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高考数学考前60天冲刺50题【六大解答题】三角函数专练


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新课标高考数学考前 60 天冲刺 50 题【六大解答题】
三角函数 1.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a =1,b=2,cosC= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值. 1

2. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c

,且 c ? 2, C ? 60? (1)求
a?b 的值; sin A ? sin B

(2)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 。

3 . 设 ?ABC 的 三 个 内 角
?? ? sin ? A ? ? ? cos A . 6? ?

A, B, C

所 对 的 边 分 别 为 a, b, c . 已 知

(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值.

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4,在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 cos 2C ? ?
1 . 4

(1)求 sin C 的值; (2)当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长.

5,已知 ?ABC 中, a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,关于 x 的不等式
x2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集.

(1)求角 C 的最大值; (2)若 c ? , ?ABC 的面积 S ?
7 2 3 3 ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的 2

值.

16.在 ?ABC 中,

1 cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC .

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6.已知函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0,| ? |? π , x ? R)
2

的图象的一部分如下图所示. (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值.

7.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ?? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? ?
? 6 2?

8.在 ?ABC 中,a、、 分别为角 A、、 的对边,且满足 b2 ? c2 ? a2 ? bc . BC bc (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 最大值. 9.三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设 向量 m ? (c ? a, b ? a), n ? (a ? b, c) ,若 m // n . (I)求角 B 的大小; (II)求 sin A ? sin C 的取值范围. 10.三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设 向量 m ? (c ? a, b ? a), n ? (a ? b, c) ,若 m // n . (I)求角 B 的大小;
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? ?
?
?

3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的

?

?

?

?

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(II)求 sin A ? sin C 的取值范围.

11. 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经 过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ,求函数
? 2π y ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? 3 ? 2 ? ?

12.设向量α =( 3 sin 2x,sin x+cos x),β =(1,sin x- cos x),其中 x∈R,函数 f (x)=α ? β . (Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 若 f (θ )= 3 , 其中 0<θ < , cos(θ + )的值. 求
? ? ? 13.设向量 a ? (4cos? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? )
2 6 π π

(1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ?16 ,求证: a ∥ b 。 14.已知 △ ABC 的面积为 1 ,且满足 0 ? AB ? AC ? 2 ,设 AB 和 AC 的夹 角为 ? . (I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ? π ? ? ? ? cos(2? ? ? ) 的最大值及取得最大值 ? ?
?4 ? 6
? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

时的 ? 值. 15.已知向量 a ? (cos
? ?
? ? 3 3 x x ? 3 x, sin x) , b ? (cos ,? sin ) ,且 x ? [ , ? ] 2 2 2 2 2 2

(1)求 | a ? b | 的取值范围; (2)求函数 f ( x) ? a ? b ? | a ? b | 的最小值,并求此时 x 的值 16.已知 sin( A ?
?
4 )? 7 2 ? , A ? (0, ). 10 4
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? ?

?

?

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(1)求 cos A 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 5cos A cos x ? 1 的值域。 17. (本小题满分为 12 分)已知△ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sinA ? sin ? B 2 sin c,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c(1)求 AB 的长; (2)若△ABC 的面积为
1 sin c 求角 6

C 的大小。

18、在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足
2c ? b cos B ? a cos A .

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值. 19.在 ?ABC 中,
1 cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC . 20.已知向量 m ? ? sin A,cos A? , n ? ?1, ?2? ,且 m?n ? 0 。 (1)求 tan A 的值; 2 2 (2)求函数 f ? x? ? 2 3 ? 1? 2 sin x? ? tanA sin x的最大值和单调递增区 间。 21.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经 过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ,求函数
y ? 3f (

??

?

?? ?

?
2

2π ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? ? ? 3?

?? ? ?? ? 22.已知 m ? (2cos x ? 2 3sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 .

(I)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (II)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若
f( A ) ? 3 ,且 a ? 2 ,求 b ? c 2

的取值范围.

23.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且
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b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? ac sin A cos A

(1)求角 A; (2)若 a ? 2 ,求 bc 的取值范围. 24.已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,向量
m ? (2 sin B,? 3) , n ? (cos 2 B,2 cos 2 B ? 1) ,且 m ∥ n , B 为锐角. 2

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值. 25.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边 经过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ,求函数
2 ? 3? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 26.三角形 ABC 中, AB ? AC ? 1, ? BC ? ?3 AB sin( A ? B) 的值 (1)求边 AB 的长度 (2) 求 sin C y ? 3f (

?

2π ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? ?

解: 27. 已知函数 f(x)=asinx+bcos(x- ( 7π ,0). 6 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)在[0,π ]上的单调递增区间. π π 1 )的图象经过点( , ), 3 3 2

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π 3 1 (2)由(1)知: (x)= 3sinx-cos(x- )= sinx- cosx f 3 2 2 π =sin(x- ).(9 分) 6 π π π π 由 2kπ - ≤x- ≤2kπ + ,解得 2kπ - ≤x≤2kπ 2 6 2 3 2π + 3

k∈Z.

