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高中数学典型例题解析:第二章


第二章
一、知识导学

函数概念与基本初等函数
映射、函数、反函数

§2.1

1.映射:一般地,设 A、B 两个集合,如果按照某种对应法则

,对于集合 A 中的任何

一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的对应法则) 2.函数: 设 A,B 都是非空的数集,如果按某种对应法则 f ,对于集合 A 中每一个元 素 x ,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,且 B 中每一个元素都的原象,这样的对应叫做 从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y ? f ( x) . 其中所有的输入值 x 组成的集合 A 称为函数 y ? f ( x) 定义域. 对于 A 中的每一个 x , 都有一个输出值 y 与之对应, 我们将所有输出值 y 组成的集合称 为函数的值域. 3.反函数:一般地,设函数 y=f(x)(x∈A)的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系, 用 y 把 x 表示出来,得到 x=f-1(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x 在 A 中都有唯 一的值和它对应,那么 x=f-1(y)就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函数叫做 函数 y=f(x)(x∈A)的反函数,记作 x=f-1(y). 我们一般用 x 表示自变量,用 y 表示函数, 为此我们常常对调函数 x=f-1(y)中的字母 x,y, 把它改写成 y=f-1(x) 反函数 y=f-1(x)的定 义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域.

二、疑难知识导析
1.对映射概念的认识 (1) 与 是不同的,即 与 上有序的.或者说:映射是有方向的,

(2) 输出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值. 集合 A 中每一个输入值,在集合 B 中必定存在唯一的输出值.或者说:允许集合 B 中有剩留 元素;允许多对一,不允许一对多. (3)集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合. 2.对函数概念的认识 (1)对函数符号 f ( x) 的理解知道 y= f ( x) 与 f ( x) 的含义是一样的,它们都表示
函数,其中 是自变量, f ( x) 是函数值,连接的纽带是法则 . 是单值对应. 是 的

(2)注意定义中的集合 A,B 都是非空的数集,而不能是其他集合;
1

(3)函数的三种表示法:解析法,列表法,和图像法. 3.对反函数概念的认识 (1)函数 y= f ( x) 只有满足是从定义域到值域上一一映射,才有反函数; (2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,因此反函数的定义域一般不 能由其解析式来求,而应该通过原函数的值域而得. (3)互为反函数的函数有相同的单调性,它们的图像关于 y=x 对称.

三、经典例题导讲
[例 1]设 M={a,b,c} ,N={-2,0,2},求(1)从 M 到 N 的映射种数; (2)从 M 到 N 的映射满足 f (a)> f (b)≥f(c),试确定这样的映射 f 的种数. [例 2]已知函数 f ( x) 的定义域为[0,1],求函数 f ( x ? 1) 的定义域
* [例 3]已知: x ? N , f ( x) ? ?

?x ? 5 ? f ( x ? 2)
?1

( x ? 6) ( x ? 6)

,求 f (3) .

[例 4]已知 f ( x) 的反函数是 f

( x) ,如果 f ( x) 与 f ?1 ( x) 的图像有交点,那么交点必在直

线 y ? x 上,判断此命题是否正确? [例 5]求函数 y ? f ( x) ? x ? 4 x ? 6 , x ? [1,5) 的值域.
2

[例 6]已知 f ( x) ? 3x ? 4 ,求函数 f

?1

( x ? 1) 的解析式.

[例 7]根据条件求下列各函数的解析式: (1)已知 f ( x) 是二次函数,若 f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,求 f ( x) . (2)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) (3)若 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? ax, 求 f ( x) [例 8] 已知 3x ? 2 y ? 6 x ,试求 x ? y 的最大值.
2 2 2 2

1 x

[例 9]设 f ( x) 是 R 上的函数,且满足 f (0) ? 1, 并且对任意的实数 x, y 都有

f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) ,求 f ( x) 的表达式.
四、典型习题导练 1. 已知函数 f(x),x∈F,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的 个数是( ) A.0 B.1
2

