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对一道几何竞赛题的联想与解法探讨


?44?

中学数学研究

2014年第8期

r(口;+口;)+(b;+6;)>c;+c;,

{(b;+6;)+(c;+c:2)=口:+口;,
o(c:+c;)+(口;、+口;)>b;+6;.
根据以上分析,我们不难得到如下非平行四边

r(口;+口;)+(

b;+b:)>c;.+c;,

{(b;+6;)+(c:+c;)>口:+口:,
【(c;+c22)+(口;+n;)>6;+吐
参考文献
[1]王胜林、程煜生.六根木棒能搭成三棱锥的充要条件.中
学数学教学.2006(6).

形的任意(空间或平面)四边形性质: 命题2 三组长度为口1,口2;6l,b2;cl,c2的线段
可分别作为非平行四边形的任意(空间或平面)四 边形对边及对角线的充要条件为任何两组线段的平

对一道几何竞赛题的联想与解法探讨
湖北省阳新县高级中学
数学解题就是转化与化归、变形与化简,而实
现转化与化归的重要途径是联想,通过联想沟通已

(435200)

程金杏邹生书

BA所在直线为石轴和Y轴建立

直角坐标系如图所示.设点P的 坐标为(茗,,,),设正方形的边长 为口.因为PA=l,PB=2,PC =3,由两点间的距离公式得茗2

知与未知,在题设与所求之间架起一道桥梁.联想出 奇招,联想可使得问题峰回路转.本文介绍笔者对一 道初中数学竞赛平面几何题的联想与解法探讨,与
读者交流. 问题1

+广=4①,菇2+(Y一口)2=
如图1,,AABC中,

1②,(茹一口)2+y2=9④将①
代入②得2ay=口2+3④,将①

图3

/_BAC=600,AB=2AC,点P在

zMBC内,且蹦=万,船=5,曰
PC=2,求△ABC的面积.

代入③得2ax=口2—5⑤将④平方与⑤平方相加
并将①代入化简得口4—20a2+17=0,解得n2=5
图1

这是2014年3月20日举行

±2厄由⑤知口2>5,所以应取口2=5+2厄所以
正方形ABCD的面积为S=a2=5+2√2. 点评:解法1是几何法,主要用到了旋转变换及 其性质,余弦定理、勾股定理及其逆定理等有关知 识,其中旋转变换是解决问题的关键.解法2是代数 方法。主要用到了坐标法、数形结合思想、方程思想 和两间的距离公式,其中列方程解方程组是本解法
的重头戏. 那么问题1和问题2有何联系,能否用问题2的

的全国初中数学竞赛预赛试题的第14题,此题似曾

相识,感觉很熟悉,却又很陌生.由此题笔者联想到 如下一道熟悉的竞赛题及其两种经典的解法. 问题2 已知P为正方形ABCD内一点,且PA =1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的面积.

解法1:如图2,将△烈P绕
点召顺时针旋转90。到ascq, 连接PQ.则BQ=BP=2,qc =PA=1。且/_PBQ=900.由

上述两种解法来处理问题1呢?下面我们先看命题
组给出的参考答案,看能否从

勾股定理得PQ=在BP=2拉.
所以PQ2+Qc2=PC2=9,由 勾股定理的逆定理得LPQC= 90。,所以/__sqc=135。. 图2

解法里得到一些启发.
参考答案:如图4,作 △ABQ,使£QA曰=/_PAC, /__ABQ=/_ACP,则AABQ一 △ACP.由于AB一2AC,所以相 似比为2.于是aq=2AP=2

在aBqc中,由余弦定理得BG2=Q82+QC2—
2Q8?QCcosLBQC=22‘12—2?2?1?eosl35。=

尺囱 尺一捆
图4



5+2厄所以正方形ABCD的面积为S=BC2=5+ 2厄
解法2:如图3,以点B为坐标原点分别以BC, 万方数据

万,8Q=2CP=4,[QAP=/QAB+z烈P=
/_PAC+/_BAP=/_BAC=60。.由aq:AP=2:1

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知/_aeq=900.于是PQ=怕A尸=3,所以Bp2=

BQ2+PQ2=25,从而,,sqp=90。.作A肘上BQ于
点肘,由Lsqa=1200知LAQM=60。,所以Q1u1=

2.反思题设条件,挖掘内隐直角,旋转90。再解 问题1 实际上,我们可由条件“/_BAC=600,AB=
2AC”推出LACB=90。,下面我们给出两种证明方 法.