2π ∵x∈[0,π ],∴x∈[0, ],∴函数 f(x)在[0,π ]上的单 3 2π 调递增区间为[0, ]. 3 28.已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n. (I)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间; (II) 在△ABC 中,a, b, c 分别是角 A、 C 的对边, f ( A) ? 4, b ? 1, B、 若 △ABC 的面积为
3 ,求 a 的值. 2
D P O C

30. 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂

A

B

的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含 边界) ,且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺 设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的总长为 ykm。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成θ 的函数关系式;
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②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位 置,使三条排污管道总长度最短 31 . 设 三 角 形
ABC

的内角

A, B, C, 的

对边分别为

a, b c , ,

a ? 4, c ? 13 , sin A ? 4sin B .

(1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小. (3)如果 cos( x ? C ) ? 5 (? 2 ? x ? 0) ,求 sin x .
? ? ? 3 n ? (cosB cosC , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2 (1)求 A 的大小;

4

?

32. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (?1,1) ,

?

(2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? ( 3 ?1)b ? 0 ;③ B ? 45? ,试从中再选择两个条件以确定 ?ABC ,求出所 确定的 ?ABC 的面积. (注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则 按第一方案给分) . 33.在 ? ABC 中,三个内角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c ,其中 c ? 10 , 且
cos A b 4 ? ? 。 cos B a 3

(1)求证: ? ABC 是直角三角形; (2)若 ? ABC 的外接圆为 ? O ,点 P 位于劣弧 ? 上, ?PAB ? 60? , AC 求四边形 ABCP 的面积。 34.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A

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? (2)若 cosB= 1 ,△ABC的周长为5,求b的长.
4

2012 届高考数学(理)考前 60 天冲刺【六大解答题】三角函数 专练 1.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a= 1 1,b=2,cosC= . (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A - 4 C)的值. 1 2 2 2 【解答】 (1)∵c =a +b -2abcosC=1+4-4× =4, 4 ∴c=2,∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. ?1?2 1 15 2 (2)∵cosC= ,∴sinC= 1-cos C= 1-? ? = , ?4? 4 4 ? ? 15 4 asinC 15 ∴sinA= = = . c 2 8 ∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角, 15?2 7 ? ∴cosA= 1-sin A= = . 8 ? 8 ? 7 1 15 15 11 ∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= × + × = . 8 4 8 4 16
2

? 1-? ? ?

2. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c ,且 c ? 2, C ? 60? (1)求
a?b 的值; sin A ? sin B

(2)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 。 解: (1)由正弦定理可设 所以 a ? 所
4 3 (sin A ? sin B) a?b 4 3 3 ? ? sin A ? sin B sin A ? sin B 3

a b c 2 2 4 3 , ? ? ? ? ? sin A sin B sin C sin 60? 3 3 2

4 3 4 3 sin A, b ? sin B , 3 3

以 . ??????

?6 分
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(2)由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C , 即 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab , 又 a ? b ? ab ,所以 (ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 , 解得 ab ? 4 或 ab ? ?1 (舍去) 所以 S?ABC ? 1 ab sin C ? 1 ? 4 ?
2 2 3 ? 3. 2
A, B, C

3 . 设 ?A B C 的 三 个 内 角
?? ? sinA? ??co s . A ? 6? ?

所 对 的 边 分 别 为 a, b, c . 已 知

(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值. 本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、 余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思 想. 解法一: (Ⅰ)由已知有 sin A ? cos 故 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 . 又 0 ? A ? ? ,所以 A ? .
3

?
6

? cos A ? sin

?
6

? cos A ,

?

(Ⅱ)由正弦定理得 b ? 故b ? c ?
4 3

a ? sin B 4 a ? sin C 4 ? sin B, c ? ? sin C , sin A sin A 3 3

?sin B ? sin C ? .????????????8 分

2? 2? 3 3 ? 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin ? ? B ? ? sin B ? sin ? cos B ? cos ? sin B ? sin B ? cos B 3 3 2 2 ? 3 ?

?? ? ????????????10 ? 3 sin ? B ? ? . 6? ?


第 10 页 共 10 页

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所以 b ? c ? 4 sin( B ? 因为 0 ? B ? ∴当 B ?
?
6
2? 3

?
6

).

,所以
?
3

?
6

? B?

?
6

?

5? 6

.

?

?
2

即 B ? 时,sin? B ? ? ? 取得最大值1 ,b ? c 取得最 ? ?
? 6?

大值4. ????12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. ( Ⅱ ) 由 余 弦 定 理
a2 ? b 2 ? 2 2 ? c bo 得 c cs

,A

4 ? b2 ? c 2 ? bc ,????????????8

分 ,) ? b 分 即 3c


(b ? c) 2 ? 3(



4? b

2

( ?c

b?c 2 ) ? 4 ,????????????10 2

(b ? c)2 ? 16 ,故 b ? c ? 4 .