C.0 或 1

D.1 或 2

2.对函数 f ( x) ? 3x ? ax ? b 作代换 x=g(t),则总不改变 f(x)值域的代换是(

)

2

A. g (t ) ? log 1 t
2

B. g (t ) ? ( ) t D.g(t)=cost )

1 2

C.g(t)=(t-1)

2

3.方程 f(x,y)=0 的曲线如图所示,那么方程 f(2-x,y)=0 的曲线是 (

A

B

C

D

19 4.函数 f(x)= ?|x-n|的最小值为 i=1 A.190 5. 若函数 f(x)= B.171 C.90 D.45 ) D.-3

3 mx (x≠ )在定义域内恒有 f[f(x)]=x,则 m 等于( 4 4x ? 3 3 3 A.3 B. C.- 2 2 6.已知函数 f ( x ) 满足: f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) , f (1) ? 2 ,则
f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)
7.已知函数 f(x)满足 f(logax)= 8. 已知函数 f ( x) 是函数 y ?
2

.

a 1 ( x ? ) (其中 a>0,a≠1,x>0),求 f(x)的表达式. x a ?1
x

y?

4 ? 3x 的图像关于直线 y=x-1 成轴对称图形,记 F ( x) = f ( x) + g ( x) . x ?1

2 ? 1 ( x ? R )的反函数,函数 g ( x) 的图像与函 数 10 ? 1

(1)求函数 F(x)的解析式及定义域; (2)试问在函数 F(x) 的图像上是否存在两个不同的点 A、 B,使直线 AB 恰好与 y 轴垂直? 若存在,求出 A、B 两点的坐标;若不存在,说明理由. §2.2 函数的性质 一、知识导学 1.函数的单调性: (1)增函数:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果定义域 I 内某个区间上任意 两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数. (2)减函数:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果定义域 I 内某个区间上任意

3

两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函 数. (3)单调性(单调区间)如 y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数 f(x) 在这区间上具有单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间. 2.函数的奇偶性: (1) 奇函数: 一般地, 如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x) =-f(x), 那么函数 f(x)就叫做奇函数. (2)一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x) =f(x),那么函 数 f(x)就叫做偶函数. (3)如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么就说 f(x)具有奇偶性. 3.函数的图像:将自变量的一个值 x0 作为横坐标,相应的函数值 f(x0)作为纵坐标,就 得到平面内的一个点(x0,f(x0)) ,当自变量取遍函数定义域内的每一个值时,就得到一系列 这样的点,所有这些点的集合(点集)组成的图形就是函数 y=f(x)的图像. 二、疑难知识导析 1. 对函数单调性的理解, 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨 论,函数 y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数 在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间 而言的,所以要受到区间的限制. 2.对函数奇偶性定义的理解, 不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上, 要明确对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质:函数的定义域关于 原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数 f(x)的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x, 都有 f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图 像的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选 择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求. 3. 用列表描点法总能作出函数的图像,但是不了解函数本身的特点,就无法了解函数 图像的特点,如二次函数图像是抛物线,如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴,盲 目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的. 三、经典例题导讲 [例 1]判断函数 y ? ( ) 的单调性. [例 2]判断函数 f ( x) ? (1 ? x) [例 3] 判断 f ( x) ? log 2 ( x ?
2

1 3

?x

1? x 的奇偶性. 1? x
x 2 ? 1) 的奇偶性.

[例 4]函数 y= 5 ? 4 x ? x 的单调增区间是_________. [例 5] 已知奇函数 f(x)是定义在(-3, 3)上的减函数, 且满足不等式 f(x-3)+f(x -3)<0, 求 x 的取值范围. [例 6] 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x+1);(2) y ? 10 [例 7]若 f(x)=
|lg x|
2

.

ax ? 1 在区间(-2,+ ? )上是增函数,求 a 的取值范围 x?2
4

[例 8] 已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( 意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f(

1 )=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任 2

x? y ),试证明: 1 ? xy (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减 四、典型习题导练 1.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了,再走余下的路,下图中 y 轴表示离学校的距离,x 轴表示出发后的时间,则适合题意的图形是( )

2. 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得

f ( x) ? 0的x 的取值范围是 (
A. (??,2)

) D.(-2,2) .

