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涂色问题


类型1(直线型结构):用 m(m ? 2) 种颜色给如图所 示的由 n(n ? 2) 个区域组成的直线型结构图涂色, 相邻 不同色总的涂法有 N ? m ? m ? 1?
n ?1

种.

证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。

类型2(星型结构):用 m(m ? 2) 种颜色给如图所示的由

n(n ? 2) 个区域组成的星型结构图涂色,则相邻不同色总 n ?1 的涂法有 N ? m ? m ? 1? 种.
证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。

类型3(环形结构):用 m(m ? 2) 种颜色给如图所示的 由 n(n ? 2) 个区域组成的环形结构图涂色, 则相邻不同色总的不同涂法有??种.

如:如图,把一个圆分成 n(n ? 2) 个扇形,每个扇形用红、 白、蓝、黑四色之一染色,要求相邻扇形不同色,有多少 种染色方法?
??? ???
A3 A1 A2


An


解:设分成 n 个扇形时染色方法为 an 种 (1) 当 n=2 时 A 、 A2 有 A =12 种,即 a2 =12 1 (2)当分成 n 个扇形,如图, A 与 A2 不同色, A2 与 A3 1
2 4

??? ???

An


A3
A1 A2
⑤ ⑤ ⑤

A1 A2 n?1 不同色, ? , An?1 与 An 不同色,共有 4 ? 3 种染色方法,
但由于 An 与 A 邻,所以应排除 An 与 A 同色的情形; An 与 A 1 1 1 同色时,可把 An 、 A 看成一个扇形,与前 n ? 2 个扇形加在一 1 起为 n ? 1 个扇形,此时有 an ?1 种染色法,故有如下递推关系:

An

an ? 4 ? 3n?1 ? an?1

类型3(环形结构):用 m(m ? 2) 种颜色给如图所示的 由 n(n ? 2) 个区域组成的环形结构图涂色,则相邻不同 色总的不同涂法有??种.

an ? m ? (m ? 1) ? an-1
n ?1

N ? ? m ? 1? ? ? m ? 1?? ?1?
n

n

类型4(全连通型结构):用 m(m ? n) 种颜色给由

n 个区域组成的全连通型结构图(任何两个区域 n 都连通,如图)涂色,则相邻不同色的涂法有 N ? Am 种.
证明:任何两个区域都连通,所以颜色各不相同。

例 1.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图). 现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽 种同样颜色的花,不同的栽种方法有 种.(以数字作答)

120

变式1:

例、四棱锥 P ? ABCD ,用 4 种不同的颜色涂 在四棱锥的各个面上,要求相邻不同色,有多少 种涂法? P

D C A

B

变式2:

例、四棱锥 P ? ABCD ,用 4 种不同的颜色涂 在四棱锥的各个顶点上,要求相邻顶点不同色,有多 少种涂法? P

D C A

B

例2、用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色,要求在1,2,3,4 四个区域中相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色, (1)若 n ? 6 ,为左图着色时共有多少种不同的方法? (2)若为右图着色时,共有120种不同的方法,求 n 的值.

(1)

(2)

解:结构抽象如图,
3 (1)涂法数为: A6 ? 6-2) 480 ( ?

(2)涂法数为: T4 ? An ? n ? n ?1?? n ? 2?? n ? 3? ? 120 ,∴ n ? 5
n 4

(1)

(2)

例3. 用6种不同的颜色为下图中的5个区域着色, 要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色,共 有多少种不同的方法?
解:结构抽象如右图, 先涂 A1 , A2 , A4 的三角形,再涂 A3 , 最后涂 A5 ,共有 A ? 4 ? 5 多少种不同的方法
3 6

例4.用 6 种不同的颜色为下列两块广告牌着色, 要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色,共 有多少种不同的方法? 2 3 4 1 5 6
A2 A1 A6 A3 A4

A5

解:结构抽象如右图, 6 ? 6 ? 1?? 6 ? 2 ?

4

(先涂 A ,再涂线型结构 A2 ? A3 ? A4 ? A5 ? A6 ). 1

例 5.(2008 重庆)某人有 4 种颜色的灯泡 (每种颜色的灯泡足够多),要在如题(16)图 所示的 6 个点 A, B, C, A , B1 , C1 上各装一个灯 1 泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则 每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共 有
A1

种(用数字作答).
C1

A ? 3 ? (1? 2 ? 1?1) ? 216
3 4
B1

C A B

变式
A1

C1 B1

C A B

1、若下、上层对应点灯泡颜色允许相同,则共有(

)种涂法;

2、若下、上层有且只有一组对应点颜色相同 ,则有( )种涂法;
3、若下、上层有且只有两组对应点颜色分别相同,则有()种涂 法; 3、若下、上层有且只有三组对应点颜色分别相同,则有()种涂 法;

构造递推数列求解问题 例、如图,A、B、C三人相互传球,第一次球从A手中传出。 经过7次传球后,球又回到A手中,问此三人不同的传球方 式有 种。

设经过 n 次传球后,球又回到 A 手中,此三人不同的传球方式有 an 种,下面我们通过 合理分步,恰当分类找出递推关系: 第一步进行第一次传球:A 传给其他人,有 2 种传球方法; 第二步进行第二次传球:拿球者把球传给其他人,仍有 2 种传球方法; 同理,第三次、第四次、……、第 n ? 1 次传球都有 2 种传球方法,最后进行第 n 次传 球,由于只能传给甲,故只有一次传球方法,相乘得 2 种传球方法,但要注意第 n ? 1 次 传球不能传给甲,否则就不存在第 n 次传球,因此要去掉第 n ? 1 次传球,球恰好传给甲的 传球方法数,这就是由甲先传,经过 n ? 1 次传球后球又回到甲手中的传球方法,显然,这 n?1 里有 a n ?1 种传球方法, 所以有递推关系:an ? 2 ? an?1 , 又易得,a1 ? 0 , 由递推式可得:
n?1

a2 ? 21 ? a1 ? 2 ,a3 ? 22 ? a2 ? 2, a4 ? 23 ? a3 ? 6 ,a5 ? 24 ? a4 ? 10 ,a6 ? 25 ? a5 ? 22 ,
a7 ? 26 ? a6 ? 42 .


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