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0319高三理科数学限时练习二


高三理科数学限时练习二
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
x 1.已知集合 M ? x y ? ln ?1 ? x ? , 集合N ? y y =e ? x ? R (e 为自然对数的底数)则M ? N ?

?

?

/>?

?

A. x x ? 1

?

?

B.

? x x ? 1?

C.

? x 0 ? x ? 1?

A.①④②③ 9.

B.①④③②

C.④①②③

D.③④②①

D. ? 已 知 三 点

2.复数 z ? 1 ? i, 则 ? z ?

1 z

??? ? ??? ? ?3 1? A ? 2,1? , B ?1, ?2 ? , C ? , ? ? , 动点P ? a, b ? 满足0 ? OP ? OA ? 2 , 且 ?5 5?

1 3 A. ? i 2 2

1 3 ? i B. 2 2

3 3 ? i C. 2 2

3 1 ? i D. 2 2

3.三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正(主)视图 (如图所示)的面积为 8,则侧(左)视图的面积为 A.8 B.4 C. 4 3 D. 3

??? ? ??? ? 1 0 ? OP ? OB ? 2 ,则动点 P 到点 C 的距离小于 的概率为 4 5? 5? ? ? A. 1 ? B. C. 1 ? D. 64 64 16 16
2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? , 且f ? x ? 2 ? ? f ? x ? , 10. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 : f ? x ? ? ? 2 2 ? x , x ? ? 1, 0 , ? ? ? ? 2x ? 5 g ? x? ? ,则方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的所有实根之和为 x?2 A. ?5 B. ?6 C. ?7 D. ?8

4. 函数 y ? sin? 3x ? 对称轴的方程是 A. x ?

? ?

??

? ? ? cos ?x? 3? 6 ?

? ? ? ? ? ? 3 ? ? cos ? ? cos ? x ?x ? 3 ? ? ? ? 3
C. x ? ?

? 的图象的一条 ? ?

?
12
a b

B. x ?

?
6

?
12

D. x ? ?

?
24

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

5. “ 2 ? 2 ”是“ ln a ? ln b ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件
2

2? ? 11.若 ? x ? ? ? n ? N * ? 展开式中的第 5 项为常数,则 n 等于__________. x? ?
12. 执行右面的框图,若输出 p 的值是 24,则输入的正整数 N 应为________. 13.若双曲线

n

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

6.若 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列, a 2 b2

则双曲线的离心率为__________.

e x ? e? x e x ? e? x 14.已知双曲正弦函数 shx ? 和双曲作弦函数 chx ? 与我们 2 2
学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质,请类比正弦函数和余弦函数的和角 或差角 公式,写 .. ... 出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类似的正确结论______________. .. 15.若关于 x 的不等式(组) 0 ? x ?
2

7.从 8 名女生和 4 名男生中,抽取 3 名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,则不同 的抽取方法数为 A.224 B.112 C.56 D.28
x 8.现有四个函数① y ? x ? sin x, ② y ? x ? cos x ,③ y ? x ? cos x ,④ y ? x ? 2 的部分图象如下,但

顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是 构成的集合是____________.

7 2n 2 x? n ? 对任意n ? N * 恒成立,则所有这样的解 x 9 ? 2 ? 1? 9

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分)

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是首项为 a1 ?

?? ? ?? ? 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? ? sin ? x ? ? , x ? R . 6? ? 3? ?
(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)在 ?ABC 中,若 A ?

1 1 ,公比 q ? 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3log 1 an n ? N * , . 4 4 4

?

?

数列?cn ? 满足cn ? an ? bn (I)求证数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ;
(II)若 cn ?

?

