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2000年全国高中数学联赛试题及解答


2000 年全国高中数学联合竞赛试卷
(10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x-2≤0},B={x|10 (A){2} (B){?1}
x2-2

=10x},则 A∩?RB 是(

) (D) ?

(C)

{x|x≤2} )

α α α 2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin >cos ,则 的取值范围是( 3 3 3 π π (A)(2k?+ ,2k?+ ), k?Z 6 3 (C)(2k?+ 5π ,2k?+?),k? Z 6 (B)(

2kπ π 2kπ π + , + ),k? Z 3 6 3 3

π π 5π (D)(2k?+ ,2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?),k? Z 4 3 6

3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三角 形,则△ABC 的面积是( ) (A) 3 3 (B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3

4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则 一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号 实根 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( 3 5 (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 1 20 ) (D) 1 30 )

π π 6.设 ω=cos +isin ,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是( 5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.arcsin(sin2000?)=__________.

(B) x4?x3+x2?x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0

32 33 3n 2.设 an 是(3? x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则 lim ( + +…+ ))=________. an n→∞ a2 a3 3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. x2 y2 4.在椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的 a b 离心率是 5-1 ,则∠ABF=_________. 2

5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是________.
·1·

6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, ____ 那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 1.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N*,求 f(n)= 的最大值. (n+32)Sn+1

·2·

1 13 2.若函数 f(x)=- x2+ 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2

x2 y2 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: 2+ 2=1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 a a 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论.

·3·

2000 年全国高中数学联赛二试题
(10 月 15 日上午 10∶00-12∶00) 一. (本题满分 50 分) 如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC (M、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D.证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面 积相等. A M N B D E F C

二. (本题满分 50 分) 设数列{a n}和{b n }满足 a0=1,a1=4,a2=49,且
?an+1=7an+6bn-3, ? n=0,1,2,…… ?bn+1=8an+7bn-4.

证明 a n(n=0,1,2,…)是完全平方数.

三. (本题满分 50 分) 有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n-2 个人之间通电话的次数
·4·

相等,都是 3 k 次,其中 k 是自然数,求 n 的所有可能值.

·5·

2000 年全国高中数学联合竞赛试题解答 第一试 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x-2≤0},B={x|10 (A){2} (B){?1} 解:A={2},B={2,-1},故选 D.
x2-2

=10x},则 A∩?RB 是(

) (D) ?

(C){x|x≤2}

α α α 2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin >cos ,则 的取值范围是( 3 3 3 π π (A)(2k?+ ,2k?+ ), k?Z 6 3 (C)(2k?+ 5π ,2k?+?),k? Z 6 (B)(

)

2kπ π 2kπ π + , + ),k?Z 3 6 3 3

π π 5π (D)(2k?+ ,2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?),k?Z 4 3 6

π α 2kπ π 2kπ π 解:满足 sin?>0,cos?<0 的 α 的范围是(2k?+ ,2k?+π),于是 的取值范围是( + , + ), 2 3 3 6 3 3 α α α π 5π π π 5π 满足 sin >cos 的 的取值范围为(2k?+ ,2k?+ ).故所求范围是(2k?+ ,2k?+ )∪(2k?+ , 3 3 3 4 4 4 3 6 2k?+?),k?Z.选 D. 3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三角 形,则△ABC 的面积是( ) (A) 3 3 (B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3
y
B A

解:A(-1,0),AB 方程:y=

3 (x+1),代入双曲线方程,解得 B(2, 3), 3

O

x

∴ S=3 3.选 C. C 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号 实根 2p+q p+2q 解:a2=pq,b+c=p+q.b= ,c= ; 3 3 1 1 2 △=a2-bc=pq- (2p+q)(p+2q)=- (p-q)2<0.选 A. 4 9 9 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( 3 5 (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 1 20 (D) 1 30 )

|25x-15y+12| |5(5x-3y+2)+2| 解:直线即 25x-15y+12=0.平面上点(x,y)到直线的距离= = . 5 34 5 34
·6·

∵5x-3y+2 为整数,故|5(5x-3y+2)+2|≥2.且当 x=y=-1 时即可取到 2.选 B. π π 6.设 ω=cos +isin ,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是( 5 5 )