所以,当且仅当 b ? c ,即 ?ABC 为正三角形时, b ? c 取得最 大值4. ????12 分 4,在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 cos 2C ? ?
1 . 4

(1)求 sin C 的值; (2)当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长. (1)解:因为 cos 2C ? 1 ? 2sin 2 C ? ? ,及 0 ? C ? ? , 所以 sin C ?
10 . 4
1 4

(2)解:当 a ? 2, 2sin A ? sin C 时,
a c ? ,得 c ? 4. sin A sin C 1 由 cos 2C ? 2 cos 2 C ? 1 ? ? , 及 0 ? C ? ? 4

由正弦定理

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得 cos C ? ? 由余弦定理 c2

6 . 4
? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,

得 b2 ? 6b ? 12 ? 0 , 解得 b ? 6或2 6 所以 ? ?
?b ? 6, ?b ? 2 6 ? 或? ?c ? 4 ?c ? 4. ? ?

.解:(1) 证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA ,
EC ? 平面 PDA ∴EC//平面 PDA ,

同理可得 BC//平面 PDA

----------2 分

∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC ? BC ? C ∴平面 BEC //平面 PDA -------4 分 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA -------6 分

(2)∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PDCE ∴平面 PDCE ? 平面 ABCD ∵ BC ? CD ∵ S梯形PDCE ? ∴BC ? 平面 PDCE ----------8 分
1 1 ( PD ? EC ) ? DC ? ? 3 ? 2 ? 3 ------10 2 2



∴四棱锥 B-CEPD 的体积
1 1 VB ?CEPD ? S梯形PDCE ? BC ? ? 3 ? 2 ? 2 .----------12 分 3 3 5,已知 ?ABC 中, a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,关于 x

的不等式
x2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集.

(1)求角 C 的最大值; (2)若 c ? , ?ABC 的面积 S ?
7 2 3 3 ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的 2

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值. 解 :( 1 ) 显 然
c oC ? 0 s

不合题意,则有 ? ?? ? 0

?cos C ? 0



---------------------2 分
?cos C ? 0 即? , 16sin 2 C ? 24cos C ? 0 ?
?cos C ? 0 即? ? 1, cos C ? ?2或 cos C ? ? ? 2

故 cos C ? ,--4

1 2

分 ∴ 角 C 的 最 大 值 为 60? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ------------------------------------6 分 ( 2 ) 当
C

=

60?

时 , S?ABC ? ab s iC n ?

1 2

3 ab ? 4

3 2

, ∴ 3

ab ? 6 -------------8



由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 2ab ? 2ab cos C , ∴ (a ? b)2 ? c 2 ? 3ab ?
11 121 ,∴ a ? b ? 。 2 4 1 16.在 ?ABC 中, cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC . 解: (I)由已知得: 1 (2 cos 2 A ? 1) ? cos 2 A ? cos A ,
2

? cos A ?
?A?

?
3

1 . 2

?0 ? A ? ?



. ??????5

分 可得:
2 2

(II)由

b c ? sin B sin C ? b ? 2c
2 2

sin B b ? ?2 sin C c

??????8 分
2

cos A ?

b ?c ?a 4c ? c ? 9 1 ? ? 2bc 2 4c 2

??????

10 分 解得: ? 3 , b ? 2 3 c
S? 1 1 3 3 3 bc sin A ? ? 2 3 ? 3 ? ? 2 2 2 2

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6.已知函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0,| ? |? π , x ? R)
2

的图象的一部分如下图所示. (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值. I)由图象,知 A=2, 2π ? 8 .
?


f( ? π ?? 4

??

π 4




i

.?????????????????2 分 x) 2 x s
4 2

当 x ? 1 时,有 π ?1 ? ? ? π . ∴
??
π . 4

????????????????????

????4 分 ∴
π π f ( x) ? 2sin( x ? ) . 4 4

???????????????

?? 5 分 (II) y ? 2sin( π x ? π ) ? 2sin[ π ( x ? 2) ? π ]
4 4 4 4

π π π π ? 2sin( x ? ) ? 2cos( x ? ) 4 4 4 4

???????????7


π π ? 2 2 sin( x ? ) 4 2 π ? 2 2 cos x 4

???????????????????10 分 ∴ ymax ? 2
2 , ymin ? ?2 2 .

?
第 14 页 共 14 页

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7.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ?? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? ?
? 6 2?

16 解析: (Ⅰ)∵ f ? x? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?
?
6 ?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2
3 . 2

∴ f ( x) 在区间 ?? ? , ? ? 上的最大值为 1,最小值为 ? ? ?
? 6 2?

8.在 ?ABC 中,a、、 分别为角 A、、 的对边,且满足 b2 ? c2 ? a2 ? bc . BC bc (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 最大值. (Ⅰ) ?ABC 中, b2 ? c2 ? a2 ? bc 及余弦定理得 cos A ? b 在 由 2分 而 0 ? A ? ? ,则 A ? ;
3
2

3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的

? c2 ? a2 1 ? ? 2bc 2

?

?????

4分 (
b s Bi ?


c n


? C s



a ? 3, A ?

?
3













a 3 ?2 , i 3A n 2

s

??6 分 ?
i n

同理 c ? 8分

a 2? ? sin C ? sin( ? x) sin A 3

?????

第 15 页 共 15 页

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y ? 2 sin x ? 2 sin( 2? ? ? x) ? 3 ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 3 6

????

