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2014届高三百校大联考 数学


江苏省 2014 年高三百校大联考数学试卷 参考答案与评分标准 数学Ⅰ
参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s 2 ?

1 n 1 n 2 ,其中 ( x ? x ) x ? ? i ? xi . n i ?1 n i ?1

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写

在答题卡相应的位 ....... 置上 . .. 1.已知集合 A ? ??1,0? ,则满足 A ? B ? ??1,0,1? 的集合 B 的个数是 【答案】4 共 4 个. 2. 已知 ▲ .

【解析】本题考查集合的概念与运算.由题意,1? B ,集合 B 的个数即 ??1,0? 的子集个数,

a ? 2i ? b ? i (a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? i





【答案】3 【解析】本题考查复数的四则运算.因为

a ? 2i ? 2 ? ai ? b ? i (a, b ? R) ,所以,a=1,b= i
▲ .

2,所以 a ? b =3. 3. 从 1, 2,3, 4 中随机取出两个不同的数,则其和为奇数的概率为 【答案】

2 3 2 . 3

【解析】本题考查古典概型.基本事件总数为 6,符合要求的事件数为 4,故所求概率为

?? ?? ? ? ? 4.已知单位向量 i, j 满足 (2 j ? i) ? i ,则 i, j 的夹角为
4. 【答案】





?
3
? ? ? ? ? ?

【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算.因为 (2 j ? i) ? i ,所以 (2 j ? i)? i ?0, 即 2i ? j ? i =0,所以, 2 | i || j | cos? ? 1 ? 0 ,即 cos? ?

?? ? ?2

? ?

?? 1 ? ,则 i, j 的夹角为 . 2 3
▲ .

5. 设五个数值 31,37,33, a ,35 的平均数是 34,则这组数据的方差是 【答案】4 【解析】由
31 ? 37 ? 33 ? a ? 35 ? 34 ,可得 a ? 34 ,所以方差 5

1 S2 ? ? (31 ? 34)2 ? (37 ? 34)2 ? (33 ? 34)2 ? (34 ? 34)2 ? (35 ? 34)2 ? ??4 5?

?y ? x ? 6.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x ? 2 y 的最大值是 ? y ? ?1 ?
1





【答案】

3 2

【解析】本题考查线性规划.可行域为三角形区域,最优解为 ( , ) . 7.执行如图所示的流程图,则输出 S 的值为 开始 k ←1 ▲ .

1 1 2 2

S ?0
k ≤ 20

N

? Y
S ? S ? 2k

输出 S 结束

k ? k ?1

(第 6 题) 【答案】420 【解析】本题考查流程图和循环结构. S ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 40 ?

8.已知直线 l 、 m 与平面 ? 、 ? , l ? ? , m ? ? ,则下列命题中正确的是 写正确命题对应的序号) . ①若 l / / m ,则 ? / / ? ③若 l ? ? ,则 ? ? ? ②若 l ? m ,则 ? ? ? ④若 ? ? ? ,则 m ? ?

20(2 ? 40) ? 420 . 2
▲ (填

【答案】③ 【解析】本题考查线面及面面位置关系的判断.由面面垂直的判定定理可得答案为③. 9.已知 cos(? ?

?

4 4?3 3 【答案】 10

)??

? 10 ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) ? 3 10 2





【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和(差)的正弦、余弦.根据题意,

??
s

?

? 3? ?( , ) 4 4 4







s
2 i ?? n

? 3 ??i ? n
4

1
2

1 ( ,

0 0

故)

? ?i

n

?
4

? ?2

?
2

?s

?
4

?

[

4

? ?(


?
4


?, )


5

?

]

? ? ? ? ? 3 cos 2? ? cos[2(? ? ) ? ] ? sin 2(? ? ) ? 2sin(? ? )cos(? ? ) ? ? 4 2 4 4 4 5

? 4 1 3 3 4?3 3 sin(2? ? ) ? ? ? (? ) ? ? . 3 5 2 5 2 10
2

10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,且与直线 x-y- 3=0 相切,则圆 C 的半径为 ▲ . |-1-b| 解析:可设圆心为(2,b),半径 r= b2+1,则 = b2+1,解得 b=1.故 r= 2. 2 答案: 2 x2 y 2 11.已知椭圆方程为 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) , A 、 B 分别是椭圆长轴的两个端点, M 、 N 是 a b 椭圆上关于 x 轴对称的两点,直线 AM , BN 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k1 ? k2 ? 的离心率为 11. 【答案】 ▲ .