(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4?x3+x2?x+1=0 4 3 2 (C) x ?x ?x +x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0 解:ω5+1=0,故?,?3,?7,?9 都是方程 x5+1=0 的根.x5+1=(x+1)(x4-x3+x2-x+1)=0.选 B. 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.arcsin(sin2000?)=__________. π 解:2000° =180° ×12-160° .故填-20° 或- . 9 32 33 3n 2.设 an 是(3? x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则 lim ( + +…+ ))=________. an n→∞ a2 a3 解:an=3n 2Cn.∴


2

3k 2·2 3 18 = k-2 = ,故填 18. ak 3 n(n-1) n(n-1)

3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. a+log43 a+log83 (a+log43)-(a+log83) log43-log83 1 1 解:q= = = = = .填 . a+log23 a+log43 (a+log23)-(a+log43) log23-log43 3 3 x2 y2 4.在椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的 a b 离心率是 5-1 ,则∠ABF=_________. 2 5-1 5+1 5+3 2 a,∴|AF|= a.|BF|=a,|AB|2=|AO|2+|OB|2= a. 2 2 2 5-1 2 a =ac,得解. 2
H O B G C E D
B F

y

解:c=

故有|AF|2=|AB|2+|BF|2.即∠ABF=90° .填 90° . 或由 b2=a2-c2=

O

A x

A

5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个 球的体积是________. 解:取球心 O 与任一棱的距离即为所求.如图,AE=BE= AG= 6 6 3 a,AO= a,BG= a,AB∶AO=BG∶OH. 3 4 3 3 a, 2

AO· BG 2 4 2 2 OH= = a.V= πr3= πa3.填 πa3. . AB 4 3 24 24 6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, ____ 那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 解:a、c 可以相等,b、d 也可以相等.
·7·

⑴ 当 a、c 相等,b、d 也相等时,有 C4=6 种; ⑵ 当 a、c 相等,b、d 不相等时,有 A3+A2=8 种; ⑶ 当 a、c 不相等,b、d 相等时,有 C3C2+C2=8 种; ⑷ 当 a、c 不相等,b、d 也不相等时,有 A3=6 种;共 28 种.填 28.
3 1 1 1 2 2

2

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 1.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N*,求 f(n)= 的最大值. (n+32)Sn+1 1 n(n+1) 解:Sn= n(n+1),f(n)= = 2 (n+32)(n+1)(n+2) 1 1 ≤ .(n=8 时取得最大值). 64 50 n+ +34 n

1 13 2.若函数 f(x)=- x2+ 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2 1 13 1 13 解:⑴ 若 a≤b<0,则最大值为 f(b)=- b2+ =2b.最小值为 f(a)=- a2+ =2a.即 a,b 是方 2 2 2 2 程 x2+4x-13=0 的两个根,而此方程两根异号.故不可能. 13 13 ⑵ 若 a<0<b,当 x=0 时,f(x)取最大值,故 2b= ,得 b= . 2 4 1 13 当 x=a 或 x=b 时 f(x)取最小值, ①f(a)=- a2+ =2a 时. a=-2± 17, a<0, 但 故取 a=-2- 17. 由 2 2 1 13 39 于|a|>|b|,从而 f(a)是最小值.②f(b)=- b2+ = =2a>0.与 a<0 矛盾.故舍. 2 2 32 ⑶ 0≤a<b.此时,最大值为 f(a)=2b,最小值为 f(b)=2a. 1 13 1 13 ∴ - b2+ =2a.- a2+ =2b.相减得 a+b=4.解得 a=1,b=3. 2 2 2 2 13 ∴ [a,b]=[1,3]或[-2- 17, ]. 4 x2 y2 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: 2+ 2=1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 a a 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论. 解:设 PQRS 是与 C0 外切且与 C1 内接的平行四边形.易知圆的 y 外切平行四边形是菱形.即 PQRS 是菱形.于是 OP⊥OQ. P 设 P(r1cosθ,r1sinθ),Q(r2cos(θ+90° 2sin(θ+90° ),r ),则在直角三 1 1 角形 POQ 中有 r12+r22=r12r22(利用△POQ 的面积).即 2+ 2=1. r1 r2
·8·