??10 分 ∵A? ∴x?
?
6 ?

?
?
3

,? 0 ? x ?

2

即 x ? 时, ymax ? 3 3 。
3

?

2? 3

∴x?

?

? 5? ?( , ) , 6 6 6

9.三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设 向量 m ? (c ? a, b ? a), n ? (a ? b, c) ,若 m // n . (I)求角 B 的大小; (II)求 sin A ? sin C 的取值范围. 解(I)由 m // n 知 理知
cos B ? 1 ? ,得 B ? 3 2
?
?

?

?

?

?

c?a b?a ? a?b c

,即得 b2 ? a2 ? c2 ? ac ,据余弦定

——————6 分
?
3 )

(II) sin A ? sin C ? sin A ? sin( A ? B) ? sin A ? sin( A ?

1 3 3 3 ? sin A ? sin A ? cos A ? sin A ? cos A 2 2 2 2
? 3 sin( A ?

?
6

)

————————9

分 因为 B ? ,所以 A ? C ? 所以 A ? ? ( , 6 3 6 为 ( , 3] .
2
?

?

?

3

? 5?

? 1 ) ,得 sin( A ? ) ? ( ,1] ,即得 sin A ? sin C 的取值范围 6 6 2

2? 3

,得 A ? (0,

2? ) 3

————10 分

10.三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设 向量 m ? (c ? a, b ? a), n ? (a ? b, c) ,若 m // n . (I)求角 B 的大小;
?
?
?

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(II)求 sin A ? sin C 的取值范围. 解(I)由 m // n 知 理知
cos B ? 1 ? ,得 B ? 3 2
?
?

c?a b?a ? a?b c

,即得 b2 ? a2 ? c2 ? ac ,据余弦定

——————6 分
?
3 )

(II) sin A ? sin C ? sin A ? sin( A ? B) ? sin A ? sin( A ?

1 3 3 3 ? sin A ? sin A ? cos A ? sin A ? cos A 2 2 2 2
? 3 sin( A ?

?
6

)

————————9

分 因为 B ? ,所以 A ? C ?
3

?

所以 A ? 范围为 (

?

? 5? ? ( , ) , s( i 得n 6 6 6

2? 3

,得 A ? (0,
? 1 A? ( ? ) 1 ,] 6 2

2? ) 3

————10 分

, 即得 sin A ? sin C 的取值

3 , 3] . 2

11. 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边 经过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ,求函数
? 2π y ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? 3 ? 2 ? ?

第 17 页 共 17 页

[键入文字]

12.设向量α =( 3 sin 2x,sin x+cos x),β =(1,sin x- cos x),其中 x∈R,函数 f (x)=α ? β . (Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 若 f (θ )= 3 , 其中 0<θ < , cos(θ + )的值. 求
2 6 π π

(Ⅰ)解:由题意得

f (x)=

3

sin 2x +(sin x -cos

x)(sin x+cos x)

π 6
3 sin

2x-cos 2x=2sin (2x-

),

故 π.

f

(x)













T =

2π 2



????6 分 (Ⅱ)解:若 f (θ )=
3 ,则

2sin (2θ - π )=
6

3



所以,sin (2θ - π )=
6
2

3 2


4

又因为 0<θ < π ,所以θ = π 或 5π . 当θ 当θ

12 = π 时,cos(θ + π )=cos( π + π )= 6 ? 2 ; 4 4 6 4 6 5π π 5π π = 时,cos(θ + )=cos( + )=-cos 5π 6 6 12 12 12

=-

第 18 页 共 18 页

[键入文字]

6? 2 4


? ? ?

13.设向量 a ? (4cos? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ?16 ,求证: a ∥ b 。
? ?
? ?
?

?

?

14.已知 △ ABC 的面积为 1 ,且满足 0 ? AB ? AC ? 2 ,设 AB 和 AC 的夹 角为 ? . (I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ? ? 时的 ? 值. 解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 则由 2分 可得 tan ? ? 1 , 分
?π π ? ?? ? (0, ? ) ∴? ? ? , ? . ?4 2 ?
1 bc sin ? ? 1 , 0 ? bc cos ? ? 2 , 2

?

?

?

?

π ? ? ? ? ? ? cos(2? ? ) 的最大值及取得最大值 6 ?4 ?

?????????????

?????????????4

?????????????6 分
第 19 页 共 19 页

[键入文字]

(Ⅱ) f (? ) ? ? ?1 ? cos ? π ? 2? ?? ? ( 3 cos 2? ? 1 sin 2? ) ?????8 分 ? ?? ?
? ?2 ?? 2 2
? 1 ? sin 2? ?

? 3 1 cos 2? ? sin 2? ? 3 sin(2? ? ) ? 1 .????10 6 2 2



π π ? π 5π ? ?π π ? ∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? , ∴ 当 ? ? 3 6 ?3 6 ? ?4 2 ?

