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2014届高三数学辅导精讲精练88


2014 届高三数学辅导精讲精练 88
1.实验测得四组(x,y)的值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则 y 与 x 之间的回 归直线方程为 A.y=x+1 C.y=2x+1 答案 解析 A 画出散点图,四点都在直线y=x+1. ( )
^ ^ ^

( B.y=x+2 D.y=x-1
^ ^

/>)

2.下列有关样本相关系数的说法不正确的是 A.相关系数用来衡量变量 x 与 y 之间的线性相关程度 B.|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大 C.|r|≤1,且|r|越接近 0,相关程度越小 D.|r|≥1,且|r|越接近 1,相关程度越小 答案 D
^

3.由一组样本(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)得到的回归直线方程y=a+bx, 下面有四种关于回归直线方程的论述: (1)直线y=a+bx 至少经过点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)中的一个点;
^ ^

(2)直线y=a+bx 的斜率是



(3)直线y=a+bx 必过( x , y )点; (4)直线y=a+bx 和各点(x1, 1), 2, 2), (xn, n)的偏差 y (x y ?, y 是该坐标平面上所有的直线与这些点的偏差中最小的直线. 其中正确的论述有 A.0 个 C.2 个 答案 解析 D 线性回归直线不一定过点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)中的任何一 B.1 个 D.3 个 ( )
^

^

点;

就是线性回归直线的斜率,也就是回归系数;线性回归直

线过点( x , y );线性回归直线是平面上所有直线中偏差 最小的那一条.故有三种论述是正确的,选 D.

取得

4.设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系,它们的相关系数是 r,y 关于 x 的回归直线的斜率是 b,纵截距是 a,那么必有 A.b 与 r 的符号相同 C.b 与 r 的符号相反 答案 A B.a 与 r 的符号相同 D.a 与 r 的符号相反 ( )

5.两个相关变量满足如下关系: x y 10 1 003 15 1 005 20 1 010 25 1 011 30 1 014 ( ^ B.y=0.63x-231.2 ^ D.y=60.4x+400.7 )

则两变量的回归方程为 ^ A.y=0.56x+997.4 ^ C.y=0.56x+501.4 答案 解析 A

回归直线经过样本中心点(20,1 008.6),经检验只有选项 A 符合题意.

6.(2012· 湖南)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线 性相关关系.根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回 ^ 归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 答案 解析 D ^ 当 x=170 时,=0.85×170-85.71=58.79, y 体重的估计值为 58.79 kg, ( )

故 D 不正确.

7.(2012· 新课标全国文)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2, x1,x2,?,xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在 1 直线 y=2x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为 A.-1 1 C.2 答案 解析 数为 1. 8.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5 D 因为所有的点都在直线上,所以它就是确定的函数关系,所以相关系 B.0 D.1 ( )

由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归 直线方程是y=-0.7x+a,则 a 等于________. 答案 解析 5.25 x =2.5, y =3.5,∵回归直线方程过定点( x , y ),
^

∴3.5=-0.7×2.5+a. ∴a=5.25. 9.某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关 系,随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表: 月平均气温 x(℃) 月销售量 y(件)
^

17 24

13 33

8 40

2 55

由表中数据算出线性回归方程y=bx+a 中的 b≈-2,气象部门预测下个月 的平均气温约为 6℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量约为________件.

?xiyi-n x
i=1

n

y ,a= y -b x )

(参考公式:b= xi2-n i=1 答案 46

?

n

x

2

解析

由所提供数据可计算得出 x =10,y =38, b≈-2 代入公式 a= y 又

-b x 可得 a=58,即线性回归方程 y=-2x+58,将 x=6 代入可得. 10.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数 据: x y (1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大? 解析 (1)根据表中所列数据可得散点图如下: 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
^

(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算. i xi yi xiyi 1 2 30 60 2 4 40 160 3 5 60 300 4 6 50 300 5 8 70 560

a= y -b x =50-1.08×5=44.6,因此,所求回归直线方程是y=1.08x+ 44.6. (3)据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 百万元时,y=1.08×10 +44.6=55.4(百万元),
^

^

即这种产品的销售收入大约为 55.4 百万元. 11. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系 进行分析研究,他们分别记录了 2012 年 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差 与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数,得到如下表: 日期 温差 x(℃) 发芽数 y(颗) 12 月 1 日 10 23 12 月 2 日 11 25 12 月 3 日 13 30 12 月 4 日 12 26 12 月 5 日 8 16

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数 据求线性回归方程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得到的线性回归方程是 否可靠? 解析 (1)设抽到不相邻的两组数据为事件 A, 因为从 5 组数据中选取 2 组数
^

据共有 10 种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5)其中数据为 12 月份的日期数. 每种情况都是可能出现的,事件 A 包括的基本事件有 6 种: 6 3 3 所以 P(A)=10=5.所以选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率是5. (2)由数据,求得 x =12, y =27. 5 由公式,求得 b=2,a= y -b x =-3.
^ 5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y=2x-3. ^ 5 (3)当 x=10,y=2×10-3=22,|22-23|<2; ^ 5 同样,当 x=8 时,y=2×8-3=17,|17-16|<2;

所以,该研究所得到的回归方程是可靠的.

12. (2012· 辽宁)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视 情况, 随机抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收 看该体育节目时间的频率分布直方图.