S
x

Q

O

R

r1cos2θ r2sin2θ 1 cos2θ sin2θ 但 + 2 =1,即 2= 2 + 2 , 2 a b b r1 a 1 sin2θ cos2θ 1 1 同理, 2= 2 + 2 ,相加得 2+ 2=1. b a b r2 a 1 1 反之,若 2+ 2=1 成立,则对于椭圆上任一点 P(r1cosθ,r1sinθ),取椭圆上点 Q(r2cos(θ+90° ), a b 1 cos2θ sin2θ 1 sin2θ cos2θ 1 1 1 1 r2sin(θ+90° ),则 2= 2 + 2 , 2= 2 + 2 , , ,于是 2+ 2= 2+ 2=1,此时 PQ 与 C0 相切.即存在 b b r1 a r2 a r1 r2 a b 满足条件的平行四边形. 故证.

2

2

第二试 一. (本题满分 50 分) 如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC (M、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D.证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面 积相等. 证明:连 MN,则由 FM⊥AM,FN⊥AN 知 A、M、F、N 四点共圆,且 A 该 圆 的 直 径 为 AF . 又 ?AMN=?AFN , 但 ?FAN=?MAD , 故 ?MAD+?AMN=?FAN+?AFN=90? . ∴ MN ⊥ AD , 且 由 正 弦 定 理 知 , M MN=AFsinA. ∴SAMDN= 1 1 AD· MN= AD· AFsinA. 2 2
N B E D F C

连 BD,由?ADB=?ACF,?DAB=?CAF,得⊿ABD∽⊿AFC. ∴ AD∶AB=AC∶AF,即 AD· AF=AB· AC. 1 1 ∴ SAMDN= AD· AFsinA= AB· ACsinA=SABC. 2 2 二. (本题满分 50 分) 设数列{a n}和{b n }满足 a0=1,a1=4,a2=49,且
?an+1=7an+6bn-3, ? n=0,1,2,…… ?bn+1=8an+7bn-4.

证明 a n(n=0,1,2,…)是完全平方数. 证明 ⑴× 7:7an+1=49an+42bn-21, ⑵× 6:6bn+1=48an+42bn-24. 两式相减得,6bn+1-7an+1=-an-3,即 6bn=7an-an-1-3. 1 1 1 代入⑴:an+1=14an-an-1-6.故 an+1- =14(an- )-(an-1- ). 2 2 2 其特征方程为 x2-14x+1=0,特征方程的解为 x=7±4 3. 1 1 故 an=α(7+4 3)n+β(7-4 3)n+ ,现 a0=1,a1=4,a2=49.解得 α=β= . 2 4 1 1 1 1 1 1 ∴ an= (7+4 3)n+ (7-4 3)n+ = (2+ 3)2n+ (2- 3)2n+ 4 4 2 4 4 2
·9·

1 1 =[ (2+ 3)n+ (2- 3)n]2. 2 2 1 1 由于[ (2+ 3)n+ (2- 3)n]是整数,故知 an 是整数的平方.即为完全平方数. 2 2 三. (本题满分 50 分) 有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n-2 个人之间通电话的次数 相等,都是 3 k 次,其中 k 是自然数,求 n 的所有可能值. 解:由条件知,统计各 n-2 人组的通话次数都是 3k 次,共有 C
n-4 2

2 n-2 n =Cn个

n-2 人组,若某两人
2

通话 1 次,而此二人共参加了 Cn-2= Cn-2个 n-2 人组,即每次通话都被重复计算了 Cn-2次.即总通 n(n-1) 话次数应为 ·k 次. 3 (n-2)(n-3) 由于(n-1,n-2)=1,故 n-2|n?3k. 若 n-2|n,故 n-2|2,易得 n=4,(n=3 舍去)此时 k=0. 由 n-2|3k,n=3m+2,(m 为自然数,且 m≤k),此时 n(n-1) (3m+2)(3m+1) k 6 - ·k = m m 3 · =[3m+4+ m ]·k m,即 3m-1|6. 3 3 (n-2)(n-3) 3 (3 -1) 3 -1 ∴ m=0,1.当 m=0 时,n=3(舍去),当 m=1 时,n=5. 又:n=4 时,每两个人通话次数一样,可为 1 次(任何两人都通话 1 次);当 n=5 时,任何两人都 通话 1 次.均满足要求. ∴ n=0,5.

·10·


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