BC ?C ? ? 1 的值. , 锐角C满足f ? ? ? ? , 求 4 AB ?2 6? 2

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

20.(本小题满分 13 分) 椭圆 C2 的方程为

17.(本小题满分 12 分) 寒假期间,我市某校学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福 度,现从调查人群中随机抽取 16 名,如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的 一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶) ;若幸福度分数不低于 8.5 分,则该人的幸福度为“幸 福”.

y 2 x2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率为 ,且短轴一端点和两焦点构成的三角形面 2 a b 2
2

积为 1,抛物线 C1 的方程为 y ? 2 px ? p ? 0? ,焦点 F 与抛物线的一个顶点重合. (I)求椭圆 C2 和抛物线 C1 的方程; ( II ) 过 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 C1 于 不 同 两 点 A,B , 交 y 轴 于 点 N , 已 知

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF , 求?1 ? ?2 的值.
(I)求从这 16 人中随机选取 3 人,至少有 2 人为“幸福”的概率; (II)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示抽到“幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望. ( III ) 直 线 l 交 椭 圆 C2 于 不 同 两 点 P,Q , P,Q 在 x 轴 上 的 射 影 分 别 为 P ′ ,Q ′ , 满 足

??? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? OQ ? OP′ ? OQ′ ? 1 ? 0 (O 为原点),若点 S 满足 OS ? OP ? OQ ,判定点 S 是否在椭圆 C2 上,
并说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? ax, g ? x ? ? e ln x ? e ? 2.71828 ???? ..
x x

18.(本小题满分 12 分) 如图,等腰梯形 ABCD,AD//BC,P 是平面 ABCD 外一点,P 在平面 ABCD 的射影 O 恰在 AD 上,

PA ? AB ? BC ? 2AO ? 2, BO ? 3 .
(I)证明: PA ? BO ; (II)求二面角 A-BP-D 的余弦值.

(I)设曲线 y ? f ? x ? 在x ? 1处的切线为 l ,点(1,0)的距离为

2 ,求 a 的值; 2

(II)若对于任意实数 x ? 0, f ? x ? ? 0 恒成立,试确定 a 的取值范围; (III)当 a ? ?1时, 是否存在实数 x0 ??1, e?,使曲线C:y ? g ? x ? ? f ? x ? 在点x ? x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

高三理科数学限时练习二参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. CDCAB,ABAAC (7)解析:答案 B,根据分层抽样,从 8 个人中抽取男生 1 人,女生 2 人;所以取 2 个女生 1 个男生 的方法: C C ? 112 .
2 8 1 4

y

A B -5 -3 0

C 1 x

(8)解析:答案A, ① y ? x ? sin x 在定义域上是偶函数,其图象关于 y 轴对称; ② y ? x ? cos x 在定义域上是奇函数,其图象关于原点对称; ③ y ? x ? cos x 在定义域上是奇函数,其图象关于原点对称, 且当 x ? 0 时,其函数值 y ? 0 ; ④ y ? x ? 2 ,在定义域上为非奇非偶,且当 x ? 0 时,其函数值 y ? 0 ,
x

由图形可知函数 f ( x), g ( x) 在区间 [?5,1] 上的交点为 A, B, C , 易知点 B 的横坐标为 ?3 , 若设 C 的 横坐标为 t (0 ? t ? 1) ,则点 A 的横坐标为 ?4 ? t ,所以方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,1] 上的所有实 数根之和为 ?3 ? (?4 ? t ) ? t ? ?7 . 二、填空题: (11)解析:答案 12 ,由 Tk ?1 ? Cn ( x )
k n?k

且当 x ? 0 时,其函数值 y ? 0 .

2 n?4 ( )k , ? 4 ? 0, n ? 12. x 2

(12) 解析:答案 4 ,把 k ? 1, p ? 1 在框图中运行 4 次后,结果是 24 ,所以 N ? 4 .

(9)解析:答案A,动点 P (a, b) 满足的不等式组为 ?

?0 ? 2a ? b ? 2 ,画出可行域可知 P 的运动区域 ?0 ? a ? 2b ? 2

(13)解析: 答案

5 3

a c c ? ?c 4 ?a 4 , 由 2a ? 2c ? 4b 得 a ? c ? 2b ? 2 c2 ? a2 , 即a ?2
2 2 2

2



为以 C ? , ? ? 为中心且边长为

?3 ?5

1? 5?