时, ??????12

分 有 f (? )max ? 3 ?1. . 分 15.已知向量 a ? (cos
? ?
? ? 3 3 x x ? 3 x, sin x) , b ? (cos ,? sin ) ,且 x ? [ , ? ] 2 2 2 2 2 2

????????????14

(1)求 | a ? b | 的取值范围; (2)求函数 f ( x) ? a ? b ? | a ? b | 的最小值,并求此时 x 的值 解析: (1)∵
? 3 x ?[ , ? ] 2 2
? ? ? ?


?

? 1 ? cos 2 x ? 1 ;

? ? | a ? b |? 2 ? 2 cos2x



0≤ | a ? b | ≤2

?

4分 分

(2)∵ ∵

? 3 x ?[ , ? ] ∴ ? 1 ? cos x ? 0 ;????6 2 2 ? ? ? ? f ( x) ? a ? b ? | a ? b |? cos2x ? 2 ? 2 cos2x

? 2 cos2 x ? 1 ? 4 cos2 x ? 2 cos2 x ? 2 cos x ? 1??????10 分 1 2 4 ? ? ? ? ∴ 当 cos x ? ? ,即 x ? ? 或 x ? ? 时, f ( x) ? a ? b ? | a ? b | 取最 2 3 3 3 小值- 。 2

16.已知 sin( A ?

?
4

)?

7 2 ? , A ? (0, ). 10 4

(1)求 cos A 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 5cos A cos x ? 1 的值域。 解:
第 20 页 共 20 页

[键入文字]

(Ⅰ)因为 0 ? A ? ,且 sin( A ?
4

?

?
4

)?

7 2 , 10

所以

?
4

? A?

?
4

?

?
2

, cos( A ?
?
)? ] 4 4

?
4

)?

2 . 10

因为 cos A ? cos[( A ?
? ?

?

? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4

?

?

?

2 2 7 2 2 4 ? ? ? ? 10 2 10 2 5


c A? 4 . 5


o ????????????

????6 分

17. (本小题满分为 12 分)已知△ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sinA ? sin ? B 2 sin c,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c(1)求 AB 的长; (2)若△ABC 的面积为 解
1 sin c 求角 6

C 的大小。

( 1 ) a ? b ? 2c ∵ a ? b ? c ? 2 ?1 -------------------2 分 ∴ 2c ? c ? 2 ? 1 ∴C=1 ---------------------6 分 (2)S ? 分
1 ? 4 ?ab ? 3 ∵? ? a 2 ? b2 ? 3 ?a ? b ? 2 ?
1 1 1 AC ? BC sin c ? sin c ? ab ? 2 6 3

---------------------8

---------------------10 分

第 21 页 共 21 页

[键入文字]

4 ?1 a ?b ?c 1 3 cos c ? ? ? 2 2ab 2 3
2 2 2

∴c ?

?
3

18、在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足
2c ? b cos B ? a cos A .

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值.
2c ? b cos B ? cos A , 解:解: (Ⅰ)因为 a

所以 (2c ? b) ? cos A ? a ? cos B

由正弦定理,得 (2sin C ? sin B) ? cos A ? sin A ? cos B . 整理得 2sin C ? cos A ? sin B ? cos A ? sin A ? cos B . 所以 2sin C ? cos A ? sin( A ? B) ? sin C . 在△ ABC 中, sin C ? 0 . 所以 (Ⅱ)由余弦定理
b2 ? c2 ? 20 ? bc ? 2bc ? 20
cos A ? 1 ? ?A ? 2, 3

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

, a?2 5 .

所以

所以 bc ? 20 ,当且仅当 b ? c 时取“=”
1 S ? bc sin A ? 5 3 2 所以三角形的面积 .

所以三角形面积的最大

值为 5 3 19.在 ?ABC 中,
1 cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC . 解: (I)由已知得: 1 (2 cos 2 A ? 1) ? cos 2 A ? cos A ,
2

第 22 页 共 22 页

[键入文字]

? cos A ? ?A?

?
3

1 . 2

?0 ? A ? ?



. ??????5

分 可得:
2 2

(II)由

b c ? sin B sin C ? b ? 2c
2 2

sin B b ? ?2 sin C c

??????8 分
2

cos A ?

b ?c ?a 4c ? c ? 9 1 ? ? 2bc 2 4c 2

??????
c ? 3 ,b ? 2 3

10 分 解
S?





1 1 3 3 3 bc sin A ? ? 2 3 ? 3 ? ? 2 2 2 2

20.已知向量 m ? ? sin A,cos A? , n ? ?1, ?2? ,且 m?n ? 0 。 (1)求 tan A 的值; 2 2 (2)求函数 f ? x? ? 2 3 ? 1? 2 sin x? ? tanA sin x的最大值和单调递增区 间。 ?? ? ?? ? 16、解:(1)由 m ? ? sin A,cos A? , n ? ?1, ?2? ,且 m?n ? 0 , 得 sin A ? 2cos A ? 0 ? tan A ? 2 (2)由 f ? x ? ? 2 3 ?1 ? 2sin 2 x ? ? tan A sin 2 x
? 2 3 cos 2 x ? 2sin 2 x ?? ? ? 4sin ? 2 x ? ? ,所以 f ? x ? 的最大值是 4 3? ? 5? ? ? ? ? 又 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? 得 k ? ? ? x ? k ? ? 12 12 2 3 2 5? ?? 所以递增区间是 ?k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ? 12 12 ? ?