1 ,则椭圆 4

3 2

【 解 析 】 本 题 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质 . 设 M ( x0 , y0 ) , 则 N ( x0 , ? y0 ) ,
2 x0 ) 2 y0 y y a 2 ? b ? 1 ,可得 3a 2 ? 4c 2 ,从而 e ? c ? 3 . k1 ? k2 ? ? 0 ? 2 ? 2 2 x0 ? a a ? x0 a ? x0 a 2 ? x0 a2 4 a 2 2 0

b 2 (1 ?

12.若 a ? 0, b ? 0 ,且 2 a ? b ? 1 ,则 S ? 2 ab ? (4a2 ? b2 ) 的最大值是 12. 【答案】





2 ?1 2

【 解 析 】 由

(2a)2 ? b 2 2a ? b ≥ ≥ 2a ? b 得 2 2

2ab≤

1 1 , 4a2 ? b2≥ , 所 以 2 2

2 2 S ? 2 ab ? (4a 2 ? b 2 ) ? 2 ? 2a ? b ? ? ?(2a) ? b ? ?≤

2 1 1 ? ,当且仅当 2a ? b ? 时取到等 2 2 2

号. 13.已知数列 ?an ? 为等差数列,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 ak1 , ak2 , ak3 ,?, akn ,? 成等比数 列,且 k1 ? 1 , k 2 ? 2 , k3 ? 5 ,则数列 ?kn ? 的通项公式 kn ? 【答案】 ▲ .

3n ?1 ? 1 2

2 【解析】 本题考查等差数列和等比数列. 由题意,a2 得d ? 2 , ? a1 ? a5 ,(1 ? d )2 ? 1? (1 ? 4d ) ,

即 an ? 2n ? 1 ,所以 akn ? 2kn ? 1 .又等比数列 a1 , a2 , a5 的公比为 3,所以 akn ? 3n?1 .根据

3n ?1 ? 1 . 2 ln kx 14.若函数 f ( x) ? ? ln( x ? 1) 不存在零点,则实数 k 的取值范围是 2

2kn ? 1 ? 3n?1 可得 kn ?





14. 【答案】 [0, 4) 【解析】本题考查函数的性质与方程思想及数形结合思想.

3

? ?kx ? 0 ? 1 解法一:由题意可知 ? x ? 1 ? 0 ,可设 g ( x) ? x ? ? 2,( x ? ?1, x ? 0),函数图象(图 1) x ? 1 ?k ? x ? ? 2 x ?
与直线 y ? k 没有交点,则 0 ? k ? 4 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,已知平面向量 m ? (sin(? ? C),cos C) ,

??

?? ? ? ? n ? (sin( B ? ),sin B) ,且 m ? n ? sin 2 A . 2
(1)求 sin A 的值; (2)若 a ? 1,cos B ? cos C ? 1 ,求边 c 的值. 15. 【解析】 (1)由题意, sin 2 A ? sin C cos B ? sin B cos C …………………………2 分 得 2sin A cos A ? sin( B ? C ) ? sin A ………………………………………………4 分 由于 ?ABC 中 sin A ? 0 ,? 2cos A ? 1 , cos A ? ∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ?