B. (2,??) C. (??,?2) ? (2,??)

3. 若函数 f ( x) ? log n ( x ?

x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则 a=

4. 已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的单调函数,实数 x1 ? x 2 ,

? ? ?1, a ?

x1 ? ?x2 x ? ?x1 ,?? 2 ,若 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f (? ) ? f ( ? ) | ,则( 1? ? 1? ?
B. ? ? 0 C. 0 ? ? ? 1 D. ? ? 1 .
3



A. ? ? 0

5.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) = x(1 ?

x ) ,求 f ( x) .
1 )=0, 2

6. 已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-

1 时,f(x)>0. 2 (1)求证:f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.
当 x>- 7.已知函数 y=f(x)= 其中 b∈N 且 f(1)<

ax 2 ? 1 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,f(x)有最小值 2, bx ? c

5 . 2 (1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图像上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存 在,说明理由.
5

§2.3 一、知识导学 1. 二次函数的概念、图像和性质.

基本初等函数

(1)注意解题中灵活运用二次函数的一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c
2

(a ? 0)

二次函数的顶点式 f ( x) ? a( x ? m) ? n
2

(a ? 0) 和 (a ? 0)

二次函数的坐标式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

(2)解二次函数的问题(如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根 的范围等)要充分利用好两种方法:配方、图像,很多二次函数都用数形结合的思想去解. ① f ( x) ? ax ? bx ? c
2

(a ? 0) ,当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时图像与 x 轴有两个交点.
? . |a|

M(x1,0)N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=

② 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值, 它只能在区间的端点或二次函数的顶点 处取得. 2.指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 和对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 的概念和性质.
x

(1)有理指数幂的意义、幂的运算法则: ①a ?a ? a
m n m? n

;② (a ) ? a
m n

mn

;③ (ab) ? a b (这时 m,n 是有理数)
n n n

对数的概念及其运算性质、换底公式.

log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ;
log a M n ? n log a M ;

log a

M ? log a M ? log a N N
log a b ? log c b log c a

log a n M ?

1 log a M ; n

(2)指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点. ①指数函数图像永远在 x 轴上方,当 a>1 时,图像越接近 y 轴,底数 a 越大;当 0<a<1 时,图像越接近 y 轴,底数 a 越小. ②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数 a 的讨论. ③当 a>1 时, 图像越接近 x 轴, 底数 a 越大; 当 0<a<1 时, 图像越接近 x 轴, 底数 a 越小. 3.幂函数 y ? x 的概念、图像和性质. 结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y= y ? x , y ? x
2 3

?

?1

?2

,y= x 的图像,了解它们的变化情况.

1 2

① ? >0 时,图像都过(0,0) 、 (1,1)点,在区间(0,+∞)上是增函数; 注意 ? >1 与 0< ? <1 的图像与性质的区别. ② ? <0 时,图像都过(1,1)点,在区间(0,+∞)上是减函数;在第一象限内,图 像向上无限接近 y 轴,向右无限接近 x 轴.

6

③当 x>1 时,指数大的图像在上方. 二、疑难知识导析 1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称 轴与区间的位置通常有三种情况: (1)定义域区间在对称轴的右侧; (2)定义域区间在对称 轴的左侧; (3)对称轴的位置在定义域区间内 2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用,要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些 运算性质防止出现下列错误: (1)式子 a = a , (2) log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ;
n n

log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N

3.利用指数函数的性质解题,一定要注意底数的取值. 4.函数 y ? a 性质. 5.对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 与指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 互为反函数,会将
x f ( x)

的研究方法一般是先研究 f ( x) 的性质,再由 a 的情况讨论 y ? a

f ( x)



指数式与对数式相互转化. 6.幂函数 y ? x 的性质,要注意 ? 的取值变化对函数性质的影响.
?