??

?

?? ?

21.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经 过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ,求函数
y ? 3f (

?
2

2π ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? ? ? 3?

解: (1)因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,所以
? sin ? ? 1 3 , cos ? ? ? 2 2

, tan ? ? ?

3 3

------------3

第 23 页 共 23 页

[键入文字]


?sin 2? ? tan ? ? 2sin ? cos ? ? tan ? ? ? 3 3 3 ---------6 ? ?? 2 3 6 ? f ( x) ? cos( x ? ? )cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x

分 , ----1

(2) x ? R --------8 分
?

? y ? 3 cos( ? 2 x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 2 6

?

0分
?0 ? x ?
?? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

2? 4? ? ? 7? ,? 0 ? 2 x ? ,?? ? 2 x ? ? 3 3 6 6 6

, 分

??2 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 1 ------------------13 6

?

故:函数 y ? 围是 [?2,1]
??

? ? 2π ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范 2 ? 3?
?
?? ?

22.已知 m ? (2cos x ? 2 3sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 . (I)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (II)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若
f( A ) ? 3 ,且 a ? 2 ,求 b ? c 2

的取值范围.

解: (I)由 m ? n ? 0 得 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 即 y ? 2 cos2 x ? 2
3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6

?? ?

?

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? (II)因为 f (
A?
A?

?

6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? .????6



?
6

A ) ? 3 ,则 2

? 2 k? ?

?

?
3

2

,k ?Z

.因为

A

为三角形内角,所以

????9 分 由正弦定理得 b ?
4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3
第 24 页 共 24 页

[键入文字]

b?c ?

4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin(B ? ) 3 3 3 3 3 6
2? ? 1 ) ,? sin( B ? ) ? ( ,1] ,? b ? c ? (2,4] , 3 6 2

? B ? (0,

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] 23.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且
b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? ac sin A cos A

(1)求角 A; (2)若 a ? 2 ,求 bc 的取值范围. 解 :( 1 )
? b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? ac sin A cos A



?

? 2ac cos B ? cos B ? ac sin A cos A



? ?ABC为锐角三角形
? cos B ? 0 ? 2 sin A cos A ? 1



即sin 2 A ? 1



? 2A ?

?
2

,A?

?
4

-----------------6 分
a b c ? ? sin A sin B sin C

( 2 ) 正 根 据 弦 定 理 可 得 :
? bc ? 4 sin B sin C -----------8



分 ,

C?

3? ?B 4

? bc ? 4 sin B sin(

3? ? B) 4

=

4 sin B(

2 2 cos B ? sin B) 2 2

? 2 sin 2B ? 2 (1 ? cos2B)
? bc ? 2 sin( 2 B ?

?
4

)? 2

---------------------------------12

分 又 ,
? ? ?0 ? B ? 2 ? ?? ?0 ? 3? ? B ? ? ? 4 2 ?
第 25 页 共 25 页

?ABC为锐角三角形

,得到

B

的范围:

[键入文字]

( , ) ----13 4 2

? ?

分 分

? 2B ?

?

? 3? ? ( , ) ,则 bc 范围: (2 2,2 ? 2 ] ----14 4 4 4

24.已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,向量
m ? (2 sin B,? 3) , n ? (cos 2 B,2 cos 2 B ? 1) ,且 m ∥ n , B 为锐角. 2

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值. 解 : ( Ⅰ ) ∵
m

//

n



2 sin B(2 cos 2

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B ?????????1 2

分 即


tan2B ? ? 3 .

sin 2B ? ? 3 cos2B

.

??????????3 分 又 ∵
B











2B ? (0, ? ) .

????????????????4 分 ∴
2B ? 2? 3





B?

?
3

. ???????????????????5 分
a2 ? c2 ? b2 (Ⅱ)∵ B ? , b ? 2 ,∴由余弦定理 cos B ? 3 2ac
a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 0 .

?



又∵ a 2 ? c 2 ? 2ac ,代入上式得 ac ? 4 (当且仅当
a ? c ? 2 时等号成

立).

????????????????

???????????8 分 ∴ S ?ABC ?
1 3 ac sin B ? ac ? 3 2 4

(当且仅当 a ? c ? 2

第 26 页 共 26 页

[键入文字]

时等号成 立). ∴ ?ABC 面积的最大值为 3 . 25.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边 经过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ,求函数
y ? 3f (

?
2

2π ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? ? ? 3?

解: (1)因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,所以
? sin ? ? 1 3 , cos ? ? ? 2 2

, tan ? ? ?

3 3

------------3


?sin 2? ? tan ? ? 2sin ? cos ? ? tan ? ? ? 3 3 3 ---------6 ? ?? 2 3 6 ? f ( x) ? cos( x ? ? )cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x

分 , ----1

(2) x ? R --------8 分
?

? y ? 3 cos( ? 2 x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 2 6

?