1 ………………………………5 分 2

3 ………………………………………………………6 分 2 (2)由 cos B ? cos C ? 1 得 ? cos( A ? C ) ? cos C ? 1 ………………………………7 分 3 1 sin C ? cos C ? 1 …………9 分 2 2 ? 2? ? ? 5? ? 得 sin(C ? ) ? 1 ,?0 ? C ? ,平方得?C ? ……………12 分 ,? ? C ? ? 3 6 3 6 6 6 ?ABC 所 以 为 正 三 角 形 , ? c ? 1 ………………………………………………… 14 分 16. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 E-ABCD 中, EA=EB, AB∥CD, AB⊥BC, AB=2CD. (1)求证:AB⊥ED; (2)线段 EA 上是否存在点 F,使得 DF∥平面 BCE?请说明你的理由. 解析: (1)证明:如图,取 AB 中点 O,连结 EO,DO. 因为 EA=EB,所以 EO⊥AB. …………………………1 分 因为 AB∥CD,AB=2CD, (第 16 题) 所以 BO∥CD,BO=CD. 又因为 AB⊥BC,所以四边形 OBCD 为矩形, 所以 AB⊥DO. ……………………………………………4 分 因为 EO∩DO=O, 所以 AB⊥平面 EOD. ……………………………………5 分 又因为 ED?平面 EOD, 所以 AB⊥ED. ……………………………………………6 分 (2)当点 F 为 EA 中点时,有 DF∥平面 BCE. 证明如下:取 EB 中点 G,连结 CG,FG. 因为 F 为 EA 中点,
即 sin A sin C ? cos A cos C ? cos C ? 1 ,?
4

1 所以 FG∥AB,FG= AB. ………………………………8 分 2 1 因为 AB∥CD,CD= AB,………………………………9 分 2 所以 FG∥CD,FG=CD. ………………………………10 分 所以四边形 CDFG 是平行四边形, ……………………11 分 所以 DF∥CG. ……………………………………………12 分 因为 DF?平面 BCE,CG?平面 BCE, 所以 DF∥平面 BCE. ………………………………………14 分 17. (本小题满分 14 分) 如图,ABCD 是边长为 1 百米的正方形区域,现规划建造一块景观带△ECF,其中动点 E、F 分别在 CD、BC 上,且△ECF 的周长为常数 a(单位:百米) . (1)求景观带面积的最大值; (2)当 a=2 时,请计算出从 A 点欣赏此景观带的视角(即 ? EAF) .

D

E

C F

A
(第 17 题) 17.解析: (1)设 EC ? x, CF ? y ,则 x ? y ? x 2 ? y 2 ? a (※)
2 2 由基本不等式, x ? y ? x ? y ? 2 xy ? 2 xy ? (2 ? 2) xy ……… 3 分

B

1 1? a ? 3? 2 2 2 所以,△ECF 的面积 S ? xy ? ? ? a ……………… 5 分 2 2? 2? 2 ? 4 ?
当且仅当 x ? y ?

2

2? 2 a 时等号成立 2 3? 2 2 2 a ……………………………………… 6 分 4

故景观带面积的最大值为

(2)记 ?EAD ? ? , ?FAB ? ? , ? , ? ? (0, ), ? ? ? ? (0, ) , 则 tan ? ? 1 ? x, tan ? ? 1 ? y 故 tan(? ? ? ) ?

?

?

2

2

2? x? y 2 ? ( x ? y) ? 1 ? (1 ? x)(1 ? y) x ? y ? xy

5

由(※)可得, xy ? a ( x ? y ) ? 代入上式可得, tan(? ? ? ) ? 所以 ?EAF ?

a2 ,即 xy ? 2( x ? y ) ? 2 ………………… 10 分 2

2 ? ( x ? y) =1 2 ? ( x ? y)

?
2

? (? ? ? ) ?

?
4

故当 a ? 2 时,视角 ?EAF 为定值 18. (本小题满分 16 分)

? ……………………………………………… 14 分 4

已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右焦点为 F (1,0) ,A、B 是椭圆 C 的左、右顶点,P 是 椭圆 C 上异于 A、B 的动点,且△APB 面积的最大值为 2 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 AP 与直线 x ? 2 交于点 D,证明:以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 18.解析: (1)由题意可设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) . a 2 b2

?1 ? 2 ? 2a ? b ? 2 3, ? 由题意知 ?c ? 1, 解得 a ? 2, b ? 3 . ? 2 2 2 ?a ? b ? c . ? x2 y2 ? ? 1 .……………………6 分 故椭圆 C 的方程为 4 3 (2)由题意,设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

y P

D E

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4 16k 2 ? 12 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ? . 3 ? 4k 2 6 ? 8k 2 12k 所以 x0 ? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? .………………………………………10 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 因为点 F 坐标为 (1, 0) , 1 3 当 k ? ? 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) . 2 2 直线 PF ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 与直线 PF 相切.…11 分 y 4k 1 当 k ? ? 时,则直线 PF 的斜率 k PF ? 0 ? . x0 ? 1 1 ? 4k 2 2
所以直线 PF 的方程为 y ?