(1)当 ? ?

奇 偶 奇 时,幂函数是奇函数; (2)当 ? ? 时,幂函数是偶函数; (3)当 ? ? 奇 奇 偶

时,定义域不关于原点对称,幂函数为非奇非偶函数. 三、经典例题导讲 [例 1]已知 log18 9 ? a,18 ? 5, 求 log 36 45
b

[例 2]分析方程 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个根都大于 1 的充要条件.
2

[例 3]求函数 y ? 36 ? 12 ? 6 ? 5 的单调区间.
x x

[例 4]已知 y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 [例 5]已知函数 f ( x) ? log a (3 ? ax) . (1)当 x ? [0, 2] 时 f ( x) 恒有意义,求实数 a 的取值范围. (2)是否存在这样的实数 a 使得函数 f ( x) 在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1,如 果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. [例 6]已知函数 f(x)= lg

1? 2x ? 4x ? a , 其中 a 为常数,若当 x∈(-∞, 1]时, f(x)有意 a2 ? a ?1

7

义,求实数 a 的取值范围. [例 7]若 (a ? 1)
? 1 3

? (3 ? 2a)

?

1 3

,试求 a 的取值范围.
a

[例 8] 已知 a>0 且 a≠1 ,f (log

x ) =

a 1 (x - ) x a ?1
2

(1)求 f(x); (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性; 2 (3)对于 f(x) ,当 x ∈(-1 , 1)时 , 有 f( 1-m ) +f (1- m ) < 0 ,求 m 的集合 M . 四、典型习题导练 1. 函数 f ( x) ? a
x ?b

的图像如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( B. a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0



A. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0

2、已知 2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x 的值为( y A.1
2

) C.1 或 4 ) D.3 D.4 或 8

B.4

3、方程 log a ( x ? 1) ? x ? 2 (0<a<1)的解的个数为( A.0 4 、函数 f(x) 与 g(x)=( B.1 C.2

1 x 2 ) 的图像关于直线 y=x 对称 , 则 f(4 - x ) 的单调递增区间是 2
( ) B. ?? ?,0?
n

A. ?0,???

C. ?0,2 ?

D. ?? 2,0?

5、 图中曲线是幂函数 y=x 在第一象限的图像, 已知 n 可取±2, ± 四个值,则相应于曲线 c1、c2、c3、c4 的 n 依次为( 1 1 1 1 A.-2,- , ,2 B.2, ,- ,-2 2 2 2 2

1 2

)

1 1 C. - ,-2,2, 2 2
6. 求函数 y = log
2 2

1 1 D. 2, ,-2, - 2 2

(x -5x+6) 的定义域、值域、单调区间.
2

7. 若 x 满足 2(log 1 x) ? 14 log 4 x ? 3 ? 0 ,求 f(x)= log 2
2

x log 2

2

x 最大值和最小值. 2

8.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2 ?
x

a , a 为常数 2x

(1)如果 f ( x) = f (? x) ,求 a 的值; (2)当 f ( x) 满足(1)时,用单调性定义讨论 f ( x) 的单调性.
8

§2.4 一、知识导学 1.函数的零点与方程的根的关系:

函数与方程

一般地,对于函数 y ? f ( x) ( x ? D )我们称方程 f ( x) ? 0 的实数根 x 也叫做函数的 零点,即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程 f(x)=g(x)的根或根的个 数就是求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点. 2.函数的图像与方程的根的关系: 一般地,函数 y ? f ( x) ( x ? D )的图像与 x 轴交点的横坐标就是 f ( x) ? 0 的根.综 合方程 f(x)=g(x)的根,就是求函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像的交点或交点个数,或求方程

y ? f ( x) ? g ( x) 的图像与 x 轴交点的横坐标.
3.判断一个函数是否有零点的方法: 如果函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那 么,函数 y ? f ( x) 在区间( a,b )上至少有一个零点,即至少存在一个数 c ? (a, b) 使得

f (c ) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的一个根. 对于我们学习的简单函数,可以借助
或者把 f ( x) 写成 g ( x) ? h( x) , 然后借助 y ? g ( x) 、y ? h( x) y ? f ( x) 图像判断解的个数, 的图像的交点去判断函数 f ( x) 的零点情况. 4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系: 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的零点,就是二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根,也是二次函数
2