石,A肘=l,于是A铲=BM2+A舻=(4+石)2+

32=28+8√3.所以‰c=和B?ACsin60。=




知:唑篁


证法1:(用勾股定理的逆定理)设AC=b,则 AB=2b,在ZL,tBC中用余弦定理得Bc2=b2+
(2b)2—2?b?2"beos(:50。=3b2,所以BC=,gb,于是 Ac2+BC2=A矿,由勾股定理的逆定理知LACB=
900.



1.反思参考答案联想问题2的解法1,归纳新解
法:伸缩旋转变换

参考答案中作aasq,使[QAB=[PAC,
LaBQ=LACP,则aasq—AACP,将这种静态的 解答作动态演绎就是:将厶ACP的边长伸长两倍同

证法2:(用同一法)过点B作直线AC的垂线,

垂足为C’,因为/_BAC7=600,所以AC’=相B,又
二 1



时绕点A顺时针旋转600得到△ABQ.伸长两倍是因
为AB=2AC,旋转600是因为LBAC=600.问题2

AC=÷AB,所以Ac’=AC,所以点C’与点c重合,


也可当作是伸缩系数为l的绕点B顺时针旋转900 的伸缩旋转变换.在伸缩旋转变换的视角下这两种 解法是相同的,不同的只是伸缩系数和旋转角的大
小与方向.

所以£A∞=90。.于是,可将△AB尸绕点C作伸缩
旋转变换使所得三角形的一边与BC重合,解法如
下. 解:如图6,因为BC=

在伸缩旋转变换的视角下,对于问题1,我们可
将ZL4BP绕点A作伸缩旋转交换使所得三角形的一

怕AC且LACB=900,故将 ,MCP的边长伸长拈倍后绕 点C逆时针旋转90。得到 asqc,连PQ.则(嵋=√3AP =3,qc=拈PC=2√3,且
£PCQ=900, 故PQ= 图6

边与AC重合,于是有如下解法. 解:如图5,因为AB=2AC 且£BAC=600,故将△ABP的

边长缩小÷后绕点A逆时针旋
转600得到,MCQ.连PQ。则

√Cp+C谚=4,z_Pqc=300,Q舻+Q矿=P酽
图5

QA=扣P=雩,qc=.枷

=25,所以/_PQB=90。,所以LBQC=1200.在 △BQC中,由余弦定理得Bc2=Q铲+qc2一zq8?

=寻,且Lpaq=60。.由余弦定理得PQ2=AP2+

QCcos/_BQC=32+(2圃2—2?3?2屈osl20。=

AQ2一ZIP?aqcos£PAQ=(圆2+(争2-2.石 —BC2一兰!±鱼歪一鱼±Z巫 49一 ?争。s60。=_.9所以PQ=—F3,且[AQP=90。,又 2万一2 同样,还可将zMBP绕点B作伸缩旋转变换所
_ _ √j

21+6缸所以‰=扣c.Ac=扣C.iBC=
2’

PQ2+Pc2=qc2=1_45,所以/__qec=90。,所以
LAQC=90。+LpQC.在△AQC中,由余弦定理得

得三角形与BC重合,也可将△船C绕点B或点C作
伸缩旋转变换,使所得三角形的一边与AB重合或与
AC重合来解决问题.

