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高中数学全套教学案数学必修1:3.1.2用二分法求方程的近似解


§3.1.2 用二分法求方程的近似解教案

【教学目标】 教学目标】 1. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 2. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的 联系,初步形成用函数观点 通过用二分法求方程的近似解, 联系, 处理问题的意识. 处理问题的意识 【教学重难点】 教学重难点】 教学重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系, 教学重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观 点处理问题的意识. 点处理问题的意识. 教学难点:精确度概念的理解, 教学难点:精确度概念的理解,求方程近似解一般步骤的概括和理解 【教学过程】 教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 一 预习检查 预习检查、 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑 使教学具有了针对性。 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标。 情景导入、展示目标。 探究任务: 探究任务:二分法的思想及步骤 问题: 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的, 问题:有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的,要 求次数越少越好,解法: 求次数越少越好 解法: 解法 第一次,两端各放 第一次, 第二次, 第二次,两端各放 第三次, 第三次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 个球,低的那一端一定有重球; 个球,低的那一端一定有重球; 个球,低的那一端一定有重球; 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球.

思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法, 思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法,如何求 y = ln x + 2 x ? 6 的零点所 在区间?如何找出这个零点? 在区间?如何找出这个零点? 新知:对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a)i f (b) <0 的函数 y = f ( x) ,通过不断的把函数的零点所在的区间 新知: 一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫二分法 二分法(bisection). 一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫二分法 反思: 反思: 给定精度ε 的零点近似值的步骤如何呢? 给定精度ε,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如何呢? 给定精度ε ①确定区间 [a, b] ,验证 f (a)i f (b) < 0 ,给定精度ε; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③ 计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) = 0 , 则 x1 就是函数的零点 ; 若 f (a)i f ( x1 ) < 0 , 则令 b = x1 ( 此时零点
x0 ∈ ( a, x1 ) ) 若 f ( x1 )i f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ∈ ( x1 , b) ) ; ;

;否则重复步骤 ④判断是否达到精度ε;即若 | a ? b |< ε ,则得到零点零点值 a(或 b) 否则重复步骤②~④. 判断是否达到精度ε ( ) 否则重复步骤② ④ ; (三)典型例题

借助计算器或计算机 的近似解. 例 1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程 2 x + 3x = 7 的近似解 解析: 缩小根所在的区间。 解析:如何进一步有效的 缩小根所在的区间。 解:原方程即为 2 + 3 x ? 7 = 0 ,令 f ( x) = 2 + 3 x ? 7 ,用计算器或计算机作出对应的表格与图象
x

x

(见课本 90 页) 则 f ( 2) f (1) < 0 ,说明在区间 (1,2) 内有零点 x0 , 取区间 (1,2) 的中点 1.5 ,用计数器计算得 f (1.5) ≈ 0.33 ,因为 f (1) f (1.5) < 0 ,所以 x0 ∈ (1,1.5) . 再 取 区 间 (1,1.5) 的 中 点 1.25 , 用 计 数 器 计 算 得 f (1.25) ≈ ?0.87 , 因 为 f (1) f (1.5) < 0 , 所 以

x0 ∈ (1.25,1.5) .
同理可得 x0 ∈ (1.375,1.5) x0 ∈ (1.375,1.4375) 由于

1.375 ? 1.4375 = 0.0625 < 0.1 ,
所以方程 的近似解可取为 1.4375. 点评:利用同样的方法可以求方程的近似解。 点评:利用同样的方法可以求方程的近似解。 的根大致所在区间. 变式训练 1:求方程 ln( x) ? 2 x + 3 = 0 的根大致所在区间 :

的解的个数及其大致所在区间. 例 2 求方程 log 3 x + x = 3 的解的个数及其大致所在区间 分析:用二分法求方程的近似解的原理的应用,学生小组合作共同完成。 分析:用二分法求方程的近似解的原理的应用,学生小组合作共同完成。 的原理的应用

变式训练 2
的一个正数零点( 求函数 f ( x) = x3 + x ? 2 x ? 2 的一个正数零点(精确到 0.1 ) 零点所在区间 中点函数值符号 区间长度

(四)小结:今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验?课堂上师生主要解决重点、难点、 四 小结 今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验?课堂上师生主要解决重点、难点、 小结: 疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展, 疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达 到提高课堂效率的目的。 到提高课堂效率的目的。