A

O

F

B

x

4k ( x ? 1) . …………………………………………13 分 1 ? 4k 2

6

点 E 到直线 PF 的距离 d ?

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 (1 ? 4k 2 ) 2

2 k ? 8k 3 1 ? 4k 2 ? ? 2 | k | .…………15 分 1 ? 4k 2 |1 ? 4 k 2 |

又因为 | BD |? 4 | k | ,所以 d ?

1 | BD | . 2

故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. ………………………………………16 分 19. (本小题满分 16 分) 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足等式 an ? 2Sn ? 3 . (1)求数列 ?an ? 的通项 a n ; (2)能否在数列 ?an ? 中找到这样的三项,它们按原来的顺序构成等差数列?说明理由; (3)令 bn ? log
1 3

an ?

1 ,记函数 f ( x) ? bn x2 ? 2bn?1 x ? bn?2 (n ? N*) 的图象在 x 轴上截得的 2

线段长为 c n ,设 Tn ? (c1c2 ? c2 c3 ? ? ? cn?1 cn ) (n ? 2) ,求 Tn ,并证明: T2T3T4 ?Tn ? 【解析】 (1)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 3 ,则 a1 ? 1 .
1 又 an ? 2Sn ? 3 ,所以 an?1 ? 2Sn?1 ? 3 ,两式相减得 an ?1 ? an , 3

1 4

2 n ?1 . n



?an ? 是首项为 1,公比为 1 的等比数列,
3 1 3
n ?1

所以 an ?

…………………………………………4 分

(2) 假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 a p , aq , ar ,( p ? q ? r ) 则
2 1 1 2 1 1 ? p ?1 ? r ?1 ,即 q ? p ? r , 3 3 3 3 3 3
q ?1

所以 2 ? 3r ? q ? 3r ? p ? 1 ,即 2 ? 3r ? q ? 3r ? p ? 1 ,即 3r ?q (2 ? 3q ? p ) ? 1
* 又? p ? q ? r ,? r ? q, r ? p ? N ,所以 3r ? q ? 3, 2 ? 3q ? p ? 0

所以 3r ?q (2 ? 3q ? p ) ? 0

? 假设不成立,所以不存在三项按原来顺序成等差数列……………………9 分
(3)设 f ( x) 与 x 轴交点为 ( x1 ,0),( x2 ,0)

? 2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ,

?当 f ( x) =0 时有 ( x ? 1)(bn x ? bn? 2 ) ? 0

7

? x1 ? ?1, x2 ? ?

bn ? 2 b ?2 ?? n bn bn
1 1 ? n? ? 0, 2 2

? cn ?| x1 ? x2 |?| ?1 ?

bn ? 2 2 |? bn | bn |

又? bn ? log 1 an ?
3

? cn ?

2 bn 2 2 1 1 ? ? 4( ? ) bn ?1 bn bn ?1 bn

? cn ?1cn ?

1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? ? 4[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 4 b1 b2 b2 b3 bn ?1 bn

?

1 1 1 1 n 2? ( 1) ………………………………14 分 ? ? ? ? b1 bn 1 n ? 1 n ? 1 2 2 2 2(n ? 1) 2(n ? 1) ? 1 n n? 2

?Tn ?

2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2( n ? 1) 2 n ?1 ? ? ? ? ? ………………………………16 分 2 3 4 5 n n 20. (本小题满分 16 分) ?T2T3T4 ?Tn ?
已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? b , g ( x) ? a ln x . (1)若 f ( x) 的极大值为

4 ,求实数 b 的值; 27

(2)若对任意 x ??1, e? ,都有 g ( x)≥ ? x2 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 b ? 0 时,设 F ( x) ? ?

? ? f ? x?, x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ( x) 上是否存 g x , x ≥ 1 ? ? ? ?