2

y ? ax 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴交点的横坐标.
5. 二分法: 对于区间[a,b]上的连续不断,且 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法. 二、疑难知识导析 1.关于函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点,就是方程 f ( x) ? g ( x) 的实数根,也就是 y ? f ( x) 与 函数 y ? g ( x) 图像的交点的横坐标. 要深刻理解,解题中灵活运用. 2.如果二次函数 y ? f ( x) ? ax ? bx ? c ,在闭区间[m,n]上满足 f (m) ? f (n) ? 0 ,那么方
2

程 ax ? bx ? c ? 0 在区间(m,n)上有唯一解,即存在唯一的 x1 ? (m, n) ,使 f ( x1 ) ? 0 ,
2

9

方程 ax ? bx ? c ? 0 另一解 x2 ? (??, m) ? (n, ??) .
2

3. 二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根在某一区间时,满足的条件应据具体情形而定.如二次方
2

程 f ( x) = ax ? bx ? c ? 0 的根都在区间 (m, n) 时
2

?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 应满足: ? 2a ? f (m) ? 0 ? ? ? f (n) ? 0
4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 (1)取一个区间( a, b )使 f (a) ? f (b) ? 0 (2)取区间的中点, x0 ?

a?b 2

( 3 ) 计 算 f ( x0 ) , ① 若 f ( x0 ) ? 0, 则 x0 就 是 f ( x ) ? 0 的 解 , 计 算 终 止 ; ② 若

f (a) ? f ( x0 ) ? 0 ,则解位于区间( a , x0 )中,令 a1 ? a, b1 ? x0 ;若 f ( x0 ) ? f (b) ? 0 则解
位于区间( x0 , b )令 a1 ? x0 , b1 ? b (4)取区间是( a1 , b1 )的中点, x1 ? 总位于区间( an , bn )内 (5)当 an , bn 精确到规定的精确度的近似值相等时,那么这个值就是所求的近似解. 三、经典例题导讲 [例 1]已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a 若 x ?[?2, 2] 时,f ( x) ≥0 恒成立, 求 a 的取值范围.
2

a1 ? b1 重服第二步、第三骤直到第 n 步,方程的解 2

[例 2]已知 mx ? x ? 1 ? 0 有且只有一根在区间(0,1)内,求 m 的取值范
2

围. [例 3]已知一次函数 y ? kx ? b 与二次函数 y ? ax 2 图像如图,其中 ,B(0,2) ;与二 y ? kx ? b 的交点与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A(2,0) 次函数 y ? ax 2 的交点为 P、Q,P、Q 两点的纵坐标之比为 1︰4.(1)求这 两个函数的解析式.(2)解方程: ax ? kx ? b
2

10

[例 4]是否存在这样的实数 k,使得关于 x 的方程 x 2+(2k-3) x -(3k-1)=0 有两个实数根,且两根都在 0 与 2 之间?如果有,试确定 k 的取值范围;如果没有,试说明理由. [例 5]已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 对于 x 1、 x 2 ? R,且 x 1< x 2 时
2

1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证:方程 f ( x) = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 有不等实根,且必有一根属于区间 2 ( x 1, x 2).
[例 6]试确定方程 2 x ? x ? 4 x ? 2 ? 0 最小根所在的区间,并使区间两个端点是两个连续
3 2

的整数. [ 例 7] 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), 方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 , x 2 ,满足
2

0 ? x1 ? x2 ?

