方程 f(x)=0 ? ? f? ? 在[-1,1]内 ( ) A.可能有 3 个实数根 B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 3 解析 ∵f(x)=x +bx+c (b>0), ∴f′(x)=3x2+b>0,∴f(x)在[-1,1]上为增函数, 1 ?1 又∵f?-2?· 2?<0, ? ? f? ? 1 1 ∴f(x)在?-2,2?内存在唯一零点. ? ? 答案 C 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 淮南模拟)若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点是________. ?22-2a-b=0 ?a=5 ? ? 解析 由? 2 ,得? . ? ? ?3 -3a-b=0 ?b=-6 1 1 ∴g(x)=-6x2-5x-1 的零点为- ,- . 2 3 1 1 答案 - ,- 2 3 8. (2009· 池州模拟)若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3, 则不等式 af(-2x)>0 的解 集是__________. 解析 ∵f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2,3. ∴-2,3 是方程 x2+ax+b=0 的两根,

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?-2+3=-a ?a=-1 ? ? 由根与系数的关系知? ,∴? , ? ? ?-2×3=b ?b=-6 ∴f(x)=x2-x-6. ∵不等式 af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0, 3 ? ? 解集为?x|-2<x<1?. ? ? 3 ? ? 答案 ?x|-2<x<1? ? ? 9.(2010· 六安一模)已知 y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑 f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01, 则方程 f(x)=0 ①有三个实根;

②当 x<-1 时,恰有一实根(有一实根且仅有一实根); ③当-1<x<0 时,恰有一实根; ④当 0<x<1 时,恰有一实根; ⑤当 x>1 时,恰有一实根. 则正确结论的编号为 . 解析 ∵f(-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0, f(-1)=0.01>0,即 f(-2)·f(-1)<0, ∴在(-2,-1)内有一个实根. 由图中知:方程 f(x)=0 在(-∞,-1)上,只有一个实根, 所以②正确. 又∵f(0)=0.01>0,由图知 f(x)=0 在(-1,0)上没有实数根,所以③不正确. 又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0, f(1)=0.01>0,即 f(0.5)f(1)<0,所以 f(x)=0. 在(0.5,1)上必有一个实根,且 f(0)·f(0.5)<0, ∴f(x)=0 在(0,0.5)上也有一个实根. ∴f(x)=0 在(0,1)上有两个实根,④不正确. 由 f(1)>0 且 f(x)在(1,+∞)上是增函数, ∴f(x)>0,f(x)=0 在(1,+∞)上没有实根. ∴⑤不正确.并且由此可知①也正确. 答案 ①② 三、解答题(共 40 分) 10. 分)(2009· (13 广州模拟)已知函数 f(x)=4x+m·x+1 有且仅有一个零点, m 的取值范围, 2 求 并求出该零点. 解 ∵f(x)=4x+m·x+1 有且仅有一个零点, 2 即方程(2x)2+m·x+1=0 仅有一个实根. 2 设 2x=t (t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0 时,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0 时,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符题意.
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综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 11.(13 分)(2009· 滁州联考)关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实 数 m 的取值范围. 解 设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)≤0, 3 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,∴m≤- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则

?Δ≥0 ? m-1 ?0≤- 2 ≤2 ?f(2)≥0 ? ?m≥3或m≤-1 ?-3≤m≤1 ∴? ?m≥-3 ? 2

?(m-1) -4≥0 ? ,∴?-3≤m≤1 ?4+(m-1)×2+1≥0 ?

2

.

3 ,∴- ≤m≤-1, 2

由①②可知 m≤-1. 12.(14 分)(2009· 聊城一模)已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区 间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围. 解 (1)当 a=0 时,f(x)=2x-3. 令 2x-3=0,得 x=

3 ?[-1,1] 2
1 2a

∴f(x)在[-1,1]上无零点,故 a≠0. (2)当 a>0 时,f(x)=2ax2+2x-3-a 的对称轴为 x=- 1 1 ①当- ≤-1,即 0<a≤ 时, 2a 2 ? ? ?f(-1)≤0 ?a≤5 须使? 即? ?f(1)≥0 ?a≥1 ? ? ∴a 的解集为?. 1 1 ②当-1<- <0,即 a> 时, 2a 2 ?f?- 1 ?≤0 ?- 1 -3-a≤0 ? ? 2a? ? 须使? 即? 2a

?f(1)≥0 ?

?a≥1 ?