在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形 斜边中点在 y 轴上?请说明理由. 20.解析: (1)由 f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? b ,得 f ?( x) ? ?3x2 ? 2 x ? ? x(3x ? 2) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或

2 . 3

当 x 变化时, f ?( x) 及 f ( x) 的变化如下表:

x

(??,0)

0

2 (0, ) 3

2 3

2 ( , ??) 3

8

f ?( x)
f ( x)



0
极小值

+ ↗

0
极大值



所以 f ( x) 的极大值为 f ( ) ?

2 3

4 4 , ?b = 27 27

? b ? 0 .…………………………………………………………………………………4 分

(2)由 g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 2) x ,得 ( x ? ln x)a ? x2 ? 2x .

? x ?[1, e],? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,
? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0

?a ?

x2 ? 2x x2 ? 2x ) min ……………………………………………6 分 恒成立,即 a ? ( x ? ln x x ? ln x x2 ? 2 x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2ln x) ,( x ? [1, e]) ,求导得, t ?( x) ? , x ? ln x ( x ? ln x) 2

令 t ( x) ?

当 x ? [1, e] 时, x ? 1 ? 0,0 ? ln x ? 1, x ? 2 ? 2ln x ? 0 ,从而 t ?( x) ? 0 ,

? t ( x ) 在 [1, e] 上为增函数,

?tmin ( x) ? t (1) ? ?1 ,
? a ? ?1 .………………………………………………………………………………8 分

?? x 3 ? x 2 , x ? 1 (3)由条件, F ( x) ? ? , x ?1 ?a ln x,
假设曲线 y ? F ( x) 上存在两点 P , Q 满足题意,则 P , Q 只能在 y 轴两侧,……9 分 不妨设 P(t , F (t ))(t ? 0) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,且 t ? 1 .

??? ? ???? ? ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,?OP ? OQ ? 0 ,
??t 2 ? F (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0
(*) ,

是否存在 P , Q 等价于方程 (?) 在 t ? 0 且 t ? 1 时是否有解.………………………11 分 ①若 0 ? t ? 1 时,方程 (?) 为 ?t 2 ? ?t 3 ? t 2 t 3 ? t 2 ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程 无解;…………………………………………………………………………………………12 分 ②若 t ? 1 时,方程 (?) 为 ?t 2 ? a ln t ? t 3 ? t 2 ? 0 ,即 设 h ? t ? ? ? t ? 1? ln t ? t ? 1? ,则 h? ? t ? ? ln t ? ? 1 , 显然,当 t ? 1 时, h? ? t ? ? 0 , 即 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,

?

?? ?

?

?

1 ? ? t ? 1? ln t , a

1 t

9

?h ? t ? 的值域为 ? h ?1? , ??? ,即 ? 0, ?? ? ,

?当 a ? 0 时,方程(*)总有解. 曲线 y ? F ( x) 上总存在两点 P ,Q , 使得 ?POQ 是以 O( O ?对任意给定的正实数 a , 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上.……………16 分

数学Ⅱ (附加题)
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 ...... . 题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ...... A.选修 4 ?1 :几何证明选讲 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE= AC,求证:∠PDE=∠POC.

【解析】因 AE=AC,AB 为直径, 故 ∠OAC = (第 21(A)题)

∠OAE. ………………………………………………2 分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAE+∠OAC=∠EAC. …………………………6 分 又∠EAC=∠PDE,…………………………………………………………………… 8 分 所以∠PDE=∠POC. ………………………………………………………………… 10 分

B.选修 4 ? 2 :矩阵与变换 ?1 1?,向量 β=?1?.求向量 α,使得 A2α=β. 已知矩阵 A=? ? ? ? ?2 1? ?2? 【解析】∵A=?

?1 1?,∴A2=?1 1??1 1?=?3 2?.……………………………………3 分 ? ? ?? ? ? ? ?2 1? ?2 1??2 1? ?4 3?
2??x? ?1? ?3x+2y? ?1? ? ?3x+2y=1, …………8 分 ?? ?=? ?? ? ?=? ?.即? 3??y? ?2? ?4x+3y? ?2? ? ?4x+3y=2,

?x? ?3 设 α=? ?,则 A2α=β? ? ?y? ?4
? ?x=-1, 解得? ?y=2, ?