0分
?0 ? x ?
?? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

2? 4? ? ? 7? ,? 0 ? 2 x ? ,?? ? 2 x ? ? 3 3 6 6 6

, 分

??2 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 1 ------------------13 6

?

故:函数 y ?

? ? 2π ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范 2 ? 3?

围是 [?2,1] ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB 26.三角形 ABC 中, AB ? AC ? 1, ? BC ? ?3 (1)求边 AB 的长度 解: (1)? AB ? AC ? AB ? BC ? 4? AB ? ? AC ? BC ? ? 4? AB
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? 2 ? ? 4 ? AB ? 2

(2) 求

sin( A ? B) 的值 sin C

·········· 分 ··········6
第 27 页 共 27 页

[键入文字]

(2)因为 bccosA=1;accosB=3. ·········· 分 ··········8 所以
b cos A 1 sin B cos A 1 ? ? ? ? sin A cos B ? 3sin B cos A a cos B 3 sin A cos B 3

·········· ··········10 分

于是

sin ? A ? B ? sin ? A ? B ? sin A cos B ? cos A sin B 2cos A sin B 1 ? ? ? ? sin C sin ? A ? B ? sin A cos B ? cos A sin B 4cos A sin B 2

27. 已知函数 f(x)=asinx+bcos(x- ( 7π ,0). 6 (1)求实数 a,b 的值;

π π 1 )的图象经过点( , ), 3 3 2

(2)求函数 f(x)在[0,π ]上的单调递增区间.

π 3 1 (2)由(1)知: (x)= 3sinx-cos(x- )= sinx- cosx f 3 2 2 π =sin(x- ).(9 分) 6 π π π π 由 2kπ - ≤x- ≤2kπ + ,解得 2kπ - ≤x≤2kπ 2 6 2 3 2π + 3

k∈Z.

第 28 页 共 28 页

[键入文字]

2π ∵x∈[0,π ],∴x∈[0, ],∴函数 f(x)在[0,π ]上的单 3 2π 调递增区间为[0, ]. 3 28.已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n. (I)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间; (II) 在△ABC 中,a, b, c 分别是角 A、 C 的对边, f ( A) ? 4, b ? 1, B、 若 △ABC 的面积为
3 ,求 a 的值. 2

解: (I)? m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x),
?? ? ? f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? ? 2 sin( 2 x ? ) ? 3 6

????4


?T ? 2? ?? 2

????5


令2k? ? ? k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? (k ? Z ) 2

?

2 ? x ? k? ? ? (k ? Z ) 6 3

? f ( x)的单调减区间为 [k? ?

?

2 , k? ? ? (k ? Z )] 6 3

????7

分 (II)由 f ( A) ? 4 得
f ( A) ? 2 sin(2 A ? ? sin(2 A ?

?
6

)?3? 4

?
6

)?

1 2
第 29 页 共 29 页

[键入文字]

又? A为?ABC的内角
?

?
6

6 ? 5? ? 2A ? ? 6 6
?A?

? 2A ?

?

?

7? 6

?
3

????10


3 ,b ? 1 3 1 3 ? bc sin A ? 2 2 ? S ?ABC ?
?c ? 2

????12


? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ?3 2

?a ? 3

29.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 CC1 的中点.
D1 A1 B1 E D A B C1

求证: (1)AC1∥平面 BDE; (2)A1E?平面 BDE. (1)证明:连接 AC,设 AC∩BD=O.由条件得 ABCD 为正 方形, 故 O 为 AC 中点.因为 E 为 CC1 中点,所以 OE∥AC1. ? 因为 OE?平面 BDE,AC1 / 平面 BDE.所以 AC1∥平面 BDE. (2)连接 B1E.设 AB=a,则在△BB1E 中,BE=B1E= 2a,BB1 =2a.所以 BE +B1E =BB1 . 所以 B1E?BE.由正四棱柱得,A1B1?平面 BB1C1C,所以 A1B1?BE.
第 30 页 共 30 页
2 2 2

C

[键入文字]

所以 BE?平面 A1B1E.所以 A1E?BE.同理 A1E?DE.所以 A1E?平面

BDE.
30. 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂
A B D P O C

的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含 边界) ,且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺 设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的总长为 ykm。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位 置,使三条排污管道总长度最短 【解析】本小题主要考查函数最值的应用. (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则
AQ 10 ? , 故 cos ? cos ? 10 OB ? ,又 OP=10 ? 10 tan ? , cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OA ?



所求函数关系式为 y ? ② 若 OP= x (km)

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

, 则

OQ = 10 - x , 所 以

OA

=OB= ?10 ? x ?2 ? 102 ? x2 ? 20 x ? 200 所求函数关系式为 y ? x ? 2
x 2 ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ?
第 31 页 共 31 页

[键入文字]


y' ?





















?10cos ? ? ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? cos ? cos 2 ? cos 2 ?
? 1 ? ,因为 0 ? ? ? 2 4

令 y' ? 0 得 sin ?
? 6?

,所以 ? = ,
?6 4?