1 2 5 的正方形, 而点 P 到点 C 的距离小于或等于 的区域是以 4 5
2

5a2 ? 2ac ? 3c2 ? 0,(5a ? 3c)(a ? c) ? 0 ,即 5a ? 3c, e ?
(14)解析:答案: ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy . 由右边 ?

c 5 ? . a 3

2 ?2 5? ?1? ? ? ? ? ? ? 5 ? ?4? 5 1 ?3 1? ? ? 1? ? C ? , ? ? 为圆心且半径为 的圆以及圆的内部,所以 P ? 2 4 64 ?5 5? ?2 5? ? ? ? 5 ?

e x ? e? x e y ? e? y e x ? e? x e y ? e? y ? ? ? 2 2 2 2

?

1 x? y (e ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ? e x ? y ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ) 4

(10)解析:答案 C ,由题意知 g ( x ) ?

2 x ? 5 2( x ? 2) ? 1 1 ? ? 2? , 函数 f ( x) 的周期为 2 , x?2 x?2 x?2

?

则函数 f ( x), g ( x) 在区间 ? ?5,1? 上的图象如下图所示:

1 e x ? y ? e? ( x ? y ) (2e x ? y ? 2e? ( x ? y ) ) ? ? ch( x ? y) ? 左边,故知. 4 2

填入 ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy , sh( x ? y) ? shxchy ? chxshy ,

sh( x ? y) ? shxchy ? chxshy 之一也可.

? 2 7 ? 2 7 2n 2n ? x ? 9 x ? (2n ? 1) 2 ? 0 ? x ? 9 x ? (2n ? 1) 2 2 ? ? (15)解析:答案 {?1, } ,不等式等价于 ? ,即 ? n 9 2 7 2n 2 2 ? x2 ? 7 x ? 2 ? ? x ? x? n ? n 2 2 ? ? 9 (2 ? 1) 9 9 (2 ? 1) 9 ? ?


17. 解: (I)记至少有 2 人是“幸福”为事件 A ,由题意知

p ( A) =1-

2 1 3 1 18 121 C4 C4 ? C12 =1= ; 3 3 140 140 140 C16 C16

???????6 分

2n 2n 1 ? ? (均值不等式不成立)令 t ? 2n ? 2(n ? N? ) 故 n 2 2n n 1 (2 ? 1) 2 ? 2 ? 2 ? 1 2n ? ? 2 2n

(Ⅱ) ? 的可能取值为0,1,2,3.

2n 2n 1 1 1 9 ? 2? t ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ,所以 n ? ? ? ? 0, ? , 2 2n n t 2 2 (2 ? 1) 2 ? 2 ? 2 ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 9 ? 2n

1 1 9 1 3 1 2 p (? ? 0) ? ( )3 ? , p(? ? 1) ? C3 ( ) ? , 4 64 4 4 64 3 1 27 3 3 27 , p(? ? 3) ? ( ) ? ,?????10分 p(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? 4 4 64 4 64
所以

?
P

0
1 64

1

2

3
27 64

? 的分布列为:

2 ? 2 7 x ? x? ? 2n 7 2n 2 ? 9 9 2 0 , (因为 n 最小值大于 ,在 , x ? x ? ? 中,可以取等号) ? 2 n 2 (2 ? 1) 9 (2 ? 1) 9 ? x2 ? 7 x ? 2 ? 9 9 ?
故x ?
2

9 64

27 64

E? ?

1 9 27 27 144 9 ? 0+ ?1+ ? 2+ ? 3= = ?????12分 64 64 64 64 64 4

7 2 2 2 x ? ,解得 x ? ?1 或 x ? ,所以答案为 {?1, } . 9 9 9 9

18.证明: (I)在 ?AOB 中, AB ? 2, AO ? 1, BO ? 3 ,
2 2 2 则 AB ? AO ? BO , ∴ AO ⊥ BO .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 中学联盟网 16.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) ? 2sin( x ? ) sin[

π 6

π 3

π 6

π π ? ( x ? )] 2 6

∵ PO ⊥平面 ABCD ,∴ PO ⊥ BO . 又 AO ? 平面 PAO , PO ? 平面 PAO ,且 AO ? PO ? O , ∴ BO ⊥平面 PAO .