∴α=?

?-1? ?. ……………………………………………………………………………10 分 ? 2?

C.选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程

10

?x=2t, 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 3 ?y= 2 + 2 t

1

(t 为参数),若以直角坐标

系 xOy 的 O 点为极点,Ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方 π? 程为 ρ=2cos? ?θ-4?.若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长度. 【解析】直线 l 的直角坐标方程为 y= 3x+ 2 ,…………………………………………3 分 2

π? 2?2 ? 2?2 ? ρ=2cos? ?θ-4?的直角坐标方程为?x- 2 ? +?y- 2 ? =1,…………………………6 分 ∴圆心? ∴AB= 6 2 2? 到直线 l 的距离 d= , ………………………………………………8 分 4 ?2,2? 10 .……………………………………………………………………………10 分 2

D.选修 4 ? 5 :不等式选讲 1 1 1 若正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求 + + 的最小值. 3a+2 3b+2 3c+2 【解析】因为正数 a,b,c 满足 a+b+c=1, 1 1 1 所以?3a+2+3b+2+3c+2?[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)] ≥(1+1+1)2,…………6 分

?

?



1 1 1 + + ≥1,…………………………………………………………8 分 3a+2 3b+2 3c+2

1 当且仅当 3a+2=3b+2=3c+2,即 a=b=c= 时,原式取最小值 1. …………10 分 3

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 甲、乙、丙三人商量周末自驾游,甲提议去六朝古都南京,乙提议去江南水乡无锡,丙 表示随意.最终,商定以抛硬币的方式决定结果.规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面朝 上,则甲得一分、乙得零分;若反面朝上,则乙得一分、甲得零分,先得 4 分者获胜.三人 均执行胜者的提议.记所需抛掷硬币的次数为 X. (1)求 X ? 6 的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望.

?1? ?1? 1 5 3 【解析】 (1) P ? X ? 6 ? ? 2 ? C5 ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………………4 分 ? 2 ? ? 2 ? 2 16
11

3

2

(2)分布列为: X P 4 5 6 7

1 8

1 4

5 16

5 16

……………………………8 分 ∴ EX ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ?

1 8

1 4

5 5 93 ? 7 ? ? ………………………………………………10 分 16 16 16

23. (本小题满分 10 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF⊥平面 ABCD, EF // AB, ∠BAF=90? , AD= 2,AB=AF=2EF =1,点 P 在棱 DF 上. (1)若 P 是 DF 的中点, 求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (2)若二面角 D-AP-C 的余弦值为
F E P
6 ,求 PF 的长度. 3

A

D

B

23. 解析: (1)因为∠BAF=90? ,所以 AF⊥AB, 因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD,且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥平面 ABCD,因为四边形 ABCD 为矩形, 所以以 A 为坐标原点,AB,AD,AF 分别 为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz .

C

z F

1 1 所以 B(1, 0, 0) , E ( ,0,1) , P(0,1, ) , C (1, 2,0) . 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 所以 BE ? (? ,0,1) , CP ? (?1, ?1, ) , 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BE ? CP 4 5 ? ??? ? ? 所以 cos ? BE, CP ?? ???? , | BE | ? | CP | 15
即异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为

E

P

A B x C

D y

4 5 . 15

--------------------------5 分

? ? ? (2)因为 AB⊥平面 ADF,所以平面 APF 的法向量为 n1 ? (1,0,0) .

??? ? ???? 设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) ,在平面 APC 中, AP ? (0,2 ? 2t, t) , AC ? (1,2,0) ,

?? ? 2t ? 2 ), 所以 平面 APC 的法向量为 n2 ? (?2,1, t ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? | n1 ? n2 | 2 6 ? ? ?? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ? ? 所以, 3 | n1 | ? | n2 | 2t ? 2 2 (?2)2 ? 1 ? ( ) t

12

解得 t ?

2 ,或 t ? 2 (舍) . 3

所以 | PF |?

5 . 3

-------------------------10 分

∴ EX ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ?

1 8

1 4

5 5 93 ? 7 ? ? ………………………………………………10 分 16 16 16

13


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