? 6

当 ? ? ? 0, ? ? 时, y' ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ? ? , ? ? 时, y' ? 0 , ? ? ? ?
y 是 ? 的增函数,所以当 ? =
? 6

时, ymin ? 10 ?10 3 。这时点 P 位于线
10 3 3

段 AB 的中垂线上,在矩形区域内且距离 AB 边 31 . 设 三 角 形
ABC

km 处。
a, b c , ,

的内角

A, B, C, 的

对边分别为

a ? 4, c ? 13 , sin A ? 4sin B .

(1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小. (3)如果 cos( x ? C ) ? 5 (? 2 ? x ? 0) ,求 sin x . 解: (1)依正弦定理 sin A ? sin B 有 b sin A ? a sin B 又 a ? 4, sin A ? 4sin B ,∴ b ? 1 ??????????4 分
a b

4

?

a 2 ? b2 ? c 2 16 ? 1 ? 13 1 ? ? (2)依余弦定理有 cos C ? 2ab 2 ? 4 ?1 2

又 0? < C < 180? ,∴ C ? 60?

????????9 分

3 3? 4 3 sin( x ? C ) ? ,sin x ? [( x ? C ) ? C ] ? 5 10 ? (3)由已知得

32. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (?1,1) ,
? ? ? 3 n ? (cosB cosC , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2 (1)求 A 的大小;

?

(2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? ( 3 ?1)b ? 0 ;③ B ? 45? ,试从中再选择两个条件以确定 ?ABC ,求出所
第 32 页 共 32 页

[键入文字]

确定的 ?ABC 的面积. (注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则 按第一方案给分) .
3 ?? ? ? cos B cos C ? sin B sin C ? ?0 2 解: (1)因为 m ? n ,所以 cos B cos C ? sin B sin C ? ? 3 3 cos( B ? C ) ? ? 2 ,所以 2

即:

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A 所以
cos A ? 3 , A ? 30? 2

6分
?ABC

( 2 ) 方 案 一 : 选 择 ① ② , 可 确 定
A ? 3 ?0 a ? , 1 c ?2 , ? b ?1 ) ( 3
12 ? b2 ? (

, 因 为

0

由余弦定理,得: 整理得:

3 ?1 2 3 ?1 3 b) ? 2b ? b? 2 2 2

b2 ? 2, b ? 2, c ?

6? 2 2

1 1 6? 2 1 3 ?1 S?ABC ? bc sin A ? ? 2 ? ? ? 2 2 2 2 4 所以
?

12 分
? ?

方案二:选择①③,可确定 ?ABC ,因为 A ? 30 , a ? 1, B ? 45 , C ? 105 又
sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60? ? a sin C 1? sin105? 6? 2 ? ? ? sin A sin 30 2 6? 2 4

由正弦定理

c?

1 1 6? 2 2 3 ?1 S?ABC ? ac sin B ? ?1? ? ? 2 2 2 2 4 所以

(注意;选择②③不能确定三角形) 33.在 ? ABC 中,三个内角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c ,其中 c ? 10 , 且
cos A b 4 ? ? 。 cos B a 3
第 33 页 共 33 页

[键入文字]

(1)求证: ? ABC 是直角三角形; (2)若 ? ABC 的外接圆为 ? O ,点 P 位于劣弧 ? 上, ?PAB ? 60? , AC 求四边形 ABCP 的面积。 . (1) 解: 由 2分 所以 2 A ? ? ? 2 B 或 A ? B ,???????????? 4 分 但
a?b

c A b4 o s ? ? , 得 a cos A ? b cos B ? sin 2 A ? sin 2B, ???? c B a3 o s

,故

A? B ?

?
2

,所以

C?

?
2

,所以

? ABC

是直角三角

形;???????????? 6 分 (2)由(1)得 a ? 6, b ? 8 ,所以 S? ABC ? ???????????? 8 分 在 ? APC 中, AC ? b ? 8, AP ? 10cos60? ? 5 ,
sin ?CAP ? sin(60? ? ?BAC ) ? 3 4 1 3 4 3 ?3 ,??????? ? ? ? ? 2 5 2 5 10
1 ? 6 ? 8 ? 24 , 2

10

分 所以 S? APC ?
1 4 3 ?3 ?AC ?AP? ?CAP ? 20? sin ?8 3 ?6 2 10

所以 S? ABCP ? 8 3 ?18 。 34.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 ? (2)若 cosB= ,△ABC的周长为5,求b的长. 4

解 析 (1) 由 正 弦 定 理 得

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C,

所以

2 sin C c o s A - 2 c o s C 2 c - a ? sin A = = , sin B cos B b
第 34 页 共 34 页

[键入文字]


s A? i

sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B

,
(


)



n ? ( B

sin ,即B ? C ? 2sin A ,所以 sin C =2 ) C2 s i n

sin A

(2)由(1)知 sin C =2,所以有
sin A

c ? 2 ,即 a

c=2a,又因为 ?ABC 的周长为

5,所以 b=5-3a,由余弦定理得:
b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ,即 (5 ? 3a) 2 ? (2a) 2 ? a 2 ? 4a 2 ?
1 ,解得 4

a=1,所以

b=2.

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