π π π ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) ? sin(2 x ? ) , 6 6 3
所 以 函 数

f ( x)















z

P

又 PA ? 平面 PAO ,∴ PA ⊥ BO . (Ⅱ)由题知,以 O 为坐标原点, OB, OD, OP 为 x, y, z 轴,

???6 分

2π ? π. 2

???????????????6 分 建立如图空间直角坐标系 O ? xyz .
O

C π C π π (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得,f ( ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin C , A 2 6 2 6 3
由已知, sin C ?

D y
B

由已知, PA ? 2, AO ? 1 ,∴ PO ? 3 . 因为等腰梯形 ABCD , AD / / BC , AB ? BC ? 2 , 所以 OD ? 3 ,∴ P 0,0, 3 , A?0,?1,0? ,

1 π ,又角 C 为锐角,所以 C ? , 2 6

x

C

π 2 BC sin A 4 ? 2 ? 2. 由正弦定理,得 ? ? 1 AB sin C sin π 6 2 sin

?

?

???????????12 分

B 3,0,0 , D?0,3,0? ,

?

?

????8 分

所以 AB ?

? 3,1,0?, AP ? ?0,1, 3?, DB ? ? 3,?3,0?, DP ? ?0,?3, 3 ?. ? ?

??? ? ?? ? ? AB ? m ? 3x1 ? y1 ? 0 设平面 APB 的法向量为 m ? ?x1 , y1 , z1 ? ,则 ? ??? , ? ?? AP ? m ? y ? 3 z ? 0 ? ? 1 1
令 y1 ? 3 ,故 x1 ? z1 ? ?1 ,即 m ? ? 1, 3,?1 . 设平面 DPB 的法向量为 n ? ?x2 , y2 , z2 ? ,

1 1 ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 2 4 2 12n ? 8 1 n ?1 2 3n ? 2 1 n ?( ) ? ? ? ( ) (n ? N *) ????????7 分 所以 Sn ? ? 3 3 4 3 3 4 1 n ?1 1 n 1 n ?1 (Ⅱ)因为 cn ?1 ? cn ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) ? 9(1 ? n) ? ( ) , ( n ? N *) 4 4 4 1 所以当 n ? 1 时, c 2 ? c1 ? , 4 ?
当 n ? 2时, cn?1 ? cn ,即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn , 所以当 n ? 1 时, cn 取最大值是 又 cn ?

??? ? ?? ? ? DB ? m ? 3x2 ? 3 y2 ? 0 则 ? ??? , ? ?? DP ? m ? ? 3 y ? 3 z ? 0 ? ? 2 2
令 y 2 ? 3 ,∴ x2 ? z 2 ? 3 ,即 n ? 3, 3,3 .

1 , 4

?

?

?? ? ?? ? m?n ?3 105 ? ? 故 cos m, n ? ?? , ?? 35 | m|?| n | 5 ? 21
设二面角 A ? BP ? D 的大小为 ? ,由图可知 ? 是钝角, 所以二面角 A ? BP ? D 的 余弦值为 ?

1 2 m ? m ? 1对一切正整数 n恒成立 , 4 1 2 1 所以 m ? m ? 1 ? 4 4
即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 ????????12 分
2

20.解: (Ⅰ)由题意,椭圆 C2 的方程为 ????12 分 解得 a ?

c 2 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,又 ? , bc ? 1, a 2 ? b2 ? c 2 , 2 b a a 2
2

105 . 35

2 , b ? c ? 1, ∴椭圆 C2 的方程是 x ?