AC2=QA2+Qc2—20A?qccos£aqc=(¥2+ (÷)2—2?譬?寻c。s(90。+/__eqc)=7+ 学sin纠qc=7+逆2?了4=7+2缸所以‰

3.联想问题2的解法2,根据直角用方程思想三 解问题l 上述解法主要用到了旋转变换和伸缩变换以及
勾股定理、勾股定理的逆定理、余弦定理等有关知

=扣c?AC=争c2=学
万方数据

识,属于几何解法,下面用与问题2的解法2等效的 方法,仅用勾股定理来列方程的一种代数解法.

解:由‘鲋C=600,AB=Z4C可推出LACB=

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90。.如图7,作PE上BC,PF上AC,垂足分别为E,
j’,设CE=戈,CF=Y,设AC=

解△APQ可得PQ=1,£AQP=450,由勾股定理逆 定理可得z_eQC=90。,在AAQC中由余弦定理求

b,则BC=周.因为PA=石,
PB=5,PC=2,由勾股定理得

得AC2=10+4,ff,所以正方形的面积S=(翱c)2

髫2+y2=4①,菇2+(b—y)2=

3②,(廊一菇)2+Y2=25④将
①代入②得2by=b2+l④,将

=争c2=5+2厄
图7

青,取之于蓝,而胜于蓝.冰,水为之,而寒于水. 题1是题2的变式,题l源于题2,而新于题2,高于题
2。难于题2.从问题背景看,题2表面上是正方形其

①代入③得2bx=万(62—7)⑤,将④平方与⑤平
方相加并将①代入化简得b4—14b2+37=0,解得

实质性部分是等腰直角三角形,题1实际是直角三
角形,但题目将“LACB=900’’用条件“/BAC=

b2=7±2压由⑤知b2>7,所以应取b2=7+

2石,所以.s枷。=BC枷=压Tb2=学
4.用伸缩旋转变换三解问题2 下面我们将目光回到问题

600,AB=2AC”隐藏起来,无疑增加了解题难度;从 几何解法看,问题1只需用到旋转变换,而问题2在 旋转变换的同时还要用到伸缩变换即用的是伸缩旋 转交换,而在伸缩旋转变换的视角下两者却是统一
的;当题1的直角被挖掘出来后可用代数方程思想

2,用伸缩旋转变换给出如下解
法: 解:如图8,连结AC,因为AC

来解,在方程思想的视角下,两题的解法也是统一
的.这一案例告诉我们:要用对立统一、普遍联系和

=以AB且LBAC=450,故将 △ABP的边长放大在倍后绕点A
逆时针旋转450到DACQ.连PQ, 图8

变化发展的哲学观点来看待数学问题和解决数学问 题,要透过现象本质,寻找解决问题的通性通法.

品Ei日ei自石aC丑品C珂印[矗丘日品品[茄e珀团ei日e捆品团品品酗e菇Ci日田口品e珀团品印丽酮印团C刀[珂品岛团石曰[无j团印团品

应用张角公式巧解连比问题
江苏省泰州市姜堰区淤溪初级中学(225513)
1.张角公式 如图1,设直线ACB外一

刘东平

解:如图2,设£CBG=仅, £GBA=口,BP=QC=石,PQ

点P对于线段AC、CB的张角

=2x,BA=Y,则以B为视点,
分别对P、E、A,Q、F、A及C、C、 A用张角公式,得
C工Q

’, 戈’

,、分别乌d姆,则型等盟=


及P工B

sincx.sin口
PB。PA’

证明:因为s。舢=‰。

堂嗉盟:一sinot+堂,①E


图2

图l

+&朐,所以÷PA?船?sin(&+卢)=寺PA?Pc?

型鲁蛆:一sina+警,F

sinct+÷尸c?户B?siI哆,两边同除以÷黝?朋?Pc,
即得所证等式. 2.应用举例 例1
AG=l

掣=学+业4xB





’,

3石’





’,

… 4x,③


由①、②、③可求得BE=x茹y;is矗ina(+ct),+。i垦币),



如图2,已知BP:pQ:QC=l:2:l,CG:

j2,则BE:EF:FG=

.(第15届“五

羊杯”试题)

曰F=篆冀器,⑤ BG=糕等瑞,⑥

万方数据


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