解得 a≥1,∴a 的取值范围是[1,+∞). (3)当 a<0 时,

1 1 ≤1,即 a≤ ? 时, 2a 2 ? f ( ?1) ? 0 ? ,, 须有 ? 1 ? f ( ? 2a ) ? 0 ? ?a ? 5 ? 即? 1 ?? 2 a ? 3 ? a ? 0 ?
①当 0< ?
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解得:a≤ 又 a≤ ?

?3? 7 ?3? 7 或 ≤a≤5, 2 2

1 , 2
? ? ? ?3? 7? ?. . 2 ?

∴a 的取值范围是 ? ? ?, ②当 ?

1 1 ? 1 ,即- ? <a<0 时, 2a 2 ? f (?1) ? 0 ?a ? 5 ,即? 须有 ? ? f (1) ? 0 ?a ? 1
∴a 的解集为?. 综上所述,a 的取值范围是 ? ? ?,

? ? ?

?3? 7? ? ∪[1,+∞). 2 ?

§2.8

函数模型及其应用

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2010· 揭阳一模)某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是 月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时 间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分钟 时,这两种方式电话费相差 ( ) A.10 元 B.20 元 C.30 元 40 D. 元 3

解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 S=k1t+20 B 种方式对应的函数解析式为 S=k2t 1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1= , 5 1 t=150 时,150k2-150k1-20=150× -20=10. 5 答案 A 2.(2009· 上海高三联考)由方程 x|x|+y|y|=1 确定的函数 y=f(x)在(-∞,+∞)上是( A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 解析 ①当 x≥0 且 y≥0 时,x2+y2=1, ②当 x>0 且 y<0 时,x2-y2=1, ③当 x<0 且 y>0 时,y2-x2=1,

)

④当 x<0 且 y<0 时,无意义. 由以上讨论作图如右,易知是减函数. 答案 B 3.(2009· 上海模拟)国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而 不超过 4 000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4 000 元的按全部稿酬的 11%纳
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税.已知某人出版一本书,共纳税 420 元,则这个人应得稿费(扣税前)为 ( A.2 800 元 B.3 000 元 C.3 800 元 D.3 818 元 解析 设扣税前应得稿费为 x 元,则应纳税额为分段函数,由题意,得 (0≤x≤800) ?0 ? y=?(x-800)×14% (800<x≤4 000) . ?11%· (x>4 000) ? x

)

如果稿费为 4 000 元应纳税为 448 元,现知某人共纳税 420 元,所以稿费应在 800~4 000 元之间, ∴(x-800)×14%=420,∴x=3 800. 答案 C 4.(2010· 威海专题调研)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这 一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 ( )

解析 根据汽车加速行驶 s= at2 (a>0), 匀速行驶 s=vt, 减速行驶 s= at2(a<0)结合函数图 象可知选 A. 答案 A 5.(2010· 黄山调研)某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x- 2 0.1x (0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小 于总成本)的最低产量是 ( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 解析 设利润为 f(x)(万元),则 f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0, ∴x ≥150. 答案 C 1 6.(2009· 广东六校联考)已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x2-ax,当 x∈(-1,1)时均有 f(x)< ,则实数 2 a 的取值范围是 ( ) 1? 1 ? A.?0,2?∪[2,+∞) B.?4,1?∪(1,4] ? ? 1 ? 1 C.?2,1?∪(1,2] D.?0,4?∪[4,+∞) ? ? ? 解析 由题意可知 ax> x ?
2

1 在 2

(-1,1)上恒成立, 令 y1=ax,y2= x ?
2

1 , 2

由图象知:

1 ? ?1 2 ?a ? (?1) ? 2 , ? 1 ? 1 2 ?a ? 1 ? , 2 ? ?a ? 0且a ? 1, ? ? 1 ∴ ≤a<1 或 1<a≤2. 2
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答案 C 二、填空题 2 7.(2009· 广州模拟)计算机的价格大约每 3 年下降 ,那么今年花 8 100 元买的一台计算机, 3 9 年后的价格大约是________元. 解析 设计算机价格平均每年下降 p%, 1 由题意可得 =(1-p%)3, 3 1 1 ∴p%=1-?3? , ? ?3 1 1 ∴9 年后的价格 y=8 100?1+?3?3-1?9 ? ? ? ? 1?3 =8 100×?3? =300(元). ? 答案 300 8.(2009· 台州质检)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述三个命题中所有正确命题的序号为________. 答案 ①② ? 2 (x≥0) ?x +c 解析 ①f(x)=x|x|+c=? 2 , ? ?-x +c (x<0) 如图①,曲线与 x 轴只有一个交点,