1 . a

(1)当 x ? (0, x1 ) 时,证明 x ? f ( x) ? x1 ; (2)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), 的图像关于直线 x ? x0 对称,证明:
2

x0 ?

x1 . 2
2

[例 8] 已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? c(c ? b ? 1), f (1) ? 0 ,且方程 f ( x) ? 1 ? 0 有实根. (1)求证:-3<c≤-1,b≥0. (2)若 m 是方程 f ( x) ? 1 ? 0 的一个实根,判断 f (m ? 4) 的正负并加以证明 四、典型习题导练 1. 方程 x ? x ? 2 ? 0 的实根的个数是(
3



A. 0

B. 1

C. 2
2

D. 3.

2.已知抛物线 y ? f ( x) ? x ? 2mx ? m ? 7 与 x 轴的两个交点在(1,0)两旁,则关于 x 的 方程

1 2 x ? (m ? 1) x ? m2 ? 5 ? 0 的根的情况是( 4



A.有两个正数根 C.有一个正数根和一个负数根
2

B.有两个负数根 D.无实数根

3.若关于 x 的方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围为 ( ) A. a <-1 B. a >1 C. -1< a <1 D.0< a <1

11

4.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图像如图所示,则 b 的取值范围是(
3 2



A.(-∞,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,+∞)

5.已知函数 y ? f ( x) 对一切实数都有 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 成立,且方程 f ( x) =0 恰有 6 个 不同的实根,则这 6 个根的和是
2

.

6. 已知在二次函数的解析式 f ( x) ? ax ? bx ? c 中, f (1) =-3, f (0) =-8,且它的两 个零点间的距离等于 2,求这个二次函数的解析式. 7.设 f(x)=3ax ?2bx ? c.若a ? b ? c ? 0 ,f(0)>0,f(1)>0,求证:
b

(1)a>0 且-2<

a <-1; b

(2)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根. 2 8.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 a>b>c 且 f(1)=0,证明:f(x)的图像与 X 轴相交; (2)证明:若对 x1、x2 ? R ,且 f(x1) ? f(x2),则方程 f ( x ) ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 必有一实根在 2

区间(x1,x2)内; (3)在(1)的条件下,是否存在实数 m,使 f(m) = -a 成立时,f(m+3)>0. §2.5 函数的综合运用 一、知识导学 1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统, 由单一到综合的 发展过程.这个过程不是一次完成的,而是螺旋式上升的 .因此要在应用深化基础知识的同 时,使基础知识向深度和广度发展. 2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西, 是解决数学问 题的灵魂,同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形 结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、 换元等思想方法.解较综合的数学问题 要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想. 3.要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养 .函数是数学 复习的开始,还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识 解决问题的意识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节,近几年高考命题中加强对 这方面的考查,尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例题安排上作了 这方面的考虑. 4.函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题,要求各位同学 有较宽的知识面,能读懂题意,然后对问题进行分析,灵活运用所学过的数学知识,建立量 与量的函数关系, 把实际问题材转化为函数问题, 通过对函数问题材的解决达到实际问题解 决目的.

二、疑难知识导析
1.为了能较快地解决函数综合问题,要求各位学生 ⑴在全面复习函数有关知识的基础上,进一步深刻理解函数的有关概念,全面把握各
12

类函数的特征,提高运用基础知识解决问题的能力. ⑵掌握初等数学研究函数的方法,提高研究函数的能力,重视数形结合数学思想方法 的运用和推理论证能力的培养. ⑶初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系,提高综合运用知识 解决问题的能力. ⑷树立函数思想,使学生善于用运动变化的观点分析问题. 2.对数学应用题的学习,是提高分析问题、解决问题能力的好途径.不少人在数学应用 题面前,束手无策;有的读不懂题意;有的不会归纳抽象、建模,因此要解好应用题,首先 应加强提高阅读理解能力, 然后将普通语言转化为数学语言和数学符号, 实际问题转化为数 学问题,再运用数学方法、数学思想去解决问题. 三、经典例题导讲 [例 1] 不等式

log ( x 2 ? 2) (3 x 2 ? 2 x ? 4) ? log ( x 2 ? 2 ) ( x 2 ? 3x ? 2).

