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1.3.2函数的极值与导数 教师版


高二数学导学稿

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编号 GESX32

1.3.2 函数的极值与导数

【使用说明】1.先仔细阅读教材 p93 ? p96 ,用红色笔进行勾画;有针对性的二次阅读教材, 构建知识体系,画出知识树;2.限时 15 分钟独立、规范完成探究部分,并总结规律方法。 一、学习目标: 1. 能陈述函数的极大值、极小值、极值点的意义;2.能根据单调性判断函数极值点; 3.能利用表格法求函数的极值;4. 会根据函数的极值求参数; 二、课时安排:2 课时 三、教学过程

【预习案】
一、回忆原有知识 利用函数的导数求函数 y=f(x)的单调区间的步骤? ① 二、学习新知识 1、 极值点和极值 设可导函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 附近有定义, 如果对于 x0 附近的所有点都 有 f(x)<f(x0),就称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值.记作 y 极大值= , 叫极 ② ③

大值点;如果对于 x0 附近的所有点都有 f(x)>f(x0),就称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值. 记作 y 极小值= 点与极小值点统称为 , 叫极小值点; 极大值与极小值统称为 . , 极大值

注: 极值点指的是自变量的值, 极值指的是函数值。 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时,判别 f(x0)

2、 利用导数判别函数的极大(小)值 是极大(小)值的方法是:

⑴如果在 x0 附近的左侧 f '(x)>0,右侧 f '(x )<0,那么,f(x0)是________ ⑵如果在 x0 附近的左侧 f '(x)<0,右侧 f '(x)>0,那么,f (x0)是________ 3.观察函数 y=f(x)的图像

思考: (1)图中有哪些 极值点?极值点唯一吗?极大值一定比极小值大么? (2)极值点两侧导数符号有何规律?
1

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结论:①如果在 x0 满足 f '(x)=0,且在 x0 两侧的导数 ②极大值两侧的导数满足左 ④极大值左侧附近 f(x)的 的 右

,则 x0 是 f(x)的

,f(x0)是 右

③极大值两侧的导数满足左

函数,即 f '(x)>0,切线的斜率为 ,

,极小值左侧附近 f(x)

函数,即 f '(x)<0,切线的斜率为 。

曲线在极值点 x0 处 f(x0)=0,即在极值点 x0

处切线的斜率为

(3) 导数值为 0 的点一定是极值点吗?函数在某点取得极值是导数值为 0 的什么条件? (举 例说明) 三、基础自测 1.函数 y=f(x)的导数 y/与函数值和极值之 间的关系为( A、导数 y/由负变正 ,则函数 y 由减变为增,且有极大值 B、导数 y/由负变正,则函数 y 由 增变为减,且有极大值 C、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极小值 D、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极大值 2.下图是函数 y ? f ( x) 的图象,则函数 y=f(x)极大值点 )

,极小值点是

.

(第 2 题)

(第 3 题) _,极小值点是 .

3. 上图是导函数 y ? f ?( x) 的图象, 则函数 y=f(x)的极大值点是_ 4.函数

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 11的极大值

极小值

3 2 2 5.若函数 f ( x) ? x ? 2cx ? c x 在 x ? 2 处有极大值,求常数 c 的值

【探究案】
探究一:求函数的极值 例题 1:求函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值. 3

3 变式 1:求函数 f(x)= +3ln x 的极值 x

变式 2:求函数 f ( x) ? x ?

a2 (a ? 0) 的极值 x

小结:求解函数极值的一般步骤(1)确定函数的定义域,求导数 f′(x) (2)求 f′(x)=0 在
2

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函数定义域内的所有根;(3)用方程 f′(x)=0 的根将定义域分成若干小区间,并列成表格; (4)由 f′(x)在各个小区间内的符号,判断 f′(x)=0 的根处的极值情况. 探究二:已知函数极值求参数 例题 2.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 2bx 在 x ? 1 处有极小值 ?1 ,试求 a , b 的值,并求出
3 2

f ( x) 的单调区间.

2 变式 3、已知 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=1 与 x=- 时都取得极值. 3 3 (1) 求 a,b 的值; (2)若 f(-1)= ,求 f(x)的单调区间和极值. 2

探究三:函数极值的应用
3 例题 3:直线 y ? a 与函数 f ( x) ? x ? 3x 的图象有相异的三个公共点,求 a 的取值范围

解析:令 f′(x)=3x2-3=0, 得 x=±1, 可求得 f(x)的极大值为 f(-1)=2, 极小值为 f(1)=-2, 如图所示,-2<a<2 时,恰有三个不同公共点.

变式 4:求函数 f ( x) ? x ? 3x ? a(a ? R) 的极值,并讨论 a 为何值时函数 f(x)恰有一个
3 2

零点

三维设计题组集训 7.

3

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【训练案】
1、判断下面 4 个命题其中是假命题序号为 ① f ' ( x0 ) ? 0 ,则 f ( x0 ) 必为极值;② f ( x) ? x 3 在 x=0 处取极大值 0;③函数的极小值 一定小于极大值; ④函数的极小值(或极大值)不会多于一个;⑤函数的极值即为最值. 2 2.设函数 f(x)= +ln x,则( ) x 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2
y

C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 3. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x ) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内有极大值点 ( ) A. 1个
a

y ? f ?( x)

b

O

x

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

4、求下列函数的极值 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? 9 x, x ? (?2, 2)

5、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 在 x= -1 时取得极大值 7,在 x=3 时有极小值, 求 f ( x) 的解析式.

6. (选作题)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b ? a, b ? R ? .
3 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若对任意 a ? ?3, 4? ,函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点,求实数 b 的取值范围. (1)解: 因为 f ( x) ? ? x ? ax ? b ,所以 f ?( x) ? ?3x ? 2ax ? ?3x ? x ?
3 2
2

? ?

2a ? ? .…… 1 分 3 ?

4

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当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 没有单调递增区间;…………………2 分 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 故 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 故 f ( x ) 的单调递增区间为 ?

2a . 3

? ?

2 ? a ? ;…………………3 分 3 ?
2a ? x ? 0. 3

?2 ? a, 0 ? .…………………………………4 分 ?3 ?

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 没有单调递增区间; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? ?

2 ? a?; 3 ?

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ?

?2 ? a, 0 ? .…………5 分 ?3 ?

(2)解:,由(1)知, a ? ?3, 4? 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? ?

2 ? a ? ,单调递减区间为 3 ?

? ??,0? 和 ? ?

2 ? a, ?? ? .………6 分 ?3 ?

所以函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极小值 f ? 0? ? b ,…………………………………7 分 函 数
3

f ( x)



x?

2a 3













? 2a ? 4a f ? ?? ? b .………………………………………………8 分 ? 3 ? 27
由于对任意 a ? ?3, 4? ,函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点,

?f ? 所以 ? ?f ?
解得 ?

? 0 ? ? 0,

?b ? 0, ? 即 ? 4a 3 …………………………………………10 分 ? 2a ? ? b ? 0. ? ? ? 0. ? ? 27 ? 3 ?

4a 3 ? b ? 0 .……………………………………11 分 27

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a ??3, 4?



b??

4a 3 27













? 4a 3 ? 4 ? 33 b ? ?? ? ?4 .………………13 分 ? ?? 27 27 ? ?max
所以实数 b 的取值范围是 ? ?4,0 ? .………………………………………14 分

6


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