所以方程 f(x)=0 只有一个实数根,正确. ②c=0 时,f(x)=x|x|+bx,显然是奇函数. ③当 c=0,b<0 时, ?x2+bx (x≥0) ? f(x)=x|x|+bx=? 2 . ? ?-x +bx (x<0) 如图②,方程 f(x)=0 可以有三个实数根. 综上所述,正确命题的序号为①②. 9.(2010· 日照一模)已知 f(x)=-logcos φ(x2-ax+3a)(φ 为锐角),在区间[2,+∞)上为增 函数,则实数 a 的取值范围是________. 答案 -4<a≤4 解析 令 u=x2-ax+3a,∵0<cos φ<1, ∴y=logcos φu 在定义域内为减函数, ∴f(x)=-logcos φ(x2-ax+3a)在[2,+∞)上为增函数, 则 u=x2-ax+3a>0 在[2,+∞)上恒成立,且为增函数, ?a≤2 ? 所以?2 ,解得-4<a≤4.

?u(2)=4-2a+3a>0 ?

三、解答题 10.(2009· 重庆模拟)某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每 日 115 元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超 出 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆.
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为了便于结算,每辆自行车的日租金 x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入 必须高于这一日的管理费用,用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的 总收入减去管理费用后的所得). (1)求函数 y=f(x)的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多? 解 (1)当 x≤6 时,y=50x-115, 令 50x-115>0,解得 x>2.3. ∵x∈N*,∴x≥3,∴3≤x≤6,x∈N*, 当 x>6 时,y=[50-3(x-6)]x-115. 令[50-3(x-6)]x-115>0,有 3x2-68x+115<0, 上述不等式的整数解为 2≤x≤20 (x∈N*), ∴6<x≤20 (x∈N*). ?50x-115 (3≤x≤6,x∈N*) ? 故 y=? , 2 * ? ?-3x +68x-115 (6<x≤20,x∈N ) 定义域为{x|3≤x≤20,x∈N*}. (2)对于 y=50x-115 (3≤x≤6,x∈N*). 显然当 x=6 时,ymax=185(元), 对于 y=-3x2+68x-115 34 811 =-3?x- 3 ?2+ (6<x≤20,x∈N*). ? ? 3 当 x=11 时,ymax=270(元). ∵270>185, ∴当每辆自行车的日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最多. 11.(13 分)(2009· 广东广州五校模拟)通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随 着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的 兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设 f(t)表示学生注意力随时间 t(分 钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知:

?-t +24t+100,0<t≤10, ? f(t)=?240,10<t≤20, ?-7t+380,20<t≤40. ?
(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟? (2)讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较,何时学生的注意力更集中? (3)一道数学难题,需要讲解 24 分钟,并且要求学生的注意力至少达到 180,那么经过适 当安排,教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目? 解 (1)当 0<t≤10 时,f(t)=-t2+24t+100 =-(t-12)2+244 是增函数,且 f(10)=240; 当 20<t≤40 时,f(t)=-7t+380 是减函数, 且 f(20)=240. 所以,讲课开始 10 分钟,学生的注意力最集中,能持续 10 分钟. (2)f(5)=195,f(25)=205, 故讲课开始 25 分钟时,学生的注意力比讲课开始后 5 分钟更集中. (3)当 0<t≤10 时,f(t)=-t2+24t+100=180,则 t=4; 当 20<t≤40 时,令 f(t)=-7t+380=180, t≈28.57,则学生注意力在 180 以上所持续的时间 28.57-4=24.57>24, 所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题. 12.(14 分)(2010· 济宁模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成 x2 本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000, 已知此 5 生产线年产量最大为 210 吨.
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2

(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最 大利润是多少? y 解 (1)每吨平均成本为 (万元). x y x 8 000 x 8 000 则 = + -48≥2 · -48=32, x 5 x 5 x x 8 000 当且仅当 = ,即 x=200 时取等号. 5 x ∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元. (2)设年获得总利润为 R(x)万元, x2 则 R(x)=40x-y=40x- +48x-8 000 5 x2 =- +88x-8 000 5 1 =- (x-220)2+1 680(0≤x≤210). 5 ∵R(x)在[0,210]上是增函数, ∴x=210 时, 1 R(x)有最大值为- (210-220)2+1 680=1 660. 5 ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1 660 万元.

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