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. 根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷” 与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 附: P(χ2≥k) k 解析 0.05 3.841 0.01 6.635 10 55 体育迷 合计

由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,

从而 2×2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 100×?30×10-45×15?2 100 χ2= = 33 ≈3.030. 75×25×45×55 因为 3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. 13.甲、乙两所学校高三年级分别有 1 200 人,1 000 人,为了了解两所学 校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况, 采用分层抽样方法从两

所学校一共抽取了 110 名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下: 甲校: 分组 频数 分组 频数 乙校: 分组 频数 分组 频数 [70,80) 1 [110,120) 10 [80,90) 2 [120,130) 10 [90,100) 8 [130,140) y [100,110) 9 [140,150] 3 [70,80) 3 [110,120) 15 [80,90) 4 [120,130) x [90,100) 8 [130,140) 3 [100,110) 15 [140,150] 2

(1)计算 x,y 的值; (2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀, 请分别估计两所学校数学成绩的优 秀率; (3)由以上统计数据填写下面的 2×2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不 超过 0.10 的前提下认为两所学校的数学成绩有差异. 甲校 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式: n?ad-bc?2 由列联表中数据计算 K2= . ?a+b??c+d??a+c??b+d? 临界值表 P(K2≥k0) k0 解析 (1)从甲校抽取 110× 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 乙校 总计

1 200 =60(人), 1 200+1 000

从乙校抽取 110×

1 000 =50(人), 1 200+1 000

故 x=10,y=7. 15 (2)估计甲校数学成绩的优秀率为60×100%=25%, 20 乙校数学成绩的优秀率为50×100%=40%. (3)表格填写如图, 甲校 优秀 非优秀 总计
2

乙校 20 30 50

总计 35 75 110

15 45 60

110×?15×30-20×45?2 K 的观测值 k= ≈2.829>2.706, 60×50×35×75 故在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为两个学校的数学成绩有差异.

1.(2011· 江西理)变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3), (12.5,4), (13,5); 变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5), (11.3,4), (11.8,3), (12.5,2), (13,1).r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性 相关系数,则 A.r2<r1<0 C.r2<0<r1 答案 解析 C 对于变量 Y 与 X 而言,Y 随 X 的增大而增大,故 Y 与 X 正相关,即 B.0<r2<r1 D.r2=r1 ( )

r1>0;对于变量 V 与 U 而言,V 随 U 的增大而减小,故 V 与 U 负相关,即 r2<0, 所以有 r2<0<r1.故选 C. 2.(2013· 安徽淮北一模)时维壬辰,序属仲春,值春耕播种时机,某中学生 物研究性学习小组对春季昼夜温差大小与水稻发芽率之间的关系进行研究, 记录 了实验室 4 月 10 日至 4 月 14 日的每天昼夜温差与每天每 50 颗稻籽浸泡后的发 芽数,得到如下资料: 日期 温差 x/℃ 4 月 10 日 10 4 月 11 日 12 4 月 12 日 13 4 月 13 日 14 4 月 14 日 11

发芽数 y/颗

11

13

14

16

12

(1)从 4 月 10 日至 4 月 14 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m,n,求 事件“m,n 均小于 14”的概率; (2)根据表中的数据可知发芽数 y(颗)与温差 x(℃)呈线性相关, 请求出发芽数 ^ y 关于温差 x 的线性回归方程y=bx+a. x y ?xiyi-n- - ^ (参考公式: 回归直线方程式y=bx+a, 其中 b=
i=1 n

, --b-) a= y x
n

x ?x2-n-2 i
i =1

解析

(1)m,n 构成的基本事件(m,n)有:(11,13),(11,14),(11,16),(11,12),

(13,14),(13,16),(13,12),(14,16),(14,12),(16,12),共有 10 个. 3 其中“m,n 均小于 14”的有 3 个,故所求概率为10. (2)∵-=12,-=13.2, x y ∴b= =1.2. 10×11+12×13+13×14+14×16+11×12-5×12×13.2 102+122+132+142+112-5×122

于是,a=13.2-1.2×12=-1.2. 故所求线性回归方程为 y=1.2x-1.2. 3.东亚运动会将于 2013 年 10 月 6 日在天津举行.为了搞好接待工作,组 委会打算学习北京奥运会招募大量志愿者的经验,在某学院招募了 16 名男志愿 者和 14 名女志愿者,调查发现,男女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动,其 余人不喜欢运动. (1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 喜爱运动 男 女 总计 10 6 不喜爱运动 总计 16 14 30

(2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认

为性别与喜爱运动有关? (3)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有 4 人会外语), 抽取 2 名负责翻译 工作,那么抽出的志愿者中至少有 1 人能胜任翻译工作的概率是多少? n?ad-bc?2 参考公式:K2= ,其中 ?a+b??c+d??a+c??b+d? n=a+b+c+d. 参考数据: P(K2≥k) k 解析 (1) 喜爱运动 男 女 总计 (2)根据已知数据可求得: 30×?10×8-6×6?2 K= ≈1.157 5<2.706, ?10+6??6+8??10+6??6+8?
2

0.40 0.708

0.25 1.323

0.10 2.706

0.010 6.635

不喜爱运动 6 8 14

总计 16 14 30

10 6 16

因此,在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关. (3)方法一 喜欢运动的女志愿者有 6 人,设喜欢运动的女志愿者分别为 A,

B,C,D,E,F,其中 A,B,C,D 会外语,则从这 6 人中任取 2 人有 C2,共 6 15 种取法.其中两人都不会外语的只有 EF 一种取法.故抽出的志愿者之中至少 1 14 有 1 人能胜任翻译工作的概率是 P=1-15=15. 方法二 P= C1C1+C2 14 4 2 4 2 C6 =15.


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