19.解:(Ⅰ)由题意知, an ? ( ) ( n ? N*) ,
n

1 4

y2 ? 1 . 由此可知抛物线 C1 的焦点为 2
??????4 分

所以 bn ? 3log 1 an ? 2, bn ? 3log 1 ( ) ? 2 ? 3n ? 2 ,
n 4 4

1 4

F (1, 0) ,得 p ? 2 ,所以抛物线 C1 的方程为 y 2 ? 4 x .
(Ⅱ) ?1 ? ?2 是定值,且定值为 ?1 ,由题意知,

故 an ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N*) ,
n

1 4

直线的斜率 k 存在且不为 0 ,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?1), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 N (0, ?k ) 联立方程组

1 n 4 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n 所以 Sn ? 1? ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4
所以 cn ? (3n ? 2) ? ( ) , ( n ? N*) ??????????3 分

? y2 ? 4x , 消 去 y ? ? y ? k ( x ? 1)

2 2 2 2 得 : k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0, ?? ? 16k ? 16 ? 0 且
2

? 2k 2 ? 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? x1 ? x2 ? k 2 ,由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得 ?1 (1 ? x1 ) ? x1, ?2 (1 ? x2 ) ? x2 , 整理 ? ?x ? x ? 1 ? 1 2
得 ?1 ?

ex xe x ? e x (1 ? x) ? e x ' ? 设 Q( x) ? ? , 则 Q ( x ) ? ? x2 x2 x
当 x ? (0,1) 时, Q' ( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, Q' ( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以当 x ? 1 时, Q ( x) 取得最大值, Q(1) ? ?e , 所以 a 的取值范围为 (?e, ??) . ????9 分

x1 x , ?2 ? 2 , 可得 1 ? x1 1 ? x2

2k 2 ? 4 ?2 2 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 k ?1 ? ?2 ? ? ? ?1 . 2k 2 ? 4 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 1? ?1 k2
??????9 分 (Ⅲ)设 P( xP , yP ), Q( xQ , yQ ),? S ( xP ? xQ , yP ? yQ ), 则 P ( xP ,0), Q ( xQ ,0).
' '

(Ⅲ)依题意,曲线 C 的方程为 y ? ex ln x ? ex ? x ,令 M ( x) ? ex ln x ? ex ? x 所以 M ( x) ?
'

由 OP ? OQ ? OP' ? OQ' ? 1 ? 0 得 2xP xQ ? yP yQ ? ?1 ?①

? ??? ? ???? ???? ????

yQ 2 yP 2 2 ? 1 ?② xQ ? 将点 P, Q 坐标带入椭圆方程得, xP ? ? 1 ?③ 2 2 ( yP ? yQ )2 2 由①+②+③得 ( xP ? xQ ) ? ?1 2 所以点 S ( xP ? xQ , yP +yQ ) 满足椭圆 C2 的方程,所以点 S 在椭圆 C2 上.???13 分
2

ex 1 ? e x ln x ? e x ? 1 ? ( ? ln x ? 1) ? e x ? 1 , x x

设 h( x ) ?

1 1 1 x ?1 ? ln x ? 1 ,则 h' ( x) ? ? 2 ? ? 2 ,当 x ??1, e?, h' ( x) ? 0 , x x x x

故 h( x) 在 ?1, e? 上单调增函数,因此 h( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 h(1) ? 0

x 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ? a , f (1) ? e ? a .

y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率为 f ?(1) ? e ? a ,
∴切线 l 的方程为 y ? (e ? a) ? (e ? a)( x ? 1) ,即 (e ? a) x ? y ? 0 .??2 分

1 ? ln x ? 1 ? h(1) ? 0 x 1 x 又 x0 ??1, e? 时, e ? 0, ? ln x ? 1 ? 0 x 1 ' x 所以 M ( x) ? ( ? ln x ? 1) ? e ? 1 ? 0 x
即 h( x ) ? 曲线 y ? e ln x ? e ? x 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 M ( x) ? 0 有实数解,但
x x '

(e ? a) ?1 ? (?1) ? 0 ? 0 2 2 ? 又点 (1, 0) 到切线 l 的距离为 ,所以 , 2 2 2 2 (e ? a) ? (?1)
解之得, a ? ?e ? 1, 或 a ? ?e ? 1. (Ⅱ)因为 x ? 0, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,
x

是 M ( x) ? 0 , M ( x) ? 0 没有实数解,
' '

????4 分

故不存在实数 x0 ?[1, e], 使曲线 C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直. ????14 分

若 x ? 0, f (0) ? 1 ? 0 恒成立; 若 x ? 0, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,即 a ? ?
x

ex ,在 x ? 0 上恒成立, x


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