【板书设计】 板书设计】 一、二分法的思想及步骤 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2

【作业布置】课本 91 页 1 作业布置】

§3.1.2 用二分法求方程的近似解学案 用二分法求方程的近似解学案

课前预习学案
一、预习目标 能说出零点的概念,零点的等价性,零点存在性定理。 能说出零点的概念,零点的等价性,零点存在性定理。 二、预习内容 找出疑惑之处) (预习教材 P89~ P91,找出疑惑之处) 复习 1: 什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理? : 什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理? 对于函数 y = f ( x) ,我们把使 的零点. 的实数 x 叫做函数 y = f ( x) 的零点
? 函数 y = f ( x)

方程 f ( x) = 0 有实数根 ? 函数 y = f ( x) 的图象与 x 轴

. ,那么,函数 那么,

上的图象是连续不断的一条曲线, 如果函数 y = f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
y = f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点 内有零点.

复习 2:一元二次方程求根公式? 三次方程? 四次方程? :一元二次方程求根公式? 三次方程 四次方程?

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑, 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 2. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系, 初步形成用函数观点 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系, 处理问题的意识. 处理问题的意识 学习重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系, 学习重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观 点处理问题的意识. 点处理问题的意识. 学习难点:精确度概念的理解, 学习难点:精确度概念的理解,求方程近似解一般步骤的概括和理解 二、学习过程 探究任务: 探究任务:二分法的思想及步骤 问题: 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的, 问题:有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的,要 求次数越少越好. 求次数越少越好 解法: 解法: 第一次, 第一次,两端各放 第二次, 第二次,两端各放 第三次, 第三次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 个球,低的那一端一定有重球; 个球,低的那一端一定有重球; 个球,低的那一端一定有重球; 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球.

思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法, 思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法,如何求 y = ln x + 2 x ? 6 的零点所 在区间?如何找出这个零点? 在区间?如何找出这个零点? 零点

新知:对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a)i f (b) <0 的函数 y = f ( x) ,通过不断的把函数的零点所在的 新知: 区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection). 区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法 二分法

反思: 反思: 给定精度ε 的零点近似值的步骤如何呢? 给定精度ε,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如何呢?

给定精度ε ①确定区间 [a, b] ,验证 f (a)i f (b) < 0 ,给定精度ε; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③ 计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) = 0 , 则 x1 就是函数的零点 ; 若 f (a)i f ( x1 ) < 0 , 则令 b = x1 ( 此时零点
x0 ∈ ( a, x1 ) ) 若 f ( x1 )i f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ∈ ( x1 , b) ) ; ;

;否则重复步骤 ④判断是否达到精度ε;即若 | a ? b |< ε ,则得到零点零点值 a(或 b) 否则重复步骤②~④. 判断是否达到精度ε ( ) 否则重复步骤② ④ ; 三、 典型例题 借助计算器或计算机, 的近似解. 例 1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程 2 x + 3x = 7 的近似解

变式: 的根大致所在区间. 变式:求方程 2 x + 3x = 7 的根大致所在区间

的解的个数及其大致所在区间. 例 2 求方程 log 3 x + x = 3 的解的个数及其大致所在区间

变式训练
的一个正数零点( 求函数 f ( x) = x3 + x ? 2 x ? 2 的一个正数零点(精确到 0.1 ) 零点所在区间 中点函数值符号 区间长度

四、反思总结 二分法的概念; 二分法步骤; 二分法思想. ① 二分法的概念;②二分法步骤;③二分法思想 五、当堂达标 解个数及其大致所在区间. 1. 求方程 0.9 x ? 0.1x = 0 的实数 解个数及其大致所在区间

课后练习与提高
1. 若函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上为减函数,则 f ( x) 在 [ a, b] 上( 为减函数, A. 至少有一个零点 C. 没有零点 B. 只有一个零点 D. 至多有一个零点 ). ).

2. 下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是( 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(

3. 函数 f ( x) = 2 x ln( x ? 2) ? 3 的零点所在区间为( 的零点所在区间为( A. (2,3) B. (3, 4) C. (4,5) D. (5,6)

).

4. 用二分法求方程 x3 ? 2 x ? 5 = 0 在区间 , 3]内的实根, 由计算器可算得 f (2) = ?1 , f (3) = 16 , 在区间[2, 内的实根 内的实根,
f (2.5) = 5.625 ,那么下一个有根区间为

. ,大致所在区间为 .

的零点个数为 5. 函数 f ( x) = lg x + 2 x ? 7 的零点个数为

6. 借助于计算机或计算器,用二分法求函数 f ( x) = x3 ? 2 的零点(精确到 0.01 ). 借助于计算机或计算器, 的零点(


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