[例 2]将进价为 8 元的商品,按每件 10 元售出,每天可销售 0 件,若每件售价涨价 0.5 元, 其销售量就减少 10 件,问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出这个最大利 润. [例 3]某工厂改进了设备,在两年内生产的月增长率都是 m,则这两年内第二年三月份的产 值比第一年三月份的产值的增长率是多少? [例 4]在一个交通拥挤及事故易发生路段,为了确保交通安全,交通部门规定,在此路段内 的车速 v(单位:km/h)的平方和车身长 l (单位:m)的乘积与车距 d 成正比,且最小车距 不得少于半个车身长.假定车身长均为 l (单位:m)且当车速为 50(km/h)时,车距恰为车 身长,问交通繁忙时,应规定怎样的车速,才能使在此路段的车流量 Q 最大? (车流量=
车速 ) 车距 ? 车身长

[例 5] 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意实数 m, n ,总有 f ? m ? n ? ? f ? m ? ? f ? n ? , 且当 x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1 . (1)试求 f ? 0 ? 的值; (2)判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论; (3)设 A ?

?? x, y ? f ? x ? ? f ? y ? ? f ?1??, B ? ?? x, y ? f ? ax ? y ? 2 ? ? 1, a ? R? , 若
2 2

A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围.
(4)试举出一个满足条件的函数 f ? x ? . [例 6]设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R
2

(1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值.

13

[例 7]某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店, 借出 20 万元将该商店 改建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债 务均不计利息). q 已知该种消费品的进价为每件 40 元; 该店每月销售 量 q(百件)与销售价 p(元/件)之间的关系用右图中 60 的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为 600 元, 该店应交付的其它费用为每月 130 元. (1) 若当销售价 p 为 52 元/件时, 该店正好收支平衡, 求该店的职工人数; 24 (2)若该店只安排 40 名职工,则该店最早可在几年后 1 还清所有债务,此时每件消费品的价格定为多少元?
40 58 81 p

四、典型习题导练 1.对函数 f ( x) ? 3x ? ax ? b 作代换 x=g(t),则总不改变 f(x)值域的代换是 (
2

)

A. g (t ) ? log 1 t
2
2

B. g (t ) ? ( )

1 2

t

C.g(t)=(t-1) D.g(t)=cost 2.用铁管做一个形状为直角三角形的铁框架, 要使直角三角形面积为 1 平方米, 有下列四种 长度的铁管,最合理(够用,浪费又最少)的是( ) A.4.1 米 B.4.8 米 C.5 米 D.5.2 米 3.函数 y ? e
|ln x|

? | x ? 1 | 的图像大致是(



4.设 x1、 x2 为方程 4x -4mx+m+2=0 的两个实根, 当 m=_________时, x1 +x2 有最小值_________.

2

2

2

1 ). m ?1 (1)证明:当 m∈M 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意 义,则 m∈M. (2)当 m∈M 时,求函数 f(x)的最小值. (3)求证:对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1. 6.(03 年荆州质量检测)某影院共有 1000 个座位,票价不分等次,根据该影院的经营经验, 当每张票价不超过 10 元时,每提高一元,将有 30 张票不能售出,为了获得更高的收益,需 给影院定一个比较合理的价格,要求它符合以下三个基本条件:①为了方便找零与算账,票 价为 1 元的整数倍;②影院放一场电影成本费用支出为 5750 元;③票房收入必需大于成本
5.设 m 是实数,记 M={m|m>1},f(x)=log3(x -4mx+4m +m+
2 2

14

支出.用 x(元)表示每张票的价格,用 y(元)表示该影院放映一场电影的净收入. (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和它的定义域; (2)试问在符合基本条件的前提下,每张票价定为多少时,放映一场的净收益最大. 7.已知函数 f(x)和 g(x)的图像关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (3)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围.
2

x2 8.已知函数 f ( x) ? (a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4. ax ? b
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式; f ( x) ?

(k ? 1) x ? k . 2? x

9 .设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a) 。 ( 1 )设 t =

1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t)
(2)求 g(a)
